2023-2024学年辽宁省锦州市高三上学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省锦州市高三上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=−3,−2,−1,0,1,2,3，集合A=−3,−2,2,B=−3,−2,1，则∁UA∪B=( )
A. −2,−1,1,2,3B. −2,−1,0,3C. −1,0,3D. −1,0
2.复数z=1+ 3i1+i5在复平面内对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.3 . 已知向量a,b满足a+b=1,−3,a−b=3,7，则a⋅b=( )
A. −12B. −20C. 12D. 20
4.《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，它标志着中国古代数学体系的形成.其中记载了这样一个数学问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰“我羊食半马.”马主曰“我马食半牛.”今欲衰偿之，问牛主出几何.意思是：牛､马､羊吃了别人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共赔偿他五斗粟，羊的主人说：“我的羊吃了马一半的量.”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量.”现在若依据三牲畜吃苗的量按比例赔偿苗主，牛主应偿还粟？(1斗=10升)( )
A. 1斗717升B. 1斗427升C. 2斗847升D. 2斗67升
5.若随机变量X∼Nμ,σ2，则下列说法错误的是
( )
A. X的密度曲线与y轴只有一个交点
B. X的密度曲线关于x=σ对称
C. 2P(X>μ+3σ)=P(X−μ>3σ)
D. 若Y=X−μσ，则EY=0,DY=1
6.若a>b>0,m>0,c∈R，则下列结论一定正确的是
( )
A. ac2>bc2B. b+c2a+c2>baC. b+ca+c>baD. b+ma+m>ba
7.已知F是拋物线C:y2=4x的焦点，过F的直线与C交于A，B两点，过A作准线l的垂线，垂足为P.若线段PF的垂直平分线与准线l交于点Q，点Q到直线AB的距离为d，则当AB=4d时，直线AB的方程为
( )
A. x+y−1=0或x−y−1=0
B. x+2y−1=0或x−2y−1=0
C. 2x+y−2=0或2x−y−2=0
D. x+ 3y−1=0或x− 3y−1=0
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)+f(x)=f(1)，f(x)+f(−x)=f(0)，当x∈(0,12)时，f(x)=2x，则f(lg2118)=( )
A. −92B. −98C. −932D. −118
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以长为4cm，宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为
( )
A. 16πcm2B. 24πcm2C. 42πcm2D. 56πcm2
10.关于函数fx=4sin2x+π3x∈R有下列命题，其中正确的是
( )
A. y=fx的图象关于点−π6,0对称
B. y=fx在区间π12,π3上是单调递减函数
C. 若y=fωx(ω>0)在区间0,π3上恰有两个零点，则ω的取值范围为52,4
D. y=fx的图像关于直线x=π6对称
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ.下列结论正确的有( )
A. 当MN⊥B1N时，Γ是一个点
B. 当动点N到直线DD1，BB1的距离之和为2 2时，Γ是椭圆
C. 当直线MN与平面ABCD所成的角为60∘时，Γ是圆
D. 当直线MN与平面ADD1A1所成的角为60∘时，Γ是双曲线
12.已知函数fx=ex2+4x+5,x≤0x+1x,x>0，若关于x的方程fx=k有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1( )
A. 5e+4B. 2e+4C. 7−ln2D. e5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知事件A与事件B互斥，如果PA=0.4，PB=0.3，那么PA∪B= ．
14.曲线y=13x3−2x在x=1处的切线的倾斜角为α，则sinαcs2αsinα+csα= ．
15.双曲线x2a2−y2b2=1(a>2,b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点Aa,0,B0,b，点2,0到直线AB的距离为d1，点−2,0到直线AB的距离为d2，且d1+d2≥45c，则双曲线离心率的取值范围为 ．
16.已知矩形ABCD,AB=2 5,AD=4 5,AE垂直BD于点E,CF垂直BD于点F，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使异面直线AE,CF成60∘角，若A,B,C,D四点都在球O的表面上，则球O的半径为 ，此时A,C两点间距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD中点，且PA=1．

