备考2024届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第3讲函数的奇偶性周期性与对称性抽象函数问题的解题策略

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例6 [多选/2023新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y），则（ ABC ）
A.f（0）＝0B.f（1）＝0
C.f（x）是偶函数D.x＝0为f（x）的极小值点
解析 解法一 令x＝y，则有f（x2）＝2x2f（x）.当x＝0时，可得f（0）＝0，A正确.当x＝1时，可得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0，B正确.因为f（（－x）2）＝2（－x）2·
f（－x），即f（x2）＝2x2f（－x），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，C正确.因为无法判断函数f（x）的单调性，所以无法确定f（x）的极值点，故D不正确，故选ABC.
解法二 取x＝y＝0，则f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f（1）＝f（－1）＋f（－1），所以
f（－1）＝0，取y＝－1，则f（－x）＝f（x）＋x2f（－1），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故C正确；因为f（0）＝0，且函数f（x）为偶函数，所以函数
f（x）的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f（x）的极小值点，也可能为函数
f（x）的极大值点，也可能不是函数f（x）的极值点，故D不正确.综上，选ABC.
方法技巧
赋值法是指利用已知条件，对变量赋值，从而得出抽象函数在某点处的函数值或抽象函数的性质.
策略2 性质转化法
例7 （1）[2022全国卷乙]已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则∑22k=1f（k）＝（ D ）
A.－21B.－22C.－23D.－24
解析 由y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，可得g（2＋x）＝g（2－x）.在f（x）＋
g（2－x）＝5中，用－x替换x，可得f（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x） ①，所以y＝f（x）为偶函数.在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替换x，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f（－x－2）＝－2 ②，所以y＝f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得
f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝－2，所以f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数.由f（x）＋g（2－x）＝5可得f（0）＋g（2）＝5，又g（2）＝4，所以可得f（0）＝1，又f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（0）＋f（2）＝－2，得f（2）＝－3，又f（3）＝f（－1）＝－1，f（4）＝f（0）＝1，所以∑k=122f（k）＝5（f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4））＋f（1）＋f（2）＝－24.故选D.
（2）[多选/2022新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记
g（x）＝f'（x）.若f（32－2x），g（2＋x）均为偶函数，则（ BC ）
A.f（0）＝0B.g（－12）＝0
C.f（－1）＝f（4）D.g（－1）＝g（2）
解析 解法一（转化法） 因为f（32－2x）为偶函数，所以f（32－2x）＝f（32＋2x），函数f（x）的图象关于直线x＝32对称，则f（－1）＝f（4），所以C正确；因为g（2＋x）为偶函数，所以g（2＋x）＝g（2－x），函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，因为g（x）＝f'（x），所以函数g（x）的图象关于点（32，0）对称，（二级结论：若函数h（x）为偶函数，则其图象上在关于y轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原点对称.本题函数f（x）的图象关于直线x＝32对称，则其导函数g（x）的图象关于点（32，0）对称）
因为g（x）的定义域为R，所以g（32）＝0.由g（x）的图象既关于直线x＝2对称，又关于点（32，0）对称，知g（x）的周期T＝4×（2－32）＝2，所以g（－12）＝g（32）＝0，
g（－1）＝g（1）＝－g（2），所以B正确，D错误；不妨取f（x）＝1（x∈R），经验证满足题意，则f（0）＝1，所以选项A不正确.综上，选BC.
解法二（特例法） 因为f（32－2x），g（2＋x）均为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝32对称，函数g（x）的图象关于直线x＝2对称.取符合题意的一个函数f（x）＝1（x∈R），则f（0）＝1，排除A；取符合题意的一个函数f（x）＝sin πx，则f'（x）＝πcs πx，即g（x）＝πcs πx，所以g（－1）＝πcs（－π）＝－π，g（2）＝πcs 2π＝π，所以g（－1）≠g（2），排除D.又该题为多选题，选BC.
方法技巧
1.思路：利用题设中的条件等式，将其变形为满足函数某些性质的定义表达式，从而利用这些性质转化求解.
2.设函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R.
