2023年广东省佛山一中高考数学一模试卷及解析

这是一份2023年广东省佛山一中高考数学一模试卷及解析，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是
A．B．C．D．
2．（5分）设复数满足，则
A．0B．C．2D．
3．（5分）已知，为钝角，，则
A．1B．C．2D．
4．（5分）二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为
A．B．C．D．
5．（5分）在中，设，那么动点的轨迹必通过的
A．垂心B．内心C．重心D．外心
6．（5分）设函数，方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
7．（5分）已知，，，则
A．B．C．D．
8．（5分）已知双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
二、多选题（本大题共4小题，共20分。漏选得2分，错选得0分）
9．（5分）若，其中，1，，为实数，则
A．B．C．D．
10．（5分）如图所示，从一个半径为（单位：的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是
A．四棱锥的体积是
B．四棱锥的外接球的表面积是
C．异面直线与所成角的大小为
D．二面角所成角的余弦值为
11．（5分）设和分别为数列和的前项和．已知，，则
A．是等比数列B．是递增数列
C．D．
12．（5分）设函数的定义域为，且满足，，当，时，，则下列说法正确的是
A．是偶函数
B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点
D．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）如图所示，在平行四边形中，，垂足为，且，则 ．
14．（5分）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．（5分）如图，已知椭圆的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，若线段的中点为，则点的轨迹方程为 ．
16．（5分）已知函数，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）中，，，分别是角，，的对边，且有．
（1）求角；
（2）当，时，求的面积．
18．（12分）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，，，求数列的前项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值．
20．（12分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障．
（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次Ⅰ的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，．
①求批次Ⅰ成品口罩的次品率．
②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）．
（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率某医院获得批次1，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附：．
21．（12分）已知双曲线的渐近线与曲线相切．横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）记的中垂线交轴于点．是否存在实数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）若函数为增函数，求的取值范围；
（2）已知，
证明：；
若，证明：．
2023年广东省佛山一中高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每题只有一个正确选项，共40分）
1．（5分）已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是
A．B．C．D．
【分析】，从而，由此能求出实数的所有值构成的集合．
【解答】解：当时，，
当时，集合，
，3，，且，
，
当时，；
当时，或或，
则实数的所有值构成的集合是，，，．
故选：．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）设复数满足，则
A．0B．C．2D．
【分析】由复数的运算，结合复数模的运算求解即可．
【解答】解：由，得，
则，，
则，
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题．
3．（5分）已知，为钝角，，则
A．1B．C．2D．
【分析】由，为钝角，可求得的值，再利用两角差的正切可求得答案．
【解答】解：，为钝角，
，
，
又，则，
故选：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于基础题．
4．（5分）二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为
A．B．C．D．
【分析】根据古典概型概率的计算公式，即可解出．
【解答】解：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数为：，
从24个节气中选取两个节气的事件总数有：，
，
故选：．
【点评】本题考查了古典概型的概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
5．（5分）在中，设，那么动点的轨迹必通过的
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【分析】设线段的中点为，则，由已知可得，所以且平分或者点在上，从而判断出动点的轨迹必通过的外心，
【解答】解：设线段的中点为，则，
，
，，
，即，
且平分或者点在上，
因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心．
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
6．（5分）设函数，方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】当时，得到．若方程恰有5个实数解，只需函数在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立，求解即可．
【解答】解：当时，，
因为函数在区间上恰好有5个，使得，
故在上恰有5条对称轴．令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）已知，，，则
A．B．C．D．
【分析】利用指数函数的单调性判断，利用构造函数的单调性判断，求解即可．
【解答】解：，，
设，则，函数在上单调递增，
