期末测试卷（七下北师大版第1~6章：整式的乘除、相交线与平行线、变量之间的关系、三角形、轴对称、概率）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版）

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期末测试卷考试时间：100分钟 试卷满分：120分一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．下列各式，能用平方差公式计算的是（　　）A．（2a+b）（2b﹣a） B．（＋1）（﹣－1）C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）【答案】D【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．【详解】解：A、该代数式中既不含有相同项，也不含有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；B、该代数式中只含有相同项a和1，不含有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；C、该代数式中只含有相同项2a和-3b，不含有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；D、该代数式中既含有相同项-a，也含有相反项2b，能用平方差公式计算，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(   )A．4，5，9 B．8，8，15 C．5，5，10 D．6，7，14【答案】B【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”,分别套入四个选项中得三边长,即可得出结论.【详解】A、∵5+4=9,9=9,∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;B、8+8=16,16>15,∴该三边能组成三角形,故此选项正确;C、5+5=10,10=10,∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;D、6+7=13,13<14,∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;故选:B.【点拨】此题考查三角形三边的关系，难度不大3．将0.0000019用科学记数法表示为（ ）A．1.9×10－6 B．1.9×10－5 C．19×10－7 D．0.19×10－5【答案】A【分析】利用科学记数法，表达的形式a×10n，其中0≤|a|<10，n是负整数，其n是原数前面0的个数，包括小数点前面的0.【详解】1.9×10－6【点拨】本题考查：小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．下列计算正确的是(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】根据整式的运算法则逐项分析四个选项，由此即可得出结论．【详解】A、计算错误，不符合题意；B、计算错误，不符合题意；C、计算正确，符合题意；D、计算错误，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，解决该题型题目时，熟练掌握整式的运算法则是关键．5．如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（    ）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】A【详解】如图，过点B作BD//l，∵直线l//m，∴BD//l//m．∵∠1=25°，∴∠4=∠1=25°．∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°．∴∠2=∠3=20°．故选A．6．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是(　　)A．25 B．33 C．34 D．50【答案】B【详解】由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…由此可得第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．7．如图，∠CAB=∠DAB下列条件中不能使△ABC≌△ABD的是（   ）A．∠C=∠D B．∠ABC=∠ABD C．AC=AD D．BC=BD【答案】D【分析】根据题目中的已知条件AB=AB, ∠CAB=∠DAB,再结合题目中所给选项中的条件, 利用全等三角形的判定定理进行分析即可.【详解】有条件AB=AB, ∠CAB=∠DAB ,A. 再加上∠C=∠D 可利用 AAS可证明 △ABC≌△ABD , 故此选项不合题意;B. 再加上条件∠ABC=∠ABD可利用AAS可证明△ABC≌△ABD, 故此选项不合题意;C. 再加上条件AC=AD 可利用SAS可证明△ABC≌△ABD, 故此选项不符合题意;D.再加上条件BC=BD 不能证明△ABC≌△ABD , 故此选项合题意;故选:D.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，E在边AC上，若D与C关于BE成轴对称，则下列结论：①∠A＝30°；②△ABE是等腰三角形；③点B到∠CED的两边距离相等．其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】根据题意需要证明Rt△BCE≌Rt△BDE, Rt△EDA≌Rt△EDB，即可解答【详解】∵D与C关于BE成轴对称∴Rt△BCE≌Rt△BDE（SSS）∵△BCE≌△BDE∴∠EDB=∠EDA=90°，BD=BC又∵D是AB的中点∴AD=DB∴Rt△EDA≌Rt△EDB(HL)∴∠A＝30°（直角三角形含30°角，BC= AB）∴△ABE是等腰三角形∴点B到∠CED的两边距离相等故选D【点拨】此题考查全等三角形的判定和直角三角形的性质，解题关键在于利用全等三角形的判定求解9．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率【答案】A【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为≈0.33，故此选项正确；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项错误；D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误．故选A．