(1)求证：PB//平面ACE；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知Sn为数列an的前n项和，3Sn=an+2a1n∈N∗,a1≠0，且__________．
从①a1,14,a2成等差数列；②a1,a2+1,a3成等比数列；③S3=34这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下列问题．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=an,n为偶数lg3an,n为奇数求数列bn的前2n+1项的和T2n+1．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其外接圆半径为1，b1−csB=4，sinA+sinC=1．
(1)求csB；
(2)求▵ABC的面积．
20.(本小题12分)
为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲､乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中40,50为非常不满意，50,60为不满意，60,70为一般，70,80为基本满意，80,90为满意，90,100为非常满意．
(1)求乙社区调查结果图中的a值并估计乙社区调查结果的80%分位数(精确到0.01)；
(2)已知调查问卷中有75%来自甲社区业主．
①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；
②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70份进行细致分析，求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数X的期望EX．
21.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为 22.直线l:x=ty+2与椭圆交于P,Q两点，点A3,2不在直线l上，直线PA与x=4交于点B．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求直线QB的斜率．
22.(本小题12分)
已知函数fx=x−lnx+a的最小值为0，其中a>0．
(1)求a的值；
(2)若对任意的x∈0,+∞，有fx≤kx2成立，求实数k的最小值；
(3)证明：i=1n22i−1−ln(2n+1)<2n∈N∗．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解．
【详解】A∪B=−3,−2,1,2,故∁UA∪B=−1,0,3，
故选：C
2.【答案】D
【解析】【分析】应用复数模的求法、乘方和除法运算化简，即可确定对应点所在象限．
【详解】由题设z=21+i=2(1−i)2=1−i，对应点为(1,−1)在第四象限．
故选：D
3.【答案】A
【解析】【详解】试题分析：由a+b=1,−3,a−b=3,7，则a=2,2,b=−1,−5，所以a⋅b=2×(−1)+2×(−5)
=−12，故选 A．
考点：向量的坐标运算．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据题设，令羊吃了a斗，易得a=57，再确定牛吃的量，即可得答案．
【详解】令羊吃了a斗，则马吃了2a斗，牛吃了4a斗，所以7a=5，故a=57斗，
所以4a=207斗，即为 2斗847升.
故选：C
5.【答案】B
【解析】【分析】正态分布曲线关于直线x=μ对称，根据对称性即可判断ABC，根据方差和期望的性质即可求解D．
【详解】若X∼N(μ,σ2)，则X的密度曲线关于直线x=μ对称，故 B错误；
又f(x)=1σ 2πe−(x−μ)22σ2，令x=0，
可得X的密度曲线与y轴只有一个交点(0,1σ 2πe−μ22σ2)，故 A正确；
P(|X−μ|>3σ)=P(X<μ−3σ)+P(X>μ+3σ)=2P(X>μ+3σ)，故 C正确；
E(Y)=E(X)−μσ=0，DY=1σ2DX=1σ2×σ2=1，故 D正确．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】特殊值c=0即可判断A、B、C；应用作差法判断D．
【详解】由a>b>0,m>0,c∈R，
若c=0，则ac2=bc2、b+c2a+c2=ba、b+ca+c=ba，A、B、C错；
b+ma+m−ba=ab+am−aba(a+m)=ma+m>0，即b+ma+m>ba，D对．
故选：D
7.【答案】D
【解析】【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，设AB方程为x=ty+1，代入抛物线方程由韦达定理得x1+x2经，由焦点弦长公式可得弦长AB，写出PF中点坐标，得直线PF的垂直平分线方程，从而求得Q点坐标，从而求得点Q到直线AB距离，再由已知求得参数t得直线方程．
【详解】由题意知F1,0，l:x=−1.设直线AB的方程为x=ty+1，由x=ty+1,y2=4x,得x2−4t2+2x+1=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，所以x1+x2=4t2+2，则AB=x1+x2+2=4t2+1.又易知P−1,y1，y1≠0，
AP=AF，所以PF的中点坐标为0,y12，kAQ=−1kPF=2y1，
则直线AQ的方程为y=2y1x+y12.令x=−1，得y=−2y1+y12=y12−42y1=4x1−42y1=4ty1+1−42y1=2t，则Q−1,2t，点Q到直线AB的距离d=2t2+2 t2+1=2 t2+1，
又AB=4d，所以4t2+1=8 t2+1，解得t=± 3，
所以直线AB的方程为x=± 3y+1，即x+ 3y−1=0或x− 3y−1=0，
故选：D．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线相交，考查焦点弦长公式．解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标为设Ax1,y1，Bx2,y2，再设直线方程，代入抛物线方程应用韦达定理，求得焦点弦长．然后采取解析几何的基本方法，得点坐标写出直线方程，求出交点坐标，求出点到直线距离，再由距离关系求得结论．考查了学生的运算求解能力．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的性质的应用，对数的运算，属于中档题．
由已知条件可得函数f(x)是奇函数也是周期函数，利用周期性和奇偶性，有f(lg2118)=−f(lg298)，代入已知解析式求解即可．
【解答】
解：由f(x+1)+f(x)=f(1)，有f(x+2)+f(x+1)=f(1)，
可得fx+2=fx，所以fx的周期为2，
令x=0，代fx+f−x=f0，可得f0=0，
所以fx+f−x=0，又函数f(x)的定义域为R，
故函数fx为奇函数，
所以f(lg2118)=f(−lg218)=−f(lg218)=−f(lg218−4)=−f(lg298)
因为0所以f(lg298)=2lg298=98，
所以f(lg2118)=−98．
故选：B．
