2022年广东省高考数学一模试卷（含答案解析）

2022年广东省高考数学一模试卷

1. 已知复数，其中i是虚数单位，则

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 若向量，满足，，，则

A.  B. 2 C.  D. 4

3. 已知为锐角，且，则

A.  B.  C.  D.

4. 为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离．如图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进车身始终保持与地面垂直，直到前轮与点B接触．经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方以如图为观察视角，且到地面的垂直高度为已知前轮的半径为，则A，B两点之间的距离约为参考数值：

A.  B.  C.  D.

5. 从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，，则图象如图的函数可能是
   
    

A.  B.  C.  D.

7. 已知，是双曲线C：的左、右焦点，A是C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为

A.  B. 2 C. 3 D. 4

8. 已知正项数列满足，当最大时，n的值为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9. 设m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

10. 中国正在从电影大国迈向电影强国．下面是2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片含合拍片与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是

A. 2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于
B. 2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高
C. 2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数
D. 2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差

11. 已知数列满足，，则下列结论中正确的是

A.  B. 为等比数列
C. … D. …

12. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，⋯，且满足…，则下列结论中正确的是

A. 时，
B. 时，的最小值为9
C. 时，
D. 时，的最小值为8

13. 二项式的展开式中的常数项是______.
14. 如图为四棱锥的侧面展开图点，重合为点，其中，是线段DF的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：______填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形
15. 如图，已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立平面直角坐标系，，，则的中点C的坐标为______.
    
    
     

16. 已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为______.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，下面给出有关的三个论断：
    ①；②；③
    化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件、余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题．不必证明
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，ABCD为圆柱的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线．
    证明：平面DEF；
    若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
    
    
    
    
     

19. 已知正项数列，其前n项和满足
    求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
    数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 小王每天17：：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种，已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如表：

已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？
已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如表所示：

求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望．






 

21. 已知，为的导函数．
    若对任意都有，求a的取值范围；
    若，证明：对任意常数a，存在唯一的，使得成立．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知椭圆C：，其右焦点为，点M在圆上但不在y轴上，过点M作圆的切线交椭圆于P，Q两点，当点M在x轴上时，
    求椭圆C的标准方程；
    当点M在圆上运动时，试探究周长的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：，

故选：
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：，，，
，

故选：
将平方，再结合相关数据，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：为锐角，且，
，
，
故选：
依题意，可求得，再利用诱导公式即可求得答案．
本题考查同角三角函数间的关系与诱导公式的应用，属于中档题．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：由题意可得，前轮转动了圈，
故A，B两点之间的距离约为
故选：
由题意可得，前轮转动了圈，再结合圆的周长公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：集合的非空子集有，，，，，，共7个，
从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，
因为，
当时，则B可为，，共3种，
当时，共1种，
同理当时，则A可为，，共3种，
当时，共1种，
则符合的共有种，
所以的概率为
故选：
写出集合的非空子集，求出总选法，再根据，列举出集合A，B的所有情况，再根据古典概型公式即可得解．
本题考查了古典概型概率的计算，属于基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：由所给的图象关于原点对称，可得此图象对应的函数为奇函数．
函数，，
可得，可得为偶函数；
，可得为奇函数，
则，都是非奇非偶函数，可排除选项A、B；
由，为奇函数，当时，，可排除选项C；
由的定义域为，零点为，且当时，，所以选项D可能正确．
故选：
首先判断所给图象关于原点对称，可得此图象对应的函数为奇函数．再对各个选项判断函数的奇偶性和图象的变化趋势，可得结论．
本题考查函数的图象的判断，注意运用函数的奇偶性，考查数形结合思想和推理能力，属于中档题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：如图所示，
由题意知：，，，
直线AP的方程为：，
由，，则，
代入直线方程，可得，整理得：，
所求的双曲线离心率为
故选：
求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，设，两边取对数可得：，
设，
取导数可得，
在区间上，，为增函数，
在区间上，，为减函数，
则的最大值为，即当时，取得最大值，
对于，当时，函数取得最大值，
对于，有，，有，即当最大时，n的值为3；
故选：
根据题意，设，变形可得，设，对求导，分析可得的单调性，可得即当时，即取得最大值，进而可得当时，函数取得最大值，由此计算、的值，分析可得答案．
本题考查数列与函数的关系，涉及函数单调性的判断，属于基础题．
 