【点拨】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．7．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（　　）A．小丽在便利店时间为15分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽从家到达公园共用时间20分钟D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟【答案】A【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确．【详解】小丽在便利店时间为15-10=5（分钟），故选项A错误，公园离小丽家的距离为2000米，故选项B正确，小丽从家到达公园共用时间20分钟，故选项C正确，小丽从家到便利店的平均速度为：2000÷20=100米/分钟，故选项D正确，故选：A．【点拨】此题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题：本题共5小题，共15分。11．计算：________．【答案】【分析】根据多项式与单项式的乘法法则计算．【详解】解：==故答案为【点拨】本题考查了多项式与单项式的乘法计算，熟练掌握多项式与单项式的乘法法则是解题的关键．12．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分极分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为_____cm．【答案】10cm．【分析】根据相似垂直平分线的性质得到DA=DC，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵边AC和BC的垂直平分极分别交AB于D、E两点，∴DA=DC，EC=EB，∴△CDE的周长=CD+DE+EC=AD+DE+EB=AB=10cm，故答案为10cm．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．观察下列运算并填空：1×2×3×4+1＝25＝52；2×3×4×5+1＝121＝112：3×4×5×6+1＝361＝192；…根据以上结果，猜想研究n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝_____．【答案】n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2．【分析】等号左边是4个连续的整数的积加1即n（n+1）（n+2）（n+3）+1，等号右边对应的规律为（n2+3n+1）2.【详解】解：等号右边的底数分别为5=1+3+111=22+2×3+119=32+3×3+1下一个为等号左边为：4×5×6×7+1等号右边为：42+3×4+1=29，则第n个式子为：n（n+1）（n+2）（n+3）+l=（n2+3n+1）2.故答案为（n2+3n+1）2【点拨】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于找到等式右边的规律（n2+3n+1）2.14．若 中不含x的一次项，则_______ .【答案】-2【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先依据法则运算，展开式后，因为不含关于字母x的一次项，即一次项的系数为0，再求a的值.【详解】原始=∵不含x的一次项，即x的一次项系数为0∴解得：故填：-2.【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.15．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离米与甲出发的时间秒之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米【答案】175【详解】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m米/秒，则（m-2.5）×（180-30）=75，解得：m=3米/秒，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为： =500（秒），此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．【点拨】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．三、解答题：本题共8小题，共75分。16．先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，最后把数值代入进行计算即可得．【详解】==x+1当时，原式．【点拨】本题考查了整式的混合运算--化简求值，熟练掌握整式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．17．如图，试说明．【答案】见解析【分析】根据平行线的判定与性质直接证明即可．【详解】证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟知关于平行线的判定与性质是解本题的关键．18．如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE全等吗？请说明理由．【答案】△BCE≌△BDE【分析】根据全等三角形的性质与判断进行解答即可，先求出△ACB≌△ADB（SAS），再利用BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，求出△BCE≌△BDE（SAS）【详解】解：△BCE≌△BDE，理由如下：在△ACB与△ADB中 ，∴△ACB≌△ADB（SAS），∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，在△BCE与△BDE中 ，∴△BCE≌△BDE（SAS）．【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定法则是解题关键19．重庆八中七年级 16 班同学为了解2019年某小区家庭月均用水情况，进行了一次社会实践活动．他们随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，      请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）若重庆市准备实施的阶梯水价中，计划对月用水量不超过 15 吨的家庭实施水价下浮政策．为此，该班同学随机从这些用户中抽取一户进行采访．