（1）若f（x）的图象关于x＝a对称，则f'（x）的图象关于（a，0）对称；
（2）若f（x）的图象关于（a，b）对称，则f'（x）的图象关于x＝a对称；
（3）若f（x）是以T为周期的函数，则f'（x）也是以T为周期的函数.
注意 利用函数图象的平移变换解决抽象函数性质问题时，注意在进行图象变换的同时，函数图象的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换.
策略3 特殊函数模型法
例8 定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f（1）＝2，则f（－3）＝（ C ）
A.2B.3C.6D.9
解析 解法一 由函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），联想到函数模型f（x）＝x2＋bx，由f（1）＝2，可得b＝1，则f（x）＝x2＋x，所以f（－3）＝（－3）2＋（－3）＝6.
解法二 f（1）＝f（1＋0）＝f（1）＋f（0）＋2×1×0＝f（1）＋f（0），得f（0）＝0；
f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f（1）＋2×（－1）×1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；f（－2）＝f（－1－1）＝f（－1）＋f（－1）＋2×（－1）×（－1）＝
2f（－1）＋2＝2；f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×（－2）×（－1）＝2＋0＋4＝6.故选C.
方法技巧
常用函数模型
注意 应用特殊函数模型法解题时，要注意检验所选模型是否满足已知条件.
训练5 （1）[新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且
f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（ D ）
A.[－1，1]∪[3，＋∞）B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞）D.[－1，0]∪[1，3]
解析 由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝
f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令
f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.
（2）[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x－y）＝f（x）－f（y）＋1，且f（1）＝0，当x＞0时，f（x）＜1.则下列选项正确的是（ ACD ）
A.f（0）＝1B.f（2）＝－2
C.f（x）－1为奇函数D.f（x）为R上的减函数
解析 解法一 设f（x）＝kx＋1，因为f（1）＝0，所以k＝－1，所以f（x）＝－x＋1，满足x＞0时，f（x）＜1，则易得A，C，D均正确，故选ACD.
解法二 对于A，取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）－f（0）＋1，故f（0）＝1，A正确；
对于B，取x＝0，y＝1，则f（－1）＝f（0）－f（1）＋1＝2，取x＝1，y＝－1，则
f（2）＝f（1）－f（－1）＋1＝－1，B错误﹔
对于C，取x＝0，则f（－y）＝f（0）－f（y）＋1＝2－f（y），f（－y）－1＝－[f（y）－1]，则f（y）－1为奇函数，所以f（x）－1为奇函数，C正确；
对于D，当x1＞x2时，x1－x2＞0，f（x1－x2）＜1，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2）－1＜0，故f（x）是R上的减函数，D正确，故选ACD.
（3）已知函数f（x）满足f（1）＝14，且4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），则f（2 024）＝ －14 .
解析 解法一 令y＝1，得4f（x）f（1）＝f（x＋1）＋f（x－1），即f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x）＝－f（x－1），即f（x＋3）＝－f（x），所以函数f（x）的周期为6，则f（2 024）＝f（2）.令x＝1，y＝0，得f（0）＝12，由f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），可得f（2）＝f（1）－f（0）＝－14，所以f（2 024）＝－14.
解法二 因为f（x＋y）＋f（x－y）＝4f（x）f（y），x，y∈R，联想到余弦函数模型
cs（x＋y）＋cs（x－y）＝2cs xcsy，两边同除以2，得12cs（x＋y）＋12cs（x－y）＝cs xcsy＝4·12cs x12cs y，故猜想f（x）＝12cs（ωx），又f（1）＝14，则f（1）＝12cs ω＝14，当ω∈（0，π）时，可得ω＝π3，即f（x）＝12cs（π3x），故f（x）的周期为T＝6，所以f（2 024）＝f（2）＝12cs 2π3＝－14.抽象函数性质
基本函数模型
f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b
一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）
f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy
二次函数f（x）＝x2＋bx
f（xy）＝f（x）f（y）或f（xy）＝f（x）f（y）
幂函数f（x）＝xα
f（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝f（x）f（y）
指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（xy）＝f（x）－f（y）
对数函数f（x）＝lgax（a＞0，且a≠1）
f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）
余弦函数f（x）＝cs ωx（ω一般取满足要求的最小正数）