9.【答案】BD
 

【解析】解：对A：若，，则或m与n相交或m与n异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C错误；
对D：若，，则或，又，则，故选项D正确．
故选：
根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案．
本题考查了线线、线面、面面的位置关系，属于基础题．
 

10.【答案】ACD
 

【解析】解：对于A，2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中，
每年的国产影片数量均大于等于5部，
国产影片数量每年的占有比都不低于，故A正确；
对于B，2020年国产影片占比为，2021年国产影片占比为，
国产影片占比并非逐年提高，故B错误；
对于C，2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中，
国产片当量平均数为，
进口影片数量平均数为，故C正确；
对于D，2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片的方差为：
，
进口影片的方差为：
，故D正确．
故选：
根据条形统计图依次计算影片数量占比、平均数和方差，即可求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图的性质基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】AD
 

【解析】解：对于A，数列满足，，
，，解得，又，解得，
同理，解得，故A正确；
对于B，由A得，，不为等比数列，故B错误；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确．
故选：
利用递推公式可求出，，的值，可判断A，B；将，变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C；将，变为，利用等比数列的求和公式求出结果，判断
本题考查命题真假的判断，考查递推公式、分组求和法、等比数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】BC
 

【解析】解：当时，，此时不妨到过焦点垂直于x轴，
不妨取，，则，故A错误；
时，，
此时不妨设，，在抛物线上逆时针排列，设，，
则，则，，
，
令，，则，
令，则，
当时，，递增，当时，，递减，
故，
故，即，时，取到最小值9，故B正确；
时，，
此时不妨设，，，在抛物线上逆时针排列，设，，
，则，，，
，
，
，故C正确；
由C的分析可知，
当时，取等号，故D错误．
故选：
以为抛物线的通径，可求得的值，判断A；时，写出焦半径，，的表达式，利用换元法，结合导数求函数的最值，判断B，时，写出焦半径，，，的表达式，利用三角函数的知识，可判断
本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性强，以及利用导数求最值，和三角函数的相关知识，属难题．
 

13.【答案】240
 

【解析】解：二项式 的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中的常数项是，
故答案为：
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

14.【答案】AE、或AE、DG，或AE、GF或AG、
 

【解析】解：如图所示，连接DF和GF，相交于点O，连接AO，

，，，≌，，
，，≌，
，，，
，，，
，AO，平面AOE，
平面AOE，又平面AOE，
故答案为：AE、或AE、DG，或AE、GF或AG、
连接DF和GF，相交于点O，推导出平面AOE，能求出结果．
本题考查互相垂直的异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由三角函数定义得：，
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以C点坐标为
故答案为：
根据三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数关系可求得，，由此可求得C点坐标．
本题考查了三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数关系的应用，属于基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，作出函数的图象，作直线，平移到与函数图象相切，
由图象知直线与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值．
由得，
令得，此时，
即切点为，
由，得，

故答案为：
求出函数的斜率为2的切线方程，与两条平行线的交点间的横坐标之差为的最小值．
本题考查导数的几何意义，考查函数图象交点问题，解题关键是转化与化归思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：对于①，，
又由余弦定理可得，，
，
，
，
对于②，，
由正弦定理可得，，
，，，
或，
又，
或，
③，
由正弦定理可得，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，解得，
由和或，可推出，即①②③，
由和或，可推出，即②③①，
故真命题为①②③，②③①．
 

