2022-2023学年甘肃省张掖市甘州中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省张掖市甘州中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省张掖市甘州中学八年级（下）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为(    )A.  B.  C.  D. 2.  在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如果，那么下列各式中正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  多项式分解因式的结果是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，如图，在中，和分别平分和，过作，分别交、于点、，若，则线段的长为(    )
 
  
 A.  B.  C.  D. 8.  如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则长等于(    )A.
B.
C.
D. 9.  函数、为常数，的图象如图，则关于的不等式的解集为(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点，连接，，下面结论：≌；；；平分，其中结论正确的有(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.  不等式的非负整数解是______ ．12.  若，则______，______．13.  当取______时，是一个完全平方式．14.  如图，在中，，的垂直平分线交于若，则的度数是______．
 15.  已知，，则的值为______．16.  如图，在中，，为上的一点，且，则 ______ 度．
 17.  如图是一次函数，的图象，观察图象，写出同时满足，时的取值范围：______．
 18.  三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是______．
 三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在内部修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论
20.  本小题分
一解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．


二把下列各式因式分解：
；
．21.  本小题分
已知，求的值．22.  本小题分
如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点．
求证：．
23.  本小题分
已知，，是的三边，且满足，请判断的形状．24.  本小题分
如图，在中，，作交的延长线于点，作，，且，相交于点，求证：．
25.  本小题分
根据图中信息解答问题．
求，的值；
求出点的坐标；
当为何值时，．
26.  本小题分
在毕节市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察得知，购进台笔记本电脑和台一体机需要万元，购进台笔记本电脑和台一体机需要万元．
求笔记本电脑和一体机的单价？
根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共台，总费用不超过万元，但不低于万元，请你通过计算求出有几种购买方案．哪种方案费用最低．27.  本小题分
先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：，
，
，
，
，
问题：
不论，为何有理数，的值均为______ ．
A.正数
B.零
C.负数
D.非负数
若，求的值．
已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．28.  本小题分
如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底边的等腰三角形？
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：等腰三角形的一个底角为，
顶角．
故选：．
根据三角形内角和是和等腰三角形两底角相等，可以求得其顶角的度数．
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
C、，能围成直角三角形，此选项正确；
D、，故不能围成直角三角形，此选项错误．
故选C．
计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是进行计算．
 3.【答案】 【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 4.【答案】 【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
故选：．
首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 6.【答案】 【解析】解：关于的不等式的解集为，
，即．
故选：．
根据不等式的基本性质判断出的符号，列出不等式求出的取值范围即可．
解答此题一定要注意不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定，平行线的性质的理解和掌握，此题关键是求证，，难度不大，是一道基础题．
根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，证明，，即可得出答案．
【解答】
解：在中，和分别平分和，
，，
，
，，
，，
，
．
故选A．  8.【答案】 【解析】解：垂直平分，
，
的周长，
，的周长等于，
．
故选C．
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据计算即可求出．
本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小，
所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是．
故选：．
从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
 10.【答案】 【解析】解：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形，
，故正确；
≌，
，，
点到、的距离相等，
点在的平分线上，
即：平分，故正确．
故选：．
由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出≌；由≌，得出，根据三角形外角的性质得出，即可得；由证明≌，得出对应边相等，即可得出为等边三角形；由≌得到和面积等，且，从而证得点到、的距离相等，利用角平分线判定定理得到点在角平分线上．
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 11.【答案】、、 【解析】解：，
，
，
的非负整数解是、、．
故答案为：、、．
首先移项，然后化系数为即可求出不等式的解集，最后取非负整数即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，解题时利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的解即可．
 12.【答案】  ； 【解析】此题主要考查了多项式乘多项式的应用，掌握多项式乘法运算是解题关键．
首先利用多项式乘法去括号，进而得出，的值．
解：，
，
则，．
故答案为：，．
 13.【答案】 【解析】解：是一个完全平方式，
，
故答案为：
利用完全平方公式判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 14.【答案】解：，，
，
的垂直平分线，
，
，
，
故选A． 【解析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线性质求出，推出，即可求出答案．
本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 15.【答案】 【解析】首先提公因式进行分解，再代入，即可．
解：，
故答案为：．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确分解因式．
 16.【答案】 【解析】解：在中，
，，
，
又，
，
而，
，
．
故答案为．
由，，根据等腰直角三角形的性质得到，而，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得到，即可得到的度数．
本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的底角都等于也考查了等腰三角形的性质和三角形外角性质．
 17.【答案】 【解析】解：根据图象和图中数据可知，同时满足，时，
的取值范围．
故答案为：．
当，时，时，同时满足，时，．
本题考查一次函数的图象和性质，考查学生的分析能力和读图能力．
 18.【答案】 【解析】解：过点作于点，
在中，，，，
，
．
，
，
，，
在中，，，
，
，
．
故答案是：．
过点作于点，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．
本题考查了勾股定理和含度角的直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意构造直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．
 19.【答案】解：如图所示：点即为所求． 【解析】利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分别得出即可．
此题主要考查了应用设计与作图，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
 20.【答案】解：一移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：；

