2022-2023学年甘肃省张掖市甘州中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省张掖市甘州中学九年级（下）开学数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2+1x−2=0B. x2+y+3=0
C. x(x−1)=x2−2D. x2=1
2.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )
A. 对角线垂直B. 对角线互相平分C. 四个角都是直角D. 对角线相等
3.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，S△ABC=9，则△DEF的面积为( )
A. 12B. 16C. 21D. 49
4.已知6csα=3 3，且α是锐角，则α=( )
A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°
5.在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有黄球( )
A. 14个B. 16个C. 18个D. 20个
6.如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
7.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是( )
A. 34
B. 43
C. 35
D. 45
8.如图，点B在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=−2x(x>0)的图象上，且BC//y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A.则△ABC的面积为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=35，则下列结论正确的个数有( )
①DE=3cm；②BE=1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD=2 10cm．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.如果4x=5y，那么3x−yy= ______ ．
12.已知一元二次方程x2−3x−1=0的两个实数根分别是x1，x2则x12x2+x1x22的值为______ ．
13.已知：点A(−2,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数y=kx图象上(k>0)，用“<”表示y1、y2、y3的大小关系是 ．
14.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为______m.
15.已知关于x的一元二次方程x2−4x+2(k−1)=0有两个不相等的实数根.求k的取值范围______ ．
16.已知点C为线段AB的黄金分割点且AB=10，则AC≈ ______ (精确到0.1)．
17.对于抛物线y=−12(x+1)2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(−1,4)；④x>1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是______(只填序号)．
18.若对于任意正整数x均满足y=1−1x2.则当x分别取2，3，…，2021时，所对应y值的乘积是 ．
三、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 18−4 12+ 24÷ 3；
(2)(−1)2022+ (−2)2− 8÷ 2．
20.(本小题8分)
已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC=4m．
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
(2)在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
21.(本小题8分)
2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为2万件，2021年12月的销量为2.42万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．
22.(本小题8分)
ETC(Electrnic Tll Cllectin)不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式.安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用.某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站．
(1)求小李通过A通道的概率；
(2)请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
23.(本小题8分)
在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：DF=AB；
(2)若∠FDC=30°，且AB=4，求AD的长．
24.(本小题8分)
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB=12，BM=5，求DE的长．
25.(本小题8分)
开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图2，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进10m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67)．
26.(本小题8分)
如图，已知反比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8)，B(−4,m)
(1)求k1，k2，b的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)当k1x27.(本小题12分)
如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)猜想线段DP与PE的位置关系，并证明你的结论；
(3)把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变(如图②)，若∠ABC=60°，求∠DPE度数．(直接写出答案即可)
28.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2−7x+12=0的两个根，且OA>OB．
(1)求OA、OB的长．
(2)若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式．
(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点且AC、AF为邻边的四边形为菱形？若存在，写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是整式方程，故本选项不合题意；
B.含有两个未知数，故本选项不合题意；
C.方程整理得−x+2=0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】B
【解析】解：选项A：对角线垂直，是菱形、正方形的性质，但是矩形没有该性质，故A不符合题意；
选项B：对角线互相平分，是所有平行四边形的性质，而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形形，故它们都具有对角线互相平分的性质，故B正确；
选项C：四个角都是直角，是矩形和正方形的性质，菱形不具备，故C不符合题意；
选项D：对角线相等，是矩形、正方形的性质，菱形不具有该性质，故D不符合题意．
故选：B．
按照平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，逐个选项进行分析即可．
本题考查了矩形、菱形、正方形等特殊的平行四边形的性质，牢固掌握相关几何图形的性质，是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【试题解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键．
直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案．
【解答】
解：∵ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，
∴OA：OD=3：7，
∴S△ABC：S△DEF=9：49，
∵S△ABC=9，
∴△DEF的面积为：49．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：∵6csα=3 3，
∴csα= 32，
∴锐角α=30°．
故选：D．
先求出csα= 32，然后根据特殊角的三角函数值得到锐角α的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设红球有x个，根据题意得，
4：(4+x)=1：5，
解得x=16．
故选：B．
