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2021-2022学年广东省韶关市乐昌市中英文学校九年级（上）期中数学试卷（解析版）
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这是一份2021-2022学年广东省韶关市乐昌市中英文学校九年级（上）期中数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年广东省韶关市乐昌市中英文学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0 C．x2=1 D．x2﹣+2=0
2．（3分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2﹣x﹣1=0
3．（3分）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣l）=2970 B．x（x﹣l）=2970 C． x（x+l）=2970 D．x（x+1）=2970
4．（3分）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1
5．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
6．（3分）抛物线y=﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（ 2，3） D．（﹣2，3）
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m＞1 C．m≤且m≠1 D．m＜1
8．（3分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．（3分）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2=2x的根为 ．
12．（4分）如果二次函数y=（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m= ．
13．（4分）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是 ．
14．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线 ．
15．（4分）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= ．
16．（4分） 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= °．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0．
18．（6分）已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣3．
（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．（7分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．
22．（7分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
五．解答题（每小题9分，共27分）[来源:Z|xx|k.Com]
23．（9分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
24．（9分）如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；[来源:Z|xx|k.Com]
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
25．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
2017-2018学年广东省韶关市乐昌市中英文学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0 C．x2=1 D．x2﹣+2=0
【解答】解：A、由已知方程得到：3x﹣2=0，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、当a=0时，它不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程属于分式方程，故本选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2﹣x﹣1=0
【解答】解：A、b2﹣4ac=1﹣8=﹣7＜0，没有实数根，此选项正确；
B、b2﹣4ac=9﹣8=1＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
C、b2﹣4ac=121+161200=161321＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
D、b2﹣4ac=1+4=5＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
故选：A．
3．（3分）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣l）=2970 B．x（x﹣l）=2970 C． x（x+l）=2970 D．x（x+1）=2970
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；
又∵是互送贺卡，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2970．
故选：B．
4．（3分）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1
【解答】解：抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为x=﹣1．
故选：D．
5．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
【解答】解：抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3，
故选：B．
6．（3分）抛物线y=﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（ 2，3） D．（﹣2，3）
【解答】解：抛物线y=﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）．
故选：A．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m＞1 C．m≤且m≠1 D．m＜1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，
∴m﹣1≠0且△≥0，即12﹣4（m﹣1）×1≥0，
∴m≤且m≠1．
故选：C．
8．（3分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．
故选：A．
9．（3分）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在y=ax﹣2，
∴b=﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
10．（3分）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：y1=﹣（﹣4+2）2﹣1=﹣3，
y2=﹣（﹣1+2）2﹣1=﹣，
y3=﹣（1+2）2﹣1=﹣，
则y3＜y1＜y2，
故选：D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2=2x的根为 x1=0，x2=2 ．
【解答】解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，或x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
12．（4分）如果二次函数y=（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m= ﹣2 ．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y=（m﹣2）x2+x+（m2﹣4）上，
∴m2﹣4=0，
解得m=±2，
又二次项系数m﹣2≠0，
∴m=﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（4分）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是 4 ．
【解答】解：∵x2+3x+5=7，即x2+3x=2，
∴原式=3（x2+3x）﹣2=6﹣2=4．
故答案为：4．
14．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线 x=﹣1 ．
【解答】解：∵（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相等，
∴两点关于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x==﹣1．
故答案为：x=﹣1．
15．（4分）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= ﹣2 ．
【解答】解：由题意，得
|m|=2，且m﹣2≠0，解得m=﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（4分） 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= 90 °．