【解析】对于①，结合余弦定理，即可求解，对于②，结合正弦定理，以及三角形的性质，即可求解，对于③，结合正弦定理，以及三角函数恒等变换的公式，即可求解，再根据①②③化简后的结论，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

18.【答案】证明：连接AE，
是圆柱上异于AD，BC的母线．
，，四边形AEFD是矩形，，
是底面和直径，，，
又底面圆O，底面圆O，，
又，EF，平面DEF，
平面DEF；
解：由知平面DEF；
，
当且仅当时取等号，即此时三棱锥的体积最大，
，，，平面BEF，平面BEF，
为二面角的平面角，
在中，由，，，

二面角的余弦值为
 

【解析】连接AE，证明，，可证平面DEF；
，可求最大体积，可证为二面角的平面角，进而可求二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，二面角的大小的求法，属中档题．
 

19.【答案】解：证明：依题意，正项数列中，，即，
当时，，即，
整理，得，又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，数列是正项数列，；
数列中不存在连续三项，，，使得，，构成等差数列．
理由如下：
当时，，
，即，都有，
，
假设数列中存在连续三项，，，使得，，构成等差数列，
则，即，
两边同时平方，得，
，
整理得，，不成立，故假设错误，
数列中不存在连续三项，，，使得，，构成等差数列．
 

【解析】根据给定递推公式，结合“当时，”，建立与的关系即可推理作答．
由求出，利用反证法推导出矛盾，推理作答．
本题考查等差数列的证明，考查数的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：设A，B，C表示篮球，羽毛球，游泳三种运动象限，，，分别表示第n天进行A，B，C三种运动项目的概率，
小王第一天打羽毛球，
第二天小王做三项运动的概率分别为，，，
第三天小王做三项运动的概率分别为，
，
，
故小王第三天打羽毛球的可能性最大．
小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB，BBC，BCA，BCB，BCC共9种，
运动能量消耗总数用X表示，X所有可能取值为1200，1300，1400，1500，1600，
，
，
，
，
，
故X的分布列为：

故卡
 

【解析】根据小王第一天打羽毛球，先求出第二天分别参加三项运动的概率，再由此分别计算第三天分别参加三项运动的概率，再通过比较大小，即可求解．
小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB，BBC，BCA，BCB，BCC共9种，运动能量消耗总数用X表示，X所有可能取值为1200，1300，1400，1500，1600，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：由已知有，即恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，当时，
所以是函数在内唯一的极大值点，也是最大值点，
所以，所以只要，即即可，
故实数a的取值范围是；
证明：设，将问题转化为在区间上有唯一的零点，
由，知在区间上单调递减，
故函数在区间上至多有1个零点，
因为，
，
由知，当时，当且仅当时取等号，
因为，所以，所以，又，，所以，
因为，所以，所以，即，
又，即，所以，
由函数零点存在定理知：在区间上有唯一的零点，即存在唯一，使得成立．
 

【解析】由已知进行参变分离从而转为求的最大值；
将问题转化为在区间上有唯一的零点，由解析式可确定在上单调递减；结合的结论知，进而得到，，由零点存在定理可证得结论．
本题考查导数的综合应用，主要考查参变分离及比值换元的问题，考查函数思想，综合性较强．属于难题．
 

22.【答案】解：由题意可知，
当点M在x轴上时，，不妨设，
得，解得，
所以椭圆C的标准方程为
设，，
则，
同理，
，
同理，
所以的周长为，
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为或
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为
②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，
由直线PQ与圆相切，得，即，
联立得，化简得，
则，易知恒成立，
而，即，同号，
当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，，
此时的周长为定值．
当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，，
此时的周长
，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
即或时取等号．
从而，所以周长的取值范围为
综上所述，周长的取值范围为
 

【解析】由题意可知，再根据列出相应的方程，组成方程组解得答案；
设，，从而表示出的周长，分类讨论，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，从而结合基本不等式，求得答案．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．