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：图中几何体的俯视图如图所示：
故答案为：B．
根据俯视图的概念逐一判断即可得．
本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
7.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，
由勾股定理得，AB= AC2+BC2=5，
∴sinα=BCAB=35，
故选：C．
根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，
∵BC/​/y轴，AC⊥BC，
∴四边形OACD和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD=|−2|=2，S矩形ODBH=|6|=6，
∴S矩形ACBH=2+6=8，
∴△ABC的面积=12S矩形ACBH=4．
故选B．
过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD=2，S矩形ODBH=6，则S矩形ACBD=8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
本题考查反比例函数系数k的几何意义．
9.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为20cm
∴AD=5cm
∵sinA=DEAD=35
∴DE=3cm(①正确)
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5−4=1cm(②正确)
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2(③正确)
∵DE=3cm，BE=1cm
∴BD= 10cm(④不正确)
所以正确的有三个，故选C．
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案．
此题主要考查学生对菱形的性质的运用能力．
10.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，
∴AB=4，∠A=45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD=BD=2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE=PF，PE=CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP=x，
则AE=PE=x⋅sin45°= 22x，
∴CE=AC−AE=2 2− 22x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0y=PE⋅CE
= 22x(2 2− 22x)
=−12x2+2x
=−12(x−2)2+2，
∴当0当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x<4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE=PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD=2，PD=x−2，
∴CP=4−x，
y=12(4−x)2=12(x−4)2．
∴当2≤x<4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，可得AB=4，根据CD⊥AB于点D.可得AD=BD=2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
11.【答案】114
【解析】解：∵4x=5y，
∴xy=54，
∴3x−yy=3xy−1=3×54−1=114．
故答案为：114．
根据4x=5y，得出xy=54，再把要求的式子化成3x−yy=3xy−1，然后代值计算即可．
此题考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．
12.【答案】−3
【解析】解：∵一元二次方程x2−3x−1=0的两个实数根分别是x1，x2，
∴x1+x2=3，x1x2=−1，
∴x12x2+x1x22
=x1x2(x1+x2)
=−1×3
=−3．
故答案为：−3．
由根与系数的关系可得：x1+x2=3，x1x2=−1，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】y1【解析】解：∵反比例函数y=kx(k>0)中k>0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵−1<0，
∴点A(−2,y1)位于第三象限，
∴y1<0，
∵0<2<3，
∴点B(2,y2)，C(3,y3)位于第一象限，
∴y2>y3>0．
∴y1故答案为：y1先根据反比例函数中k>0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14.【答案】 10
【解析】解：小球沿着坡面向上前进了10m假设到C处，过C作CB⊥AB，
∵i=1：3，
∴tanA=BCAB=13，
设BC=xcm，AB=3xcm，
x2+(3x)2=102，
解得：x= 10或x=− 10(不合题意，舍去)，
故答案为： 10．
根据i可以求得AB、BC的长度的比值，已知AC=10米，根据勾股定理即可求AB的值，即可解题．
本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，i的定义，本题中根据勾股定理求BC的值是解题的关键．
15.【答案】k<3
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+2(k−1)=0有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
∵a=1，b=−4，c=2(k−1)，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×2(k−1)=−8k+24>0，
解得k<3，
∴k的取值范围为k<3．
故答案为：k<3．
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
16.【答案】6.2或3.8
【解析】解：当AC>BC时，AC=10×0.618=6.18≈6.2；
当AC>BC时，AC=10−10×0.618≈3.8，
故答案为：6.2或3.8．
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值0.618叫做黄金比解答即可．
本题考查的是黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段和黄金比是解决问题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
17.【答案】①③④
【解析】解：∵抛物线y=−12(x+1)2+4，
∴a=−12<0，该抛物线的开口向下，故①正确；
对称轴是直线x=−1，故②错误；
顶点坐标为(−1,4)，故③正确；
当x>−1时，图象从左至右呈下降趋势，故④正确；
故答案为：①③④．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18.【答案】10112021
【解析】【分析】
本题考查了有理数的混合运算，数字规律问题，正确对每个数进行变形是解题的关键．
分别将x=2，3，…，2021代入，并变形得：12×23×23×43×34×54×⋅⋅⋅×20222021，进而可计算结果．
【解答】
解：当x=2时，y=1−14=(1+12)(1−12)=12×32，
当x=3时，y=1−19=(1−13)(1+13)=23×43，
当x=4时，y=1−116=(1−14)(1+14)=34×54，
…
当x=2021时，y=1−120212=(1−12021)(1+12021)=20202021×20222021，
所以12×23×23×43×34×54×⋅⋅⋅×20222021
=12×20222021
=10112021．
故答案为：10112021．
19.【答案】解：(1)原式=3 2−2 2+ 24÷3
=3 2−2 2+2 2
=3 2；
(2)原式=1+2− 8÷2
=1+2−2
=1．
【解析】(1)先进行二次根式的除法运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先利用乘法的意义、二次根式的性质和除法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)作法：连接AC，过点D作DF/​/AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
(2)∵太阳光线是平行的，
∴AC/​/DF．
∴∠ACB=∠DFE．
又∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF．
∴ABDE=BCEF，
∵AB=5m，BC=4m，EF=6m，
∴5DE=46，
∴DE=7.5(m)．
【解析】此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出△ABC∽△DEF是解题关键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
(1)根据已知连接AC，过点D作DF/​/AC，即可得出EF就是DE的投影；
