2023-2024学年广东省韶关市乐昌一中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省韶关市乐昌一中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图冬奥会图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是( )
A. m<1B. m>−1C. m>1D. m<−1
3.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是不可能事件的是( )
A. 只闭合1个开关
B. 只闭合2个开关
C. 只闭合3个开关
D. 闭合4个开关
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=8，AE=1，则弦CD的长是( )
A. 7B. 2 7C. 6D. 8
5.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD=108°，则∠BCD的度数是( )
A. 127°
B. 108°
C. 126°
D. 125°
6.一个不透明的口袋中装有n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两个红球，它们除颜色外其它完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为( )
A. 18B. 20C. 22D. 24
7.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为( )
A. 32×20−32x−20x=540B. (32−x)(20−x)+x2=540
C. 32x+20x=540D. (32−x)(20−x)=540
8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是( )
A. B. C. D.
9.如图，抛物线y=14x2−4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值( )
A. 3B. 412C. 72D. 4
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
10.一个三角形的两边分别为1和2，另一边是方程x2−5x+6=0的解，则这个三角形的周长是______．
11.若点A(−2,5)，与点B关于原点对称，则点B的坐标为______ ．
12.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______．
13.绕口令“四是四，十是十，十四是十四，四十是四十”共有16个汉字，任选一个汉字，选到这个字是“十”的概率是______ ．
14.一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积为______．
15.如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= ______ °.
16.如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，BD的长为2π，则图中阴影部分的面积为______.(结果保留π)
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：2x2−7x−4=0．
18.(本小题6分)
如图，小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，求此光盘的直径．
19.(本小题6分)
如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF.若∠BAE=50°，求∠DGF的度数．
20.(本小题10分)
现有四张正面分别标有数字−1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
(1)若从中随机抽取一张，则抽到正数的概率是______．
(2)记下(1)中所抽到的数字后卡片不放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P(m,n)在第一象限的概率．
21.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
(1)求n的值；
(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
22.(本小题12分)
如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线：
(2)若BF=8，DF= 40，求⊙O的半径；
(3)若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．(结果保留根号)
23.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx−4经过A(−3,0)，B(5,−4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：AB平分∠CAO；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
本题考查识别中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系；
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
【解答】
解：由题意知，
方程没有实数根，则Δ<0，
所以可得关于m的不等式：Δ=4−4m<0，
∴m>1
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，不符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：A．
根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
本题考查了不可能事件的判断，掌握判断小灯泡能否发光是关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．
根据垂径定理，可得答案．
【解答】
解：连接OC，
由题意，得
OE=OA−AE=4−1=3，
CE=ED= OC2−OE2= 7，
CD=2CE=2 7．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠BOD=108°，
∴∠A=12∠BOD=54°，
∴∠BCD=180°−∠A=126°
故选：C．
先根据圆周角定理得到∠A=12∠BOD=54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．
根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为0.1，由此根据概率计算公式建立方程求解即可．
【解答】
解：由题意得，2n+2=0.1，
解得n=18，
经检验，n=18是原方程的解，
故选：A．
7.【答案】D
【解析】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为(32−x)m，宽为(20−x)m的矩形，
依题意得：(32−x)(20−x)=540．
故选：D．
设道路的宽x米，则余下部分可合成长为(32−x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x=−b2a<0，
∴b<0，
∵函数图象经过原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，
故选：D．
先根据二次函数的图象开口向下可知a<0，根据对称轴x=−b2a<0，可得b<0，再由函数图象经过原点可知c=0，进而得到一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象．
本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，解题时注意：正比例函数的图象是经过原点的一条直线．
9.【答案】C
【解析】解：连接BP，如图，
当y=0时，14x2−4=0，解得x1=4，x2=−4，
∴A(−4,0)，B(4,0)，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ=12BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC= 32+42=5，
∴BP′=5+2=7，
∴线段OQ的最大值是72．
故选：C．
连接BP，如图，先解方程14x2−4=0得A(−4,0)，B(4,0)，再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ=12BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
10.【答案】5
【解析】解：∵x2−5x+6=0，
∴(x−2)(x−3)=0，
解得：x1=2，x2=3，
∵一个三角形的两边分别为1和2，
∴另一边是2，
∴这个三角形的周长是：1+2+2=5．
故答案为：5．
首先利用因式分解法求得方程x2−5x+6=0的解，然后由一个三角形的两边分别为1和2，可求得另一边的长，继而求得这个三角形的周长．
此题考查了因式分解法解一元二次方程与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
11.【答案】(2,−5)
