宁夏育才中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附答案）

这是一份宁夏育才中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级 姓名 考场 座位号
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A. 圆心，半径B. 圆心，半径
C. 圆心，半径D. 圆心，半径
2.一个物体做直线运动，位移s(单位：)与时间t(单位：s)之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为( )
A.2B.-1C.1D.6
3.已知函数（，且），若，则( )
A.eB.C.D.
4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（ ）
A．2B．1C．D．
5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
6.等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（ ）．
A. B. C. 17 D.
7.已知与曲线相切，则实数a的值为( ).
A.-1B.1C.0D.2
8.已知F1，F2是双曲线x2a2- y2b2＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，焦距为2c，以原点O为圆心，|OF2|为半径的圆与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|＝3c，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 3+1 C. 3 D. 2+1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
9．下列求函数的导数正确的是（ ）
A． B．2x−1'=12x−1
C．e5x−4'=e5x−4 D．sin2x+π3'=−2cs2x+π3
10. 已知圆，则( ).
A.圆M可能过原点B.圆心M在直线x+y−1=0上
C.圆M与直线相切D.圆M被直线所戴得的弦长为
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
B．若为上的动点，则的最小值为5
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
12．已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 过点A2,3且与直线x+2y−6=0垂直的直线方程是______.
14．已知等差数列中，，则数列的前8项和等于______.
15．双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则
（1）双曲线的标准方程为 ；（2）的面积为 .
16. 数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝______.
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22题每道题满分12分。）
17(10分)已知的三顶点坐标为，求
(1)的外接圆的方程;
(2)过点作圆的切线，求切线方程.
18（12分）已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③.
这三个条件中任选其中一个，补充在上面横线上，并解答下面的问题.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19（12分）已知数列满足，
(1)证明是等比数列，并求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
20（12分）已知函数f(x)=13x3−ax2+(a−1)x．
（1）当a=1时，求fx在1,f1处的切线方程；
（2）设f'x是函数fx的导函数，求f'x零点之间距离最小时 a 的值．
21（12分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的离心率为22, P是椭圆C上一点,F1，F2是椭圆C的两个焦点,且PF1+PF2=4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线y=2x+m交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求∆OAB面积的最大值.
22.（12分）已知抛物线C:y2=2px (p>0)上一点P（x0,−4）到焦点F的距离PF=2x0.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点(A,B异于点P),且直线AP、BP的斜率满足：kAP+kBP=−2,试判断直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
高二年级数学期末考试参考答案
一、选择题
二、填空题
13、2x−y−1=0． 14、72 15、（1） ；（2）63； 16、192
三、解答题
17【详解】（1）不妨设外接圆的一般方程为
故
解得：
即的外接圆的方程为：
（2）由题意，
故圆心为，半径，
若切线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，成立，故为圆C的切线；
若切线的斜率存在，不妨设切线为：，
圆心到直线的距离：，解得
故切线方程为：
综上，过点的圆的切线方程为： 或
18.解.方案一：选条件①.
设等差数列的公差为，
由，解得，所以.
.
当时，，整理得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以.
方案二：选条件②.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，所以.
设等比数列的公比为，因为，
所以，
又，，所以，解得或（舍去），
所以.
方案三：选条件③.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以.
因为，，，所以当时，，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以
19. (本题12分)【解析】（1）∵数列满足，，
∴，
又，
∴是首项为，公比为3的等比数列.
∴，
∴的通项公式.
（2）.
∴数列的前项和：
，①
，②
①-②，得：
，
∴.
20. (本题12分)
解：（1）当a=1时，f(x)=13x3−x2，可得f(1)=13−1=−23，所以切点为1,−23，
因为f'(x)=x2−2x，所以k=f'1=1−2=−1，
所以fx在1,f1处的切线方程为：y+23=−x−1，
即3x+3y−1=0，
（2）f'(x)=x2−2ax+a−1，
因为Δ=4a2−4a−1=4a2−a+1=4a−122+34>0，
所以函数f'(x)=x2−2ax+a−1有两个零点，分别设为x1,x2，
则x1+x2=2a，x1x2=a−1，
所以x1−x2=x1−x22=x1+x22−4x1x2=4a2−4a−1=2a−122+34，
所以当a=12时，函数f'x零点之间距离最小为3.
21. (本题12分)
解:(1)∵|PF1|+|PF2|=4,
∴2a=4,即a=2.
∵e=ca=22,
∴c=2,
∴b2=a2-c2=2,
即椭圆方程为x24+y22=1.
(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),
将y=2x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+42nx+2n2-4=0,
Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10,
∴x1+x2=-42n5,x1x2=2n2-45,
∴|AB|=1+2·(x1+x2)2-4x1x2=265·10−n2,点O到直线AB的距离d=|n|3,
∴S△OAB=12×|AB|×d=12×265×10−n2×|n|3=25×(10-n2)n2≤25×12×(10-n2+n2)=2,
∴当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号,
∴△OAB面积的最大值为2.
22. (本题12分)
解：(1)由题可得: QUOTE
解得x0=2,p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)过定点(-2,0).
设直线l的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 QUOTE 消x得:y2-8my-8n=0,
Δ=32(2m2+n)>0,
所以y1+y2=8m,y1y2=-8n,
所以kAP= QUOTE = QUOTE = QUOTE ,
同理kBP= QUOTE ,又kAP+kBP=-2,
所以y1y2-16=0,所以n=-2,
所以直线l的方程为:x=my-2,过定点(-2,0).题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
A
C
A
C
B
AB
AD
CD
AC