，即，，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了指数函数和构造函数的单调性，属于基础题．
8．（5分）已知双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断形状即可求解作答．
【解答】解：设双曲线的半焦距为，直线的方程为，有，如图
即有，而，解得，
在中，由余弦定理得：，
因此，即有，
而，则，
又，于是，
所以双曲线的离心率．
故选：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，共20分。漏选得2分，错选得0分）
9．（5分）若，其中，1，，为实数，则
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合赋值法，以及二项式定理，即可求解．
【解答】解：，
对于，令，则，则，故错误；
对于，因为，所以展开式中含的系数为，故正确；
对于，令，则，则，令，
则，则，
所以，故正确；
对于，，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
10．（5分）如图所示，从一个半径为（单位：的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是
A．四棱锥的体积是
B．四棱锥的外接球的表面积是
C．异面直线与所成角的大小为
D．二面角所成角的余弦值为
【分析】根据四棱锥体积公式计算判断；根据四棱锥的外接球表面公式计算判断；用平移直线法求异面直线成角判断；寻找二面角的平面角，用余弦定理求值判断．
【解答】解：设正方形边长为，则由如图1知，
又因为，所以，解得，
对于，因为平面，所，
因为，，所以，
所以，所以错；
对于，因为，所以四棱锥的外接球的半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积为，所以对；
对于，因为，所以异面直线与所成角等于，
又因为为正三角形，所以，所以对；
对于，取中点连接，，则，，
所以二面角的平面角为，
，所以对．
故选：．
【点评】本题以命题真假判断为载体，考查四棱锥基本特性，考查了异面直线成角问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．
11．（5分）设和分别为数列和的前项和．已知，，则
A．是等比数列B．是递增数列
C．D．
【分析】由已知结合数列的项与和的递推关系及等比数列的定义和求和公式可检验选项，；
结合数列的单调性定义及数列的项的值可检验选项；
利用错位相减法求出，然后利用比较法可检验选项．
【解答】解：因为，
当时，，
两式相减得，，即，
当时，，解得，
所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，正确；
所以，，，
则，，显然不成立；
又，正确；
，
，
两式相减得，，
所以，
所以，
所以，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了数列的项与和的递推公式的应用，还考查了等比数列的通项公式及求和公式，错位相减求和，属于中档题．
12．（5分）设函数的定义域为，且满足，，当，时，，则下列说法正确的是
A．是偶函数
B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点
D．
【分析】由题意可知的图象关于对称，周期为8，作出函数图象，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：因为，所以函数关于直线对称，则，
又，即，所以，
则，所以，所以函数是周期为8的周期函数，
令，则（2），因为当，时，，则，
由函数关于直线对称以及关于对称，周期为8，作出函数图象如图所示：
则函数的图象向左平移1个单位得到，则函数是偶函数，故正确：
的图象向左平移3个单位得到函数，则是奇函数，故正确；
画出和函数的图象：可以看出在两个函数的图象有5个交点，
所以方程有10个不同的零点，故错误：
（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（1）（2）（8），
（1）（2）（7），故错误．
故选：．
【点评】本题考查了函数的周期性、对称性，也考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）如图所示，在平行四边形中，，垂足为，且，则 2 ．
【分析】根据平面向量的数量积定义计算．
【解答】解：设，交点为，
则．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
14．（5分）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】由已知结合基本不等式先求出的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求．
【解答】解：因为两个正实数，满足，
所以，当且仅当且，即，时取等号，
所以，
因为不等式恒成立，
所以，
解得．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用及不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
15．（5分）如图，已知椭圆的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，若线段的中点为，则点的轨迹方程为 ．
【分析】说明点关于的外角平分线的对称点在直线的延长线上，结合椭圆的定义，推出，设，则，然后转化求解轨迹方程即可．
【解答】解：点关于的外角平分线的对称点在直线的延长线上，
（椭圆长轴长），
过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，
又是△的中位线，故，
设，则，．即．
即的轨迹方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，是中档题．
16．（5分）已知函数，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 ．
【分析】利用导数的几何意义分别求出在，处的切线的方程，进而得到，，根据切线相互垂直可得，由此可得，令，，可得，从而可得的范围．
【解答】解：当时，，，
，，，
在处的切线方程为，即，
；
当，，，
，，，
在处的切线方程为：，即，
，
两条切线互相垂直，，，，
令，，设，，
则在上单调递增，，，即．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）中，，，分别是角，，的对边，且有．
（1）求角；
（2）当，时，求的面积．
【分析】（1）由二倍角公式和诱导公式化简已知等式，结合三角形的内角的范围，可得所求角；
（2）由，可得，求得，再由余弦定理和面积公式计算可得所求值．
【解答】解：（1）由，
可得，
即有或，
由为三角形的内角，可得或或；
（2）因为，，，所以，则，
根据余弦定理得，即，则，
解得或，
当时，；
当时，，
所以的面积为或．