【解答】解：∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到的，
∴∠CAF=60°；
又∵∠C=30°（已知），
∴在△AFC中，∠CFA=180°﹣∠C﹣∠CAF=90°，
∴∠AFB=90°．
故答案是：90．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0．
【解答】解：配方，得：x2﹣4x+4﹣4﹣1=0
即（x﹣2）2=5（3分）
∴x﹣2=（5分）
∴，（7分）
18．（6分）已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣3．
（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x=l，顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）∵抛物线开口向下，且对称轴为x=1，
∴当x＞1时y随x的增大而减小．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4×1×（m﹣1）=20﹣4m=0，
解得，m=5，
x2﹣4x+4=0
（x﹣2）2=0，
x1=x2=2．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．（7分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：
3（1+x）2=6.75，
解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），
∴x=0.5=50%，
即每年市政府投资的增长率为50%；
（2）∵12（1+50%）2=27，
∴2015年建设了27万平方米廉租房．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．
【解答】解：（1）依题意，得△=2×2﹣4×1×（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；
（2）∵k＜且k为正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，方程为x2+2x﹣2=0 此方程无整数根；
当k=2时，方程为x2+2x=0 解得：x=0 x=﹣2．
∴k=2，方程的根为x=0，x=﹣2．
22．（7分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
【解答】解：（1）y=（x﹣20）×m
=（x﹣20）×（140﹣2x）
=﹣2x2+180x﹣28002 （20≤x≤70）．
（2）y=﹣2x2+180x﹣2800
=﹣2（x2﹣90x）﹣2800
=﹣2（x﹣45）2+1250．
当x=45时，y最大=1250．
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元．
五．解答题（每小题9分，共27分）[来源:学。科。网Z。X。X。K]
23．（9分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，
解得：x=5或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm；
（2）设每件工艺品定价x元出售，获利y元，则根据题意可得：
y=（x﹣40）[200+20（100﹣x）]﹣2000=﹣20（x﹣75）2+22500；
∵销售件数至少为800件，故40＜x≤70
∴当x=70时，有最大值，y=22000
当售价为70元时有最大利润22000元．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
24．（9分）如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
【解答】解：（1）由 y=0，得 x2+x﹣2=0 解得 x=﹣2 x=l，
∴A（﹣2，0），B（l，0），
由 x=0，得 y=﹣2，
∴C（0，﹣2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y=kx+b，则﹣2k+b=0，b=﹣2：得 k=﹣l，y=﹣x﹣2．
对称轴为 x=﹣，当 x=﹣时，y=_（﹣）﹣2=﹣，
∴P（﹣，﹣）．
（3）过点M作MN丄x轴与点N，
设点M（x，x2+x﹣2），则AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，
S 四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC=（x+2）（﹣x2﹣x+2）+（2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+×1×2
=﹣x2﹣2x+3
=﹣（x+1）2+4．
∵﹣1＜0，
∴当x=_l时，S四边形ABCM的最大值为4．
25．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．
2017-2018学年广东省韶关市乐昌市中英文学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0 C．x2=1 D．x2﹣+2=0
2．（3分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2﹣x﹣1=0
3．（3分）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣l）=2970 B．x（x﹣l）=2970 C． x（x+l）=2970 D．x（x+1）=2970
4．（3分）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1
5．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
6．（3分）抛物线y=﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（ 2，3） D．（﹣2，3）
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m＞1 C．m≤且m≠1 D．m＜1
8．（3分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．（3分）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2=2x的根为 ．
12．（4分）如果二次函数y=（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m= ．
13．（4分）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是 ．
14．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线 ．
15．（4分）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= ．
16．（4分） 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= °．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0．
18．（6分）已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣3．
（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．（7分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．
22．（7分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
五．解答题（每小题9分，共27分）[来源:Z|xx|k.Com]
23．（9分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
24．（9分）如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；[来源:Z|xx|k.Com]
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
25．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
2017-2018学年广东省韶关市乐昌市中英文学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0 C．x2=1 D．x2﹣+2=0
【解答】解：A、由已知方程得到：3x﹣2=0，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、当a=0时，它不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程属于分式方程，故本选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2﹣x﹣1=0
【解答】解：A、b2﹣4ac=1﹣8=﹣7＜0，没有实数根，此选项正确；
B、b2﹣4ac=9﹣8=1＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
C、b2﹣4ac=121+161200=161321＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
D、b2﹣4ac=1+4=5＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