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据题意，分以长所在的直线为旋转轴和以宽所在的直线为旋转轴两种情况求解即可．
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
当以长所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为2π×32+2π×3×4=42πcm2，
当以宽所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积S=2π×42+2π×3×4=56πcm2，
故选：CD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】代入验证法即可求解AD，根据整体法即可求解BC．
【详解】对于A，由于f−π6=4sin−π3+π3=0，所以y=fx的图象关于点−π6,0对称， A正确，
对于B，由x∈π12,π3，则2x+π3∈π2,π⊆π2,3π2，故y=fx在区间π12,π3上是单调递减， B正确，
对于C，fωx=4sin2ωx+π3，由x∈0,π3，则2ωx+π3∈π3,2π3ω+π3，
要使y=fωx(ω>0)在区间0,π3上恰有两个零点，则2π≤2π3ω+π3<3π，解得52≤ω<4，故 C正确，
对于D，fπ6=4sinπ3+π3≠±4，故x=π6不是y=fx的对称轴，故 D错误，
故选：ABC
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，以及圆锥曲线的动点轨迹的问题，属于较难题．
对于A，由正方体的棱长求出B1M，当MN⊥B1N时，Г为以B1M为直径的球与平面ABCD的交线，即可判定A；
对于B，由正方体性质以及线面垂直得到BB1⊥BN，DD1⊥DN，则动点N到直线DD1，BB1的距离即为动点N到点D与点B的距离之和，即可判定轨迹；
对于C，由DM⊥平面ABCD，可知MN与平面ABCD所成的角即为∠MND，解三角形得到DN= 33，满足圆轨迹定义；
对于D，建立空间直角坐标系，求出MN以及平面ADD1A1的一个法向量为n，计算|cs|=|MN·n||MN|·|n|=|y| x2+y2+1×1= 32，即可判定选项．
【解答】解：对于A：当MN⊥B1N时，Г为以B1M为直径的球与平面ABCD的交线，
由正方体的棱长为2，可得B1M=3，B1M中点到平面ABCD的距离为32，
故Г是一个点，故A正确；
对于B：由正方体易知BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，
又DN、BN⊂平面ABCD，故BB 1⊥BN，DD1⊥DN，
故动点N到直线DD1，BB1的距离即为动点N到点D与点B的距离之和，
又BD=2 2，故当动点N到直线DD1，BB1的距离之和为2 2 时，Г是线段，不是椭圆，
故B错误；
对于C:由DM⊥平面ABCD，可知MN与平面ABCD所成的角即为∠MND，
直角三角形MDN中，MD=1，∠MDN=90°，∠MND=π3，
所以DN= 33为定值，所以则N的轨迹是以D为圆心， 33为半径的圆，故C正确；
对于D:以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D1(0,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，M(0,0,1)，
设N(x,y,0)，则MN=(x,y,−1)，
取平面ADD1A1的一个法向量为n=(0,1,0)，
若MN与ADD1A1所成的角为π3，
则|cs|=|MN·n||MN|·|n|=|y| x2+y2+1×1= 32，
化简得y23−x2=1，即N的轨迹为双曲线，所以D正确．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】作出函数y=fx的图象，转化为函数y=fx与y=k的四个交点的横坐标，结合函数的对称性和二次函数的性质，求得x1x2+x3+x4=x1x2+k∈(e+4,e5]，结合选项，即可求解．
【详解】由函数fx=ex2+4x+5,x≤0x+1x,x>0，作出函数y=fx的图象，如图所示，
关于x的方程fx=k有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1即为函数y=fx与y=k的四个交点的横坐标，
当x≤0时，fx=ex2+4x+5，满足f(x)=f(−4−x)，
即fx图象的对称轴且x=−2，可得x1+x2=−4，即x2=−4−x1且x1∈−4−2,
所以x1x2=x1(−4−x1)=−x12−4x1=−(x+2)2+4∈[0,4)
当x>0时，函数fx=x+1x，令fx=k,k∈(e,e5]，即x+1x=k，
可得x2−kx+1=0，则x3,x4是方程x2−kx+1=0的两个根据，
所以x3+x4=k且k∈(e,e5],
结合图象，可得x1x2+x3+x4=x1x2+k∈(e+4,e5],
因为5e+4∈(e+4,e5],2e+4∈(e+4,e5]，7−ln2(e+4,e5],e5∈(e+4,e5]
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：利用函数的图象研究方程的根的个数时，当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程fx=0的根就是函数fx与x轴的交点的横坐标，方程fx=gx的根据就是函数fx和gx图象的交点的横坐标．
13.【答案】0.3 或310
【解析】【分析】根据互斥得到PA∩B=0，计算PA∪B=0.7，得到答案．
【详解】事件A与事件B互斥，则PAB=0，PA∪B=PA+PB−PAB=0.7，
故PA∪B=1−0.7=0.3．
故答案为：0.3．
14.【答案】−35 或−0.6
【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得tanα=3，再结合齐次式问题运算求解．
【详解】因为y′=x2+2x2，可得y′|x=1=3，
由题意可知：tanα=3，
所以sinαcs2αsinα+csα=sinαcs2α−sin2αsinα+csα=sinαcsα−sinα=sinαcsα−sinαsin2α+cs2α
=tanα1−tanαtan2α+1=31−332+1=−35，
即sinαcs2αsinα+csα=−35．
故答案为：−35．
15.【答案】 52, 5
【解析】【分析】设直线AB的方程为bx+ay−ab=0，利用点到直线的距离公式得到d1+d2=2abc，根据d1+d2≥45c，化简整理即可求解．
【详解】直线AB的方程为xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，
由点到直线的距离公式，且a>2，得到点(2,0)到直线l的距离d1=b(a−2) a2+b2，
同理得到点(−2,0)到直线l的距离d2=b(a+2) a2+b2，
d1+d2=2ab a2+b2=2abc，
由d1+d2≥45c，得2abc≥45c，即5a c2−a2≥2c2，
于是得5 e2−1≥2e2，即4e4−25e2+25≤0，解不等式，得54≤e2≤5，
由于e>1>0，所以e的取值范围是 52≤e≤ 5．
故答案为： 52, 5
16.【答案】5；
2 13或2 21