【点评】本题考查三角形的余弦定理、面积公式的运用，以及诱导公式和二倍角公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，，，求数列的前项和．
【分析】（1）求出，即得数列的通项公式，利用与的关系求出数列的通项公式；
（2）求出，再利用分组求和求数列的前项和．
【解答】解：（1）令，，，
令，，
又，所以，
即，所以，
，①，②
两式相减得，
，，
即是公比为2的等比数列，且，
所以，；
（2）由，可得，
，
累加可得，
，
而
，
．
【点评】本题考查了数列的递推式和分组求和，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值．
【分析】（1）根据线面平行及面面平行的判定定理即得；
（2）延长与交于，由题可得面面，过作，过作，进而可得即为面与面所成二面角的平面角，结合条件即得；
【解答】解：（1）证明：连接，为中点，为中点，
，又面，面，
面，
在中，，，，
，即，
在中，，，，，
在中，，，，，
，，，
为中点，，，
，又面，面，
面，又，，面，
平面平面；
（2）延长与交于，连，则面面，
在中，，，，所以，
又，，，，面，
面，面，
面面，
在面内过作，则面，
面，，
过作，连，，面，面，
面，面，
，
即为面与面所成二面角的平面角，
，，
，，
，，
，，，又，
，，，
．
平面与平面所成角的余弦值为．
【点评】本题考查面面平行的判定以及二面角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障．
（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次Ⅰ的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，．
①求批次Ⅰ成品口罩的次品率．
②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）．
（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率某医院获得批次1，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附：．
【分析】（1）①利用概率乘法公式求概率即可；
②设批次的成品口罩红外线自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，分别求出（A），，利用条件概率直接计算；
（2）先求出100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率，利用导数求出的最大值点，即可求出，根据题意完成列联表，计算出，对照参数即可得到结论．
【解答】解：（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次Ⅰ的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，，
①批次成品口罩的次品率为；
第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测显示合格率为，
②设批次的成品口罩红外线自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由已知可得，，
则仍在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率为：
；
（2）100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，
所以，
令，解得，
当时，，当时，，
所以的最大值点为，
由（1）可知，，，
故批次口罩次品率低于批次，故批次的口罩质量优于批次，
由条形图可建立列联表如下：
所以，
因此，有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
【点评】本题考查了独立性检验和条件概率的计算，属于中档题．
21．（12分）已知双曲线的渐近线与曲线相切．横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）记的中垂线交轴于点．是否存在实数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据渐近线和曲线相切，利用判别式△，进行求解即可．
（2）联立方程，求出中垂线方程，根据的关系进行判断即可．
【解答】解：（1）双曲线的渐近线与曲线相切．
双曲线的一条渐近线为与，即与曲线相切，
消得有唯一解，，得，离心率．
（2）直线方程为代入双曲线中，
并整理得，
设，，，，则
易得的中点，中垂线，
则点．
若，
则，
即得，
此时，
①当，即时，
存在实数，使得，
②当，即时，
不存在实数，使得．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，利用消元法转化为一元二次方程，利用设而不求思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）若函数为增函数，求的取值范围；
（2）已知，
证明：；
若，证明：．
【分析】（1）若是增函数，则恒成立，即在上恒成立，令，，只需，即可得出答案．
（2）由（1）知，当时，，求导分析单调性，推出，即，再证明，即可得出答案．
依题意： 有两个不同实数根，，令，求导分析单调性，
可得，证明，即可得出答案．
【解答】解：（1）若是增函数，则恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则，
所以在上递增，在递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
（2）证明：由（1）知，当时，，
，
令得，
由（1）知，在上递增，在递减，，
所以，
所以在上，单调递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
令，，
在上单调递减，
又（1），
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以（1），
所以，
所以，即，当时，取等号，
所以，
所以不等式为，
所以．
证明：依题意： 有两个不同实数根，
由（1）知，，
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以（1），
所以，
先证明，，
，
所以在上单调递增，
所以（1），
所以，
所以，
所以，①
令，，
，
单调递减，
所以（1），
又，（1），
所以存在使得，即，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以不等式①放缩为，
所以，
所以．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/20 11:37:59；用户：陈超；邮箱：13488358862；学号：395119610.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
核酸检测结果
口罩批次
合计
Ⅰ
Ⅱ
呈阳性
12
3
15
呈阴性
28
57
85
合计
40
60
100