，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为；

二原式
；
原式
． 【解析】一不等式移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解集；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
二原式变形后，提取公因式即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则及各自的解法是解本题的关键．
 21.【答案】解：． 【解析】根据：，即可代入求值．把所求的式子进行变形是解题关键．
 22.【答案】解：连接，
在中，，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
． 【解析】首先连接，由在中，，，可求得的度数，又由的垂直平分线交于点，交于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，然后由含角的直角三角形的性质，证得．
此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 23.【答案】解：，
，
，
，
，，是的三边，
，
，
，
是等腰三角形． 【解析】根据题目中的式子，进行变形，即可得到和的关系，从而可以判断三角形的形状．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解求解．
 24.【答案】证明：
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
≌，
． 【解析】欲证明，只要证明≌即可．
本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 25.【答案】解：把代入得；
把代入得，解得；
解方程组得，
点坐标为；
由图可知：当时，． 【解析】把代入可求出的值，把代入可计算出的值；
利用两直线相交的问题，通过解有两解析式所组成的方程组即可得到点坐标；
观察函数图象得到，当大于点的横坐标时，．
本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．
 26.【答案】解：设每台笔记本电脑万元，一体机万元，
根据题意得：，
解得，
答：每台笔记本电脑万元，一体机万元；
设购进台笔记本电脑，则购进台一体机，总费用为元，
依题意，得：，
，
解得：
为整数，
，，，
有三种购买方案：
第一种：购买笔记本电脑台，购买一体机台；
第二种：购买笔记本电脑台，购买一体机台；
第三种：购买笔记本电脑台，购买一体机台；
，
当时，费用最低，
即购买笔记本电脑台，购买一体机台时费用最低． 【解析】设每台笔记本电脑万元，一体机万元，根据“购进台笔记本电脑和台一体机需要万元，购进台笔记本电脑和台一体机需要万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进台笔记本电脑，则购进台一体机，根据总价单价数量结合总费用不超过万元且不低于万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数可得出各进货方案；再根据总价单价数量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一次函数和一元一次不等式组．
 27.【答案】 【解析】解：

，
，，

，
不论，为何有理数，的值均为正数，
故选：；
，
，
，
，，
，
；
，
，
，
，，
，，
，，是的三边长，且是中最长的边，
，
即，
即的取值范围是．
根据题意得到，即可作出判断；
根据题意由得到，求得，即可得到答案；
由得到，求得，，因为，，是的三边长，且是中最长的边，即可求得的取值范围．
此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．
 28.【答案】解：由题意可知，，
，
，
当为等腰三角形时，则有，
即，解得，
出发秒后能形成等腰三角形；

当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示，

则，
，
．
，
，
，
秒，
秒，
秒．
当，是以为底边的等腰三角形时：，如图所示，

则秒，
秒．
综上所述：当为秒或秒时，是以或为底边的等腰三角形． 【解析】用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．