【解析】【详解】连接AC,BD相交于O，由于四边形ABCD为矩形，所以OA=OB=OC=OD=12BD=12 AB2+AD2=5，
所以O即为四面体ABCD的外接球，故半径为OA=5，
延长AE与BC相交于点M，
根据等面积法可得AE=AB⋅ADBD=4，
根据相似可得BMAD=BEBD−BE=MEAE，故BM= 5,ME=1，
又CF=AE=4,EM//CF
故∠AEM即为异面直线AE,CF所成的角或其补角，
由于异面直线AE,CF成60∘角，故∠AEM=60∘或∠AEM=120∘，
当∠AEM=60∘，则AM= AE2+EM2−2AE⋅EMcs∠AEM= 13，
所以AM= AB2+BM2−2AB⋅BMcs∠ABM= 13，
因此cs∠ABM=35，故AC= AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABM=2 13，
当∠AEM=120∘，则AM= AE2+EM2−2AE⋅EMcs∠AEM= 21，
所以AM= AB2+BM2−2AB⋅BMcs∠ABM= 21，
因此cs∠ABM=15，故AC= AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABM=2 21，
综上可得：AC=2 13或2 21
故答案为；5，2 13或2 21

17.【答案】解：(1)连接BD，交AC于点O，连接EO，

∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO//PB．
又∵EO⊂平面ACE，平面ACE，∴PB//平面ACE．
(2)