(2)利用△ABC∽△DEF得出比例式，求出DE即可．
21.【答案】解：(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，
依题意得：2(1+x)2=2.42，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意，舍去)．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
(2)2.42×(1+10%)=2.42×1.1=2.662(万件)．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量为2.662万件．
【解析】(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，利用2021年12月的销量=2021年10月的销量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
(2)利用2022年1月的销量=2021年12月的销量×(1+月平均增长率)，即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算．
22.【答案】解：(1)小李通过A通道的概率为 14；
(2)画树状图如图：
由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
∴P(小李和小赵经过相同通道)=416=14．
【解析】(1)根据概率公式即可得到结论；
(2)画出树状图，共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，由概率公式即可得到结论．
本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
在△ABE和△DFA中，
∠AEB=∠DAF∠B=∠AFDAE=AD,
∴△ABE≌△DFA(AAS)，
∴DF=AB；
(2)解：∵∠FDC=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADF=60°，
∵△ABE≌△DFA，
∴∠BAE=∠FDA=60°，
∴∠AEB=30°，
∴AE=2AB=8，
∴AD=AE=8．
【解析】(1)由AAS可证△ABE≌△DFA，可得DF=AB；
(2)由全等三角形的性质可得∠BAE=∠FDA=60°，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
(2)解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM= 122+52=13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=12AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴BMAF=AMAE，
即56.5=13AE，
∴AE=16.9，
∴DE=AE−AD=16.9−12=4.9．
【解析】(1)由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD//BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25.【答案】解：延长EF交DC于点H，

由题意得：
∠DHF=90°，EF=AB=10米，CH=BF=AE=1.5米，
设FH=x米，
∴EH=EF+FH=(10+x)米，
在Rt△DFH中，∠DFH=45°，
∴DH=FH⋅tan45°=x(米)，
在Rt△DHE中，∠DEH=34°，
∴tan34°=DHEH=xx+10≈0.67，
∴x≈20.3，
经检验：x≈20.3是原方程的根，
∴DC=DH+CH=20.3+1.5≈22(米)，
∴拂云阁DC的高度约为22米．
【解析】延长EF交DC于点H，根据题意可得：∠DHF=90°，EF=AB=10米，CH=BF=AE=1.5米，设FH=x米，在Rt△DFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，然后在Rt△DHE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8)，B(−4,m)，
∴k1=1×8=−4m，
∴k1=8，m=−2，
∴点B的坐标为(−4,−2)．
将A(1,8)、B(−4,−2)代入y2=k2x+b中，得k2+b=8−4k2+b=−2，
解得：k2=2b=6．
∴k1=8，k2=2，b=6；
(2)设直线y=k2x+b与y轴的交点为C，
令x=0，则y=2x+6=6，
∴C(0,6)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×6×1+12×6×4=15；
(3)观察函数图象可知：当−41时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当k1x1．
【解析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
(2)根据S△AOB=S△AOC+S△BOC利用三角形面积公式即可求得；
(3)观察函数图象可知：当−41时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质，数形结合是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
在△BCP和△DCP中，
BC=DC∠BCP=∠DCPPC=PC，
∴△BCP≌△DCP(SAS)；
(2)证明：DP⊥PE
由(1)知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵∠1=∠2(对顶角相等)，
∴180°−∠1−∠CDP=180°−∠2−∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB/​/CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；
∴DP⊥PE

(3)与(2)同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠DPE=60°．
【解析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；
(3)根据(2)的结论解答即可．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
28.【答案】解：(1)∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2−7x+12=0的两个根，且OA>OB，
∴OA=4，OB=3．
(2)设点E(x,0)，
∵S△AOE=163，
∴12OA×x=12×4x=163，
解得：x=83，
∴点E(83,0)，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD=6，AO=4，
∴点D(6,4)，
设直线DE的解析式为y=kx+b，
83k+b=06k+b=0，
∴解得：k=65b=−165，
∴直线DE解析式为：y=65x−165，
设过点D的反比例函数的解析式为：y=mx，
∴m=6×4=24，
∴反比例函数的解析式为y=24x；
(3)依题意得，OB=OC=3，直线AB的解析式为y=43x+4①，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
∴点F与B重合，
即F(−3,0)，
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，
由①得：AO平分∠BAC，
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠OAB=∠GAF，
∴∠OAC=∠GAF，
∵∠OAD=∠GAD，
∴∠CAD=∠FAD，
∴M在射线AD上，且FC垂直平分AM，
∴FC=2OA=8，
∴F(3,8)；
③AC是对角线时，作AC垂直平分线L，

∴∠AHG=90°=∠AOC，
∵∠GAH=∠CAO，
∴△AHG∽△AOC，
∴AHAO=AGAC，
∵AC=5，
∴AH=12AC=52，
∴524=AG5，
∴AG=258，
∴OG=78，
∵直线L过(32,2)，
∴L解析式为y=34x+78，
联立方程组可得： y=43x+4y=34x+78，
解得：x=−7514y=−227，
∴F(−7514,−227).
④AF是对角线时，过C作AB垂线，垂足为N，
根据等积法得，CN=245，
根据勾股定理得，AN=75，
作A关于N的对称点即为F，AF=145，
过F作y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，
∴F(−4225,4425).
综上所述，满足条件的点F坐标为：(3,8)或(−3,0)或(−7514,−227)或(−4225,4425).
【解析】(1)求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度；
(2)易得到点D的坐标为(6,4)，由三角形的面积公式可求点E坐标，利用待定系数法可求解；
(3)根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
本题是反比例函数综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．