【解析】解：点A(−2,5)与点B关于原点对称，则B点的坐标：(2,−5)．
故选答案为：(2,−5)．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)是解题的关键．
12.【答案】y=−x2+3(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，能准确找出a<0，c=3是解题的关键．
根据二次函数的性质可得出a<0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=3，取a=−1，b=0即可得出结论．
【解答】
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)．
∵抛物线开口向下，
∴a<0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴c=3．
取a=−1，b=0时，二次函数的解析式为y=−x2+3．
故答案为：y=−x2+3(答案不唯一)．
13.【答案】38
【解析】解：∵这句含有16个汉字的绕口令中，“十”出现了6次，
∴出现的频率为616=38．
故答案为：38．
直接利用概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14.【答案】2π
【解析】解：依题意知母线长为：2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故答案为：2π．
根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
15.【答案】55
【解析】解：∵△ABC绕点C按顺时针的方向旋转35°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′=35°，∠A=∠A′，
∵∠A′DC=90°，
∴∠A′=90°−35°=55°，
∴∠A=55°．
故答案为：55．
先根据旋转的性质得∠ACA′=35°，∠A=∠A′，则利用互余计算出∠A′=54°，从而可得到∠A的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16.【答案】27 32−6π
【解析】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAD=∠EBA=30°，
∴BE/​/AD，
∵BD的长为2π，
∴60πr180=2π，
解得：r=6，
∴AB=ADcs30°=6 3，
∴BC=12AB=3 3，
∴AC= 3BC=9，
∴S△ABC=12×BC×AC=12×3 3×9=27 32，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC−S扇形BOE=27 32−60π⋅62360=27 32−6π．
故答案为27 32−6π．
首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC−S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．
此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键．
17.【答案】解：2x2−7x−4=0，
(2x+1)(x−4)=0，
2x+1=0或x−4=0，
所以x1=−12，x2=4．
【解析】先利用因式分解法把方程转化为2x+1=0或x−4=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18.【答案】解：如图，设光盘的圆心为O，三角板的另外两点为C，D，连接OB，OA，
∵∠CAD=60°，
∴∠CAB=120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB=12∠CAB=60°
∵AB=3cm，∴OA=6cm，
∴由勾股定理得OB=3 3cm，
∴光盘的直径为6 3cm．
【解析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．
本题考查了切线的性质，勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
19.【答案】解：由旋转得AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，
∴∠BAE=∠DAG=50°，
∴∠AGD=∠ADG=180°−50°2=65°，
∴∠DGF=90°−65°=25°．
【解析】由旋转的性质得出AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，熟记矩形的性质并准确识图是解题的关键．
20.【答案】12
【解析】解：(1)若从中随机抽取一张，则抽到正数的概率是24=12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，点P(m,n)在第一象限(横坐标、纵坐标均为正数)的结果有2种，
∴点P(m,n)在第一象限的概率为212=16．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，点P(m,n)在第一象限(横坐标、纵坐标均为正数)的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及点的坐标．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60；
(2)四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【解析】(1)利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；
(2)利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．
此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．
22.【答案】(1)证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠ODF+∠OFD=90°，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
而∠CFA=∠OFD，
∴∠ODF+∠CAF=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OF=8−r，
在Rt△ODF中，(8−r)2+r2=( 40)2，解得r1=6，r2=2(舍去)，
即⊙O的半径为6；
(3)解：∵∠BOD=90°，OB=OD，
∴△BOD为等腰直角三角形，
∴OB= 22BD= 22，
∴OA= 22，
∵∠AOB=2∠ADB=120°，
∴∠AOE=60°，
在Rt△OAC中，AC= 3OA= 62，
∴阴影部分的面积=12⋅ 22⋅ 62−60⋅π⋅( 22)2360=3 3−π12．
【解析】(1)连接OA、OD，如图，利用垂径定理的推论得到OD⊥BE，再利用CA=CF得到∠CAF=∠CFA，然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=90°，则OA⊥AC，从而根据切线的判定定理得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OF=8−r，在Rt△ODF中利用勾股定理得到(8−r)2+r2=( 40)2，然后解方程即可；
(3)先证明△BOD为等腰直角三角形得到OB= 22，则OA= 22，再利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=120°，则∠AOE=60°，接着在Rt△OAC中计算出AC，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
23.【答案】解：(1)将A(−3,0)，B(5,−4)代入得：9a−3b−4=025a+5b−4=−4，
解得：a=16，b=−56．
∴抛物线的解析式为y=16x2−56x−4．
(2)∵AO=3，OC=4，
∴AC=5．
取D(2,0)，则AD=AC=5．
可知BD= (5−2)2+(−4−0)2=5．
∵C(0,−4)，B(5,−4)，
∴BC=5．
∴BD=BC．
在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠BAD，
∴AB平分∠CAO；
(3)如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．
∵A(−3,0)，B(5,−4)，
∴tan∠EAB=12．
∵∠M′AB=90°．
∴∠M′AE+∠EAB=90°，
∴tan∠M′AE=2．
∴M′E=2AE=11，
∴M′(52,11)．
同理：tan∠MBF=2．
又∵BF=52，
∴FM=5，
∴M(52,−9)．
∴点M的坐标为(52,11)或(52,−9)．
【解析】(1)将A(−3,0)，B(5,−4)代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
(2)先求得AC的长，然后取D(2,0)，则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；
(3)作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=12，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键．