则抽到的采访用户属于月用水量不超过 5 吨的概率是多少？【答案】（1）6，16，，补全图见解析；（2）【分析】(1)先用第2组的频数除以它的百分比得到样本容量，然后计算填表，再补全直方图；(2)计算求得月用水量不超过 15 吨的家庭数和月用水量不超过 5 吨的家庭数，利用概率公式即可求解．【详解】(1)根据第2组的数据得：样本容量为，∴第1组的频数：，第3组的频数：，第5组的百分比：，补全直方图如图： 故答案为：6，16，；(2)月用水量不超过 15 吨的家庭数：，月用水量不超过 5 吨的家庭数：，∴抽到的采访用户属于月用水量不超过 5 吨的概率是：．【点拨】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力以及概率公式的应用；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．已知，如图，AB＝CD，AB∥CD，BE＝FD，问△ABF与△CDE全等吗？【答案】△ABF与△CDE全等；理由见解析.【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠D,然后再利用SAS判定△ABF≌△CDE即可【详解】解：△ABF与△CDE全等，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE，在△ABF和△CDE中， ，∴△ABF≌△CDE(SAS)【点拨】此题考查全等三角形的判定，掌握判定法则是解题关键21．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到(a+2b)(a+b)＝a2+3ab+2b2．请解答下问题：(1)写出图2中所表示的数学等式_____；(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；(3)小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？(4)小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b)(2a+5b)长方形，求9x+10y+6．【答案】(1)(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；(2)29；(3)较长的一边长为2a+3b；(4)806．【分析】(1)直接求得正方形的面积,然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可;(2)将a+b+c=9,ab+bc+ac=26代入(1)中得到的关系式,然后进行计算即可;(3)先列出长方形的面积的代数式,然后分解代数式,可得到矩形的两边长(4)长方形的面积xa2+yb2+zab=(25a+7b)(9a+5b),然后运算多项式乘多项式法则求得(25a+7b)(2a+45b)的结果,从而得到x、y、z的值,代入即可求解【详解】解：(1)正方形的面积可表示为＝(a+b+c)2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，所以(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．故答案为(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．(2)由(1)可知：a2+b2+c2＝(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)＝92﹣26×2＝81﹣52＝29．(3)长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝(2a+3b)(a+b)．所以长方形的边长为2a+3b和a+b，所以较长的一边长为2a+3b．(4)∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝(25a+7b)(2a+5b)＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2，∴x＝50，y＝35，z＝139．∴9x+10y+6＝450+350+6＝806．【点拨】此题考查多项式乘多项式，掌握运算法则是解题关键22．如图，点D为射线CB上一点，且不与点B、C重合，DE∥AB交直线AC于点E，DF∥AC交直线AB于点F．画出符合题意的图形，猜想∠EDF与∠BAC的数量关系，并说明理由．【答案】当点D在线段CB上时，∠EDF=∠BAC；当点D在线段CB的延长线上时，∠EDF+∠BAC=180°，证明见解析．【分析】①当点在线段CB上时，因为DE∥AB，两直线平行，同位角相等，所以∠BAC=∠1；因为DF∥AC，两直线平行，内错角相等，所以∠EDF=∠1．等量代换，即可证明∠EDF=∠BAC；②当点D在线段CB的延长线上时，因为DF∥AC，两直线平行，内错角相等且同旁内角和为180°，所以∠BAC=∠AFD，∠EDF+∠AFD=180°．等量代换，即可证明∠EDF+∠BAC=180°．【详解】证明：如图1，2所示：①当点D在线段CB上时，如图1，∠EDF=∠A，∵DE∥AB(已知)，∴∠1=∠BAC(两直线平行，同位角相等)．∵DF∥AC(已知)，∴∠EDF=∠1(两直线平行，内错角相等)．∴∠EDF=∠BAC(等量代换)．②当点D在线段CB的延长线上时，如图②，∠EDF+∠BAC=180°，∵DE∥AB(已知)，∴∠EDF+∠F=180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵DF∥AC(已知)，∴∠F=∠BAC(两直线平行，内错角相等)．∴∠EDF+∠BAC=180°(等量代换)．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，利用分类讨论得出结果是解答本题的关键．23．如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接.以为直角边且在的上方作等腰直角三角形.（1）若，①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与的数量关系和位置关系；②当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系.【答案】（1）①CF⊥BD，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF⊥BD，证明见解析.【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点拨】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.