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宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则为（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
3. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数是R上的奇函数且，则为（ ）
A. B. 1C. 0D. 2022
5. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若，，，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数，，设，．其中表示p，q中的较大值，表示p，q中的较小值．记的最小值为Q，记的最大值为T，则为（ ）
A. B. 1C. 0D.
8. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
10. 已知函数是奇函数或偶函数，则图象可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若函数，则与是相等函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于对称
D. 在单调递增
12. 已知函数及其导函数定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 是周期为4的周期函数
C. 为奇函数D. 图象关于点对称
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，若幂函数是非奇非偶函数，且在单调递增，则________．
14. 已知，，且，则的最小值为________．
15. 已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则________．
16. 已知函数是R上的奇函数，函数是R上无零点的偶函数，若，且在恒成立，则的解集为________．
四、解答题（17题10分，其余各题每小题12分，共70分）
17. 计算
（1）
（2）
18. 设函数，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
19. 已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围.
20. 已知（且）是指数函数．
（1）求关于x的不等式的解集．
（2）求在区间上的值域．
21. 已知．
（1）求函数单调区间；
（2）若，有三个不同的零点，求m的取值范围．
22. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，若（），证明：．
宁夏六盘山高级中学
2023—2024学年第二学期高二期末测试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式求集合，进而可求.
【详解】由题意可得：，，
所以.
故选：D.
2. 已知函数，则为（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，
所以
故选：C
3. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性得到，得到时的解析式.
【详解】时，，，
因为为奇函数，所以，
故，所以.
故选：B
4. 已知函数是R上的奇函数且，则为（ ）
A. B. 1C. 0D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】根据关系式可得周期为6，即可代入求解.
【详解】由可得，
所以为周期为6的奇函数，故.
故选：C
5. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，即可根据拐点定义求解.
【详解】由，得，进而，
令，故，
所以，故对称中心为
故选：B
6. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简函数，推出，再根据函数在上的单调性即得.
【详解】由可知，，
且在上单调递减，故，即.
故选：A.
7. 已知函数，，设，．其中表示p，q中的较大值，表示p，q中的较小值．记的最小值为Q，记的最大值为T，则为（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数，的图像，根据题设条件分别得出，的最小值、最大值，进而得出答案.
【详解】函数，的图像，如下图所示：
则函数的图像如下图所示：
函数的图像如下图所示：
由图可知，的最小值为，的最大值为，
则.
故选：B
8. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，推得函数图象关于直线对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.
【详解】
由可知函数的图象关于直线对称，
且，因是偶函数，则，故有，
即函数的周期为2.又当时，，故可作出函数的图象如图.
由关于x的方程恰有5个实数解，可理解为与恰有5个交点.
而这些直线恒过定点,考虑直线与相交的两个临界位置,
由图知，需使，即.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.
解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，若，显然，即，则，故B正确；
对于C，若，且，则，故C正确；
对于D，若，则，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意，当是奇函数时，利用奇偶性定义，推得，回代入原式，分析推理出在上的单调性，由奇偶性即得在R上单调性即得A项；当是偶函数时，利用奇偶性定义，推得，回代入原式，分析推理出在上的单调性，由奇偶性即得在上的单调性即得C项.
【详解】依题意，当函数是奇函数时，因的定义域为R，故有，
因不恒为0，故有，此时，
记，则，当时，，在上单调递增，
故在上单调递增.因是奇函数，故函数在R上为增函数，
故A正确，B错误；
当函数是偶函数时，,
因不恒为0，故有，此时，
记，则，当时，，在为增函数，
故在上单调递增，又因是偶函数，故函数在上单调递减.故C正确，D错误.
故选：AC.
11. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若函数，则与是相等函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于对称
D. 在单调递增
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，说明定义域不相同即可判断；对于B，说明的定义域不关于原点对称即可判断；对于C，由对称性的定义验算即可；对于D，由复合函数单调性即可判断.
【详解】对于AB，的定义域为，
的定义域为，的定义域不关于原点对称，故A错误 B错误；
对于C，的定义域关于对称，且，故C正确；
对于D，，因为关于在定义域内单调递增，关于在上单调递增，
由复合函数单调性可知，在单调递增，故D正确.
故选：CD.