故选：A．
3．（3分）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣l）=2970 B．x（x﹣l）=2970 C． x（x+l）=2970 D．x（x+1）=2970
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；
又∵是互送贺卡，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2970．
故选：B．
4．（3分）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1
【解答】解：抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为x=﹣1．
故选：D．
5．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
【解答】解：抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3，
故选：B．
6．（3分）抛物线y=﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（ 2，3） D．（﹣2，3）
【解答】解：抛物线y=﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）．
故选：A．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m＞1 C．m≤且m≠1 D．m＜1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，
∴m﹣1≠0且△≥0，即12﹣4（m﹣1）×1≥0，
∴m≤且m≠1．
故选：C．
8．（3分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．
故选：A．
9．（3分）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在y=ax﹣2，
∴b=﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
10．（3分）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：y1=﹣（﹣4+2）2﹣1=﹣3，
y2=﹣（﹣1+2）2﹣1=﹣，
y3=﹣（1+2）2﹣1=﹣，
则y3＜y1＜y2，
故选：D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2=2x的根为 x1=0，x2=2 ．
【解答】解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，或x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
12．（4分）如果二次函数y=（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m= ﹣2 ．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y=（m﹣2）x2+x+（m2﹣4）上，
∴m2﹣4=0，
解得m=±2，
又二次项系数m﹣2≠0，
∴m=﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（4分）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是 4 ．
【解答】解：∵x2+3x+5=7，即x2+3x=2，
∴原式=3（x2+3x）﹣2=6﹣2=4．
故答案为：4．
14．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线 x=﹣1 ．
【解答】解：∵（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相等，
∴两点关于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x==﹣1．
故答案为：x=﹣1．
15．（4分）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= ﹣2 ．
【解答】解：由题意，得
|m|=2，且m﹣2≠0，解得m=﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（4分） 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= 90 °．
【解答】解：∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到的，
∴∠CAF=60°；
又∵∠C=30°（已知），
∴在△AFC中，∠CFA=180°﹣∠C﹣∠CAF=90°，
∴∠AFB=90°．
故答案是：90．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0．
【解答】解：配方，得：x2﹣4x+4﹣4﹣1=0
即（x﹣2）2=5（3分）
∴x﹣2=（5分）
∴，（7分）
18．（6分）已知抛物线y=﹣2x2+4x﹣3．
（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x=l，顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）∵抛物线开口向下，且对称轴为x=1，
∴当x＞1时y随x的增大而减小．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4×1×（m﹣1）=20﹣4m=0，
解得，m=5，
x2﹣4x+4=0
（x﹣2）2=0，
x1=x2=2．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．（7分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：
3（1+x）2=6.75，
解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），
∴x=0.5=50%，
即每年市政府投资的增长率为50%；
（2）∵12（1+50%）2=27，
∴2015年建设了27万平方米廉租房．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．
【解答】解：（1）依题意，得△=2×2﹣4×1×（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；
（2）∵k＜且k为正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，方程为x2+2x﹣2=0 此方程无整数根；
当k=2时，方程为x2+2x=0 解得：x=0 x=﹣2．
∴k=2，方程的根为x=0，x=﹣2．
22．（7分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
【解答】解：（1）y=（x﹣20）×m
=（x﹣20）×（140﹣2x）
=﹣2x2+180x﹣28002 （20≤x≤70）．
（2）y=﹣2x2+180x﹣2800
=﹣2（x2﹣90x）﹣2800
=﹣2（x﹣45）2+1250．
当x=45时，y最大=1250．
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元．
五．解答题（每小题9分，共27分）[来源:学。科。网Z。X。X。K]
23．（9分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，
解得：x=5或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm；
（2）设每件工艺品定价x元出售，获利y元，则根据题意可得：
y=（x﹣40）[200+20（100﹣x）]﹣2000=﹣20（x﹣75）2+22500；
∵销售件数至少为800件，故40＜x≤70
∴当x=70时，有最大值，y=22000
当售价为70元时有最大利润22000元．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
24．（9分）如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
【解答】解：（1）由 y=0，得 x2+x﹣2=0 解得 x=﹣2 x=l，
∴A（﹣2，0），B（l，0），
由 x=0，得 y=﹣2，
∴C（0，﹣2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y=kx+b，则﹣2k+b=0，b=﹣2：得 k=﹣l，y=﹣x﹣2．
对称轴为 x=﹣，当 x=﹣时，y=_（﹣）﹣2=﹣，
∴P（﹣，﹣）．
（3）过点M作MN丄x轴与点N，
设点M（x，x2+x﹣2），则AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，
S 四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC=（x+2）（﹣x2﹣x+2）+（2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+×1×2
=﹣x2﹣2x+3
=﹣（x+1）2+4．
∵﹣1＜0，
∴当x=_l时，S四边形ABCM的最大值为4．
25．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．
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