如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A0,0,0，C2,1,0，B2,0,0，P0,0,1，D0,1,0，
则E0,12,12，BE=−2,12,12，PD=0,1,−1,PC=2,1,−1，
设平面PCD的法向量为n=x,y,z，则n⋅PD=y−z=0n⋅PC=2x+y−z=0，令y=1，得n=0,1,1．
设直线BE与平面PCD所成角为θ，且θ∈0,π2，
∴sinθ=csBE,n=BE⋅nBEn=12+12 92⋅ 2=13，∴csθ= 1−sin2θ=2 23，
即直线BE与平面PCD所成角的余弦值为2 23．

【解析】(1)根据题意，由线面平行的判定定理即可证明；
(2)根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可求解．
18.【答案】解：(1)由3Sn=an+2a1,n∈N∗，当n≥2时，3Sn−1=an−1+2a1，
两式相减得3an=an−an−1，即anan−1=−12，
所以数列an为等比数列，公比为−12．
选①，由a1,14,a2成等差数列，
可得a1+a2=2×14=12，即a1−12a1=12，解得a1=1，
所以an=1×−12n−1=−12n−1
选②由a1,a2+1,a3成等比数列，得a1a3=a2+12，
即a1⋅a1⋅−122=−12a1+12，解得a1=1，
所以an=1×−12n−1=−12n−1
选③，由S3=a11−−1231−−12=34，得a1=1，
所以an=1×−12n−1=−12n−1
(2)当n为奇数时，
bn=lg3an=lg3−12n−1=lg312n−1=−n−1lg32
记前2n+1项的和T2n+1中的奇数项之和为T奇,，
T奇=b1+b3+b5+⋯+b2n+1=−0+2+4+⋯+2nlg32=−n+1⋅2n2lg32=−nn+1lg32，
当n为偶数时，bn=−12n−1=−12n−1，
记前2n+1项和T2n+1中的偶数项之和为T偶，
T偶=b2+b4+b6+⋯+b2n=−121+123+125+⋯+122n−1=−12⋅1−14n1−14=−231−14n
故T2n+1=−nn+1lg32−231−14n

【解析】(1)根据Sn,an的关系可得an为等比数列，公比为−12.即可结合条件，利用中项关系以及基本量的计算即可求解，
(2)根据奇偶性的特征，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解．
19.【答案】解：(1)因为b1−csB=4且外接圆半径为1，根据正弦定理得2sinB1−csB=4，
即sinB=21−csB，代入sin2B+cs2B=1，
即41−csB2=1−cs2B=1−csB1+csB，
由于B∈0,π，则csB∈−1,1，所以1−csB≠0，
则41−csB=1+csB，解得csB=35．
(2)因为sinA+sinC=1，
根据正弦定理得sinA+sinC=a2+c2=1，即a+c=2，由(1)知b=85．
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a+c2−165ac=4−165ac，解得ac=920．
又因为csB=35，所以sinB=45，所以S▵ABC=12acsinB=950．

【解析】(1)由正弦定理可得2sinB1−csB=4，再由平方关系计算可得；
(2)由正弦定理得到a+c=2，再由(1)可得b=85，利用余弦定理求出ac，最后由面积公式计算可得．
20.【答案】解：(1)由频率之和为1得：0.004+a+0.018+0.022+0.022+0.028×10=1，
解得：a=0.006，
80,90这组的频率为：0.022×10=0.22,90,100这组的频率为：0.018×10=0.18，
0.18<1−80%,0.18+0.22>1−80%，
故80%分位数在80,90组，设80%分位数为x，
则0.022×90−x+0.18=1−80%，解得x≈89.09，
故80%分位数为 89.09．
(2)①任抽一份问卷，是来自甲社区业主的 问卷记作事件A，问卷评分不足60分记作事件B．
根据题意可知：P(A)=0.75,P(A)=0.25,P(B∣A)=0.06,P(B∣A)=0.10，
所以PAB=PAPB∣A=0.75×0.06=0.045，
P(AB)=P(A)P(B∣A)=0.25×0.10=0.025，
所以，P(B)=P(AB)+P(AB)=0.045+0.025=0.07，
所以，从不足60分的问卷中抽取一份，该份问卷是来自甲社区业主问卷的概率为
PA∣B=PABPB=，
②70份评分不足60分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数X∼B70,914，
所以EX=70×914=45．