12. 已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 是周期为4的周期函数
C. 为奇函数D. 图象关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得，，结合求导可得，的周期性，即可结合选项逐一判定.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
所以函数的图象关于对称，则，
又为偶函数，所以，即，
两边求导得，，即，关于对称，
则关于原点对称，为奇函数，故C正确，
，，
由以上分析得，即，
所以是周期为4的函数，
故，故A错误；
对于B，由于，则，
由于，故
所以，因此以4为周期的周期函数，B正确，
对于D，由于,则，故关于对称，
由于不一定为0，故D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：由奇偶性的定义可得，，利用复合函数的求导法则可得，即可判定函数的周期性求解.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，若幂函数是非奇非偶函数，且在单调递增，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据函数为非奇非偶函数，舍去，再由单调性即可判断.
【详解】因幂函数是非奇非偶函数，故不能取，
又因在单调递增，故，则.
故答案为：.
14. 已知，，且，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：4
15. 已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】由奇函数的性质以及函数的最值性质即可求解.
【详解】记，显然的定义域关于原点对称，且，
所以是区间上的奇函数，
设的最大值为，则的最小值为，
所以.
故答案为：2.
16. 已知函数是R上的奇函数，函数是R上无零点的偶函数，若，且在恒成立，则的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】构建函数，判断其单调性和奇偶性，分和，结合函数性质分析求解.
【详解】因为，设，可知的定义域为，关于原点对称，
由题意可得：，可知为奇函数，
又因为，
且在恒成立，即，
可得在恒成立，可知在内单调递增，
可知在内单调递增，
又因为，可得，则，
对于不等式，显然不合题意，则有：
若，可得，即，解得；
若，可得，即，解得；
综上所述：的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：构建函数，判断其单调性和奇偶性，进而解不等式.
四、解答题（17题10分，其余各题每小题12分，共70分）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算性质直接计算即可；
（2）由对数的运算性质直接计算即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
.
18. 设函数，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据题意直接代入可求得，再利用对数函数真数大于零，求得的定义域；
（2）先化简函数的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
由，得，则，解得；
又，解得，
所以的定义域为；
【小问2详解】
由（1）得，
因为，令，
令，则函数在单调递增，
故，即时，取最小值，
故的最小值为0.
19. 已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）时，求出导数，求出切线斜率，从而得切线方程，整理成一般式即可；
（2）恒成立可转化为，即，从而只要求得的最大值即可，利用导数即可得出.
【小问1详解】
，，
，，
∴在处切线方程为,.
【小问2详解】
∵，有恒成立，则，即，
令，当时，， ，
∵当时， ，所以在上单调递增，
∴．∴ ．
【点睛】关键点点睛：利用导数处理不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题，其中分离参数法是重要的思想方法．
20. 已知（且）是指数函数．
（1）求关于x的不等式的解集．
（2）求在区间上的值域．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由指数函数的定义得到方程，求出，，则，利用函数单调性得到不等式，并结合定义域，求出不等式的解集；
（2）变形得到，换元后得到，，利用二次函数单调性求出值域.
【小问1详解】
由指数函数定义，得，而且且，
解得，，则，
不等式，即，
而函数在R上递增，因此，即，
则，解得，所以原不等式的解集为．
【小问2详解】
，
当，令，则，
所以，，
由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
，且，
函数在区间上的值域为．
21. 已知．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，有三个不同的零点，求m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论和的解集即得.
（2）求出函数的极大值与极小值，再结合函数零点的意义求解即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
因此函数的递增区间为，递减区间为；
当时，由，得，由，得，
由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为；
当时，，因此函数递减区间为，无递增区间；
当时，由，得，由，得，
由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为，
所以，当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，无递增区间；
当时，函数的递减区间为，递增区间为．
【小问2详解】
当时，由（1）知函数的递减区间为，递增区间为，
因此函数的极大值为，的极小值为，
由，得，若有三个不同零点，则有三个不同的解，
所以m的取值范围为.
22. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，若（），证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）由，得到，求得，得到，化简得到，设，利用函数的导数求解函数的最小值，即可求解．
【小问1详解】
解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
证明：由（1）知，，
可得，且，
所以，所以，
因为，所以，可得，
则，
因为，所以，记得，
所以，
设，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，当时，，
所以，所以，即.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则为（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
3. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数是R上的奇函数且，则为（ ）
A. B. 1C. 0D. 2022
5. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若，，，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数，，设，．其中表示p，q中的较大值，表示p，q中的较小值．记的最小值为Q，记的最大值为T，则为（ ）
A. B. 1C. 0D.
8. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
10. 已知函数是奇函数或偶函数，则图象可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若函数，则与是相等函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于对称
D. 在单调递增
12. 已知函数及其导函数定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 是周期为4的周期函数
C. 为奇函数D. 图象关于点对称
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，若幂函数是非奇非偶函数，且在单调递增，则________．
14. 已知，，且，则的最小值为________．
15. 已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则________．
16. 已知函数是R上的奇函数，函数是R上无零点的偶函数，若，且在恒成立，则的解集为________．
四、解答题（17题10分，其余各题每小题12分，共70分）
17. 计算
（1）
（2）
18. 设函数，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
19. 已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围.
20. 已知（且）是指数函数．
（1）求关于x的不等式的解集．
（2）求在区间上的值域．
21. 已知．
（1）求函数单调区间；
（2）若，有三个不同的零点，求m的取值范围．
22. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，若（），证明：．
宁夏六盘山高级中学
2023—2024学年第二学期高二期末测试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式求集合，进而可求.
【详解】由题意可得：，，
所以.
故选：D.
2. 已知函数，则为（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，
所以
故选：C
3. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性得到，得到时的解析式.
【详解】时，，，
因为为奇函数，所以，
故，所以.
故选：B
4. 已知函数是R上的奇函数且，则为（ ）
A. B. 1C. 0D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】根据关系式可得周期为6，即可代入求解.
【详解】由可得，
所以为周期为6的奇函数，故.
故选：C
5. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，即可根据拐点定义求解.
【详解】由，得，进而，
令，故，
所以，故对称中心为
故选：B
6. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简函数，推出，再根据函数在上的单调性即得.
【详解】由可知，，
且在上单调递减，故，即.
故选：A.
7. 已知函数，，设，．其中表示p，q中的较大值，表示p，q中的较小值．记的最小值为Q，记的最大值为T，则为（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数，的图像，根据题设条件分别得出，的最小值、最大值，进而得出答案.
【详解】函数，的图像，如下图所示：
则函数的图像如下图所示：
函数的图像如下图所示：
由图可知，的最小值为，的最大值为，
则.
故选：B
8. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，推得函数图象关于直线对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.
【详解】
由可知函数的图象关于直线对称，
且，因是偶函数，则，故有，
即函数的周期为2.又当时，，故可作出函数的图象如图.
由关于x的方程恰有5个实数解，可理解为与恰有5个交点.
而这些直线恒过定点,考虑直线与相交的两个临界位置,
由图知，需使，即.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.
解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，若，显然，即，则，故B正确；
对于C，若，且，则，故C正确；
对于D，若，则，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意，当是奇函数时，利用奇偶性定义，推得，回代入原式，分析推理出在上的单调性，由奇偶性即得在R上单调性即得A项；当是偶函数时，利用奇偶性定义，推得，回代入原式，分析推理出在上的单调性，由奇偶性即得在上的单调性即得C项.
【详解】依题意，当函数是奇函数时，因的定义域为R，故有，
因不恒为0，故有，此时，
记，则，当时，，在上单调递增，
故在上单调递增.因是奇函数，故函数在R上为增函数，
故A正确，B错误；
当函数是偶函数时，,
因不恒为0，故有，此时，
记，则，当时，，在为增函数，
故在上单调递增，又因是偶函数，故函数在上单调递减.故C正确，D错误.
故选：AC.
11. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若函数，则与是相等函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于对称
D. 在单调递增
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，说明定义域不相同即可判断；对于B，说明的定义域不关于原点对称即可判断；对于C，由对称性的定义验算即可；对于D，由复合函数单调性即可判断.
【详解】对于AB，的定义域为，
的定义域为，的定义域不关于原点对称，故A错误 B错误；
对于C，的定义域关于对称，且，故C正确；
对于D，，因为关于在定义域内单调递增，关于在上单调递增，
由复合函数单调性可知，在单调递增，故D正确.
故选：CD.
