备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题

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（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（4，0）作一条斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点（A在B，P之间），直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称.
解析 （1）如图，因为△OFM的面积为34，所以12×c×32＝34，解得c＝1.
又M（1，32）在椭圆C上，所以1a2＋94b2=1，a2－b2=1，解得a2=4，b2=3，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
（2）由题意知直线FA，FB的斜率存在.根据椭圆的对称性，欲证A，D关于x轴对称，只需证kFA＝－kFD＝－kFB，即证kFA＋kFB＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝my＋4，
由x＝my+4，3x2+4y2=12，消去x得（3m2＋4）y2＋24my＋36＝0，
所以y1＋y2＝－24m3m2+4，y1y2＝363m2+4. 则kFA＋kFB＝y1x1－1＋y2x2－1＝y1（x2－1）＋y2（x1－1）（x1－1)(x2－1）＝y1x2＋y2x1－（y1＋y2）（x1－1)(x2－1）.
因为y1x2＋y2x1－（y1＋y2）＝2my1y2＋3（y1＋y2）＝2m×363m2+4＋3×－24m3m2+4＝0，
所以kFA＋kFB＝0，即点A，D关于x轴对称.
2.[2024广东七校联考]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦距为2，且经过点P（1，32）.
（1）求椭圆C的方程.
（2）经过椭圆右焦点F且斜率为k（k≠0）的动直线l与椭圆交于A，B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使｜AF｜·｜BT｜＝｜BF｜·｜AT｜恒成立？若存在，求出点T坐标；若不存在，请说明理由.
解析 （1）由椭圆C的焦距为2，得c＝1，
则b2＝a2－1， ①
由椭圆C经过点P（1，32），得1a2＋94b2＝1， ②
联立①②，得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.
（2）依题意知，直线l的斜率k≠0，令1k＝m，
由椭圆右焦点F（1，0），可得直线l的方程为x＝my＋1，与C：x24＋y23＝1联立，消去x，得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，Δ＝36m2－4×（－9）×（3m2＋4）＝144（m2＋1）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－6m3m2+4，y1y2＝－93m2+4.
假设存在点T，使｜AF｜·｜BT｜＝｜BF｜·｜AT｜恒成立，则｜AF｜｜BF｜＝｜AT｜｜BT｜，
因为｜AF｜｜BF｜＝S△TFAS△TFB＝12｜FT｜·｜AT｜sin∠ATF12｜FT｜·｜BT｜sin∠BTF＝｜AT｜sin∠ATF｜BT｜sin∠BTF，
所以sin∠ATF＝sin∠BTF，∠ATF＝∠BTF，所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有kAT＋kBT＝0.
设点T坐标为（t，0），则kAT＋kBT＝y1x1－t＋y2x2－t＝0，
所以y1（x2－t）＋y2（x1－t）＝0，
所以y1（my2＋1－t）＋y2（my1＋1－t）＝0，
即2my1y2＋（1－t）（y1＋y2）＝0，
即2m×－93m2+4＋（1－t）×－6m3m2+4＝0，
即3m3m2+4＋（1－t）m3m2+4＝0，
解得t＝4，经检验t＝4符合题意，即存在点T（4，0）满足题意.
3.[2023长沙重点中学模拟]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），点F到C的渐近线的距离为1.
（1）求C的方程.
（2）若直线l1与C的右支相切，切点为P，l1与直线l2：x＝32交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得MP⊥MQ？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.
解析 （1）由题意，双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，
双曲线C的右焦点为F（2，0），可得c＝2，
所以F（2，0）到渐近线的距离d＝2ba2＋b2＝2bc＝b＝1，
所以a2＝c2－b2＝3，
所以C的方程为x23－y2＝1.
（2）由题意易知直线l1的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，
联立l1与C的方程，消去y，得（3k2－1）x2＋6kmx＋3m2＋3＝0.
因为直线l1与C的右支相切，所以－6km3k2－1>0，3m2+33k2－1>0，则3k2－1>0，km