【解析】(1)根据频率之和为1，求出a；判断出80%分位数所在区间，再设出80%分位数，列出方程即可求解；
(2)①求条件概率求解即可；②70份评分不足60分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数X∼B70,914，由二项分布的期望求解即可．
21.【答案】解：(1)因为椭圆的短轴长为4，所以2b=4，b=2，因为离心率为 22，所以e=ca= 22，
又a2=b2+c2，所以c=2，a=2 2，所以椭圆E的方程x28+y24=1．
(2)设Px1,y1，Qx2,y2，联立x28+y24=1x=ty+2，化简可得t2+2y2+4ty−4=0，
令Δ=4t2−4t2+2⋅−4=32t2+32>0，即t2+1>0，
y1+y2=−4tt2+2，y1y2=−4t2+2，
因为A3,2不在直线l上，所以3≠2t+2，即t≠12，
则直线PA方程为：y−2=y1−2x1−3x−3，令x=4，则y=y1−2x1−3+2=y1+2x1−8x1−3，
因为直线PA与x=4交于点B，所以B4,y1+2x1−8x1−3，
所以kQB=y1+2x1−8x1−3−y24−x2=2ty1−4−ty1y2+y1+y1ty1+ty1+y1−t2y1y2−2，
将y1+y2=−4tt2+2，y1y2=−4t2+2代入，可得kQB=2ty1−4ty1−2=2，
所以直线QB的斜率为2．


【解析】(1)根据短轴长求出b，再由离心率e=ca，及a2=b2+c2求出c，a，即可求出椭圆方程；
(2)设Px1,y1，Qx2,y2，联立直线和椭圆方程，得出y1+y2=−4tt2+2，y1y2=−4t2+2，根据题意表示出点B坐标，再由斜率公式求解即可．
22.【答案】解：(1)由函数fx=x−lnx+a，则其定义域为−a,+∞，且f′x=1−1x+a．
由f′x=0，得：x=1−a>−a，又由f′x≥0，得：x≥1−a，
∴fx在−a,1−a单调递减，在1−a,+∞单调递增，
∴f(x)min=f1−a=0,∴a=1；
(2)设gx=kx2−x+lnx+1x≥0，
则gx≥0在0,+∞恒成立等价于g(x)min≥0=g0∗，
注意到g1=k−1+ln2≥0⇒k>0，又g′x=x2kx+2k−1x+1，
①当2k−1<0k<12时，由g′x≥0得x≥1−2k2k．
∵gx在0,1−2k2k单减，1−2k2k,+∞单增，这与∗式矛盾；
②当k≥12时，∵g′x≥0在0,+∞恒成立，∴gx≥g0=0符合∗，
∴k≥12,∴k的最小值为12；
(3)由(2)知：令k=12得：x−lnx+1≤12x2，
令x=22i−1i=1,2,⋯,n得：22i−1−ln2i+1−ln2i−1<2(2i−1)2,
当i=1时，2−ln3=2−ln3(1)；
当i≥2时，2(2i−1)2<24ii−1=121i−1−1i，
23−ln5−ln3<121−12(2)，
25−ln7−ln5<1212−133,
⋯⋯
22n−1−ln2n+1−ln2n−1<2(2n−1)2<121n−1−1nn，
将(1)(2)(3)，，式相加得：( )
不等式左边：2−ln3+23−ln5−ln3+25−ln7−ln5+⋯
+22n−1−ln2n+1−ln2n−1=i=1n22i−1−ln(2n+1)；
不等式右边：2−ln3+121−12+1212−13+⋯+121n−1−1n
=2−ln3+121−1n<2；
所以i=1n22i−1−ln(2n+1)<2n∈N∗．

【解析】(1)对fx进行求导，已知fx最小值为0，可得极小值也为0，得f′0=0，从而求出a的值；
(2)由题意任意的x∈0,+∞，有fx≤kx2成立，可以令gx=kx2−fx先通过g0=0，g1≥0大致确定k取值范围，再利用分类讨论法求出gx的最值；
(3)由(2)知：令k=12得：x−lnx+1≤12x2令x=22i−1i=2,⋯,n得：22i−1−ln2i+1−ln2i−1<2(2i−1)2<121i−1−1i，累加即可的证．
方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值．