12. 已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 是周期为4的周期函数
C. 为奇函数D. 图象关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得，，结合求导可得，的周期性，即可结合选项逐一判定.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
所以函数的图象关于对称，则，
又为偶函数，所以，即，
两边求导得，，即，关于对称，
则关于原点对称，为奇函数，故C正确，
，，
由以上分析得，即，
所以是周期为4的函数，
故，故A错误；
对于B，由于，则，
由于，故
所以，因此以4为周期的周期函数，B正确，
对于D，由于,则，故关于对称，
由于不一定为0，故D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：由奇偶性的定义可得，，利用复合函数的求导法则可得，即可判定函数的周期性求解.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，若幂函数是非奇非偶函数，且在单调递增，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据函数为非奇非偶函数，舍去，再由单调性即可判断.
【详解】因幂函数是非奇非偶函数，故不能取，
又因在单调递增，故，则.
故答案为：.
14. 已知，，且，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：4
15. 已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】由奇函数的性质以及函数的最值性质即可求解.
【详解】记，显然的定义域关于原点对称，且，
所以是区间上的奇函数，
设的最大值为，则的最小值为，
所以.
故答案为：2.
16. 已知函数是R上的奇函数，函数是R上无零点的偶函数，若，且在恒成立，则的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】构建函数，判断其单调性和奇偶性，分和，结合函数性质分析求解.
【详解】因为，设，可知的定义域为，关于原点对称，
由题意可得：，可知为奇函数，
又因为，
且在恒成立，即，
可得在恒成立，可知在内单调递增，
可知在内单调递增，
又因为，可得，则，
对于不等式，显然不合题意，则有：
若，可得，即，解得；
若，可得，即，解得；
综上所述：的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：构建函数，判断其单调性和奇偶性，进而解不等式.
四、解答题（17题10分，其余各题每小题12分，共70分）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算性质直接计算即可；
（2）由对数的运算性质直接计算即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
.
18. 设函数，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据题意直接代入可求得，再利用对数函数真数大于零，求得的定义域；
（2）先化简函数的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
由，得，则，解得；
又，解得，
所以的定义域为；
【小问2详解】
由（1）得，
因为，令，
令，则函数在单调递增，
故，即时，取最小值，
故的最小值为0.
19. 已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）时，求出导数，求出切线斜率，从而得切线方程，整理成一般式即可；
（2）恒成立可转化为，即，从而只要求得的最大值即可，利用导数即可得出.
【小问1详解】
，，
，，
∴在处切线方程为,.
【小问2详解】
∵，有恒成立，则，即，
令，当时，， ，
∵当时， ，所以在上单调递增，
∴．∴ ．
【点睛】关键点点睛：利用导数处理不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题，其中分离参数法是重要的思想方法．
20. 已知（且）是指数函数．
（1）求关于x的不等式的解集．
（2）求在区间上的值域．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由指数函数的定义得到方程，求出，，则，利用函数单调性得到不等式，并结合定义域，求出不等式的解集；
（2）变形得到，换元后得到，，利用二次函数单调性求出值域.
【小问1详解】
由指数函数定义，得，而且且，
解得，，则，
不等式，即，
而函数在R上递增，因此，即，
则，解得，所以原不等式的解集为．
【小问2详解】
，
当，令，则，
所以，，
由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
，且，
函数在区间上的值域为．
21. 已知．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，有三个不同的零点，求m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论和的解集即得.
（2）求出函数的极大值与极小值，再结合函数零点的意义求解即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
因此函数的递增区间为，递减区间为；
当时，由，得，由，得，
由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为；
当时，，因此函数递减区间为，无递增区间；
当时，由，得，由，得，
由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为，
所以，当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，无递增区间；
当时，函数的递减区间为，递增区间为．
【小问2详解】
当时，由（1）知函数的递减区间为，递增区间为，
因此函数的极大值为，的极小值为，
由，得，若有三个不同零点，则有三个不同的解，
所以m的取值范围为.
22. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，若（），证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）由，得到，求得，得到，化简得到，设，利用函数的导数求解函数的最小值，即可求解．
【小问1详解】
解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
证明：由（1）知，，
可得，且，
所以，所以，
因为，所以，可得，
则，
因为，所以，记得，
所以，
设，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，当时，，
所以，所以，即.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
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