2022-2023学年辽宁省锦州市高三上学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省锦州市高三上学期期末数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 集合，，为实数集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合A，B，后由交集补集定义可得答案.
【详解】由题可得或，则，故.
故选：D
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算及复数模的定义计算作答.
【详解】由得：，
所以.
故选：B
3. 已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项.
【详解】因为，则，所以，即由可推出，
取，可得，而，即由不可推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A对，B,C,D错,
故选：A.
4. 某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（ ）（参考数据：，，，）
A. 2027年B. 2028年C. 2029年D. 2030年
【答案】D
【解析】
【分析】设年后公司全年投入的研发资金为，根据题意列出与的关系，即可列不等式解出的最小值，即可得出答案.
【详解】设年后公司全年投入的研发资金为，
则根据题意有，
研发资金开始超过600万元，即，解得，
则的最小值为8，
则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是年，
故选：D.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式定理计算展开式中的系数即可.
【详解】原式，因展开式中没有项，
展开式中项为，
所以的展开式中的系数为.
故选：A
6. 双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A. 7B. 9C. 1或9D. 3或7
【答案】B
【解析】
【分析】由渐近线方程可得，则，后由双曲线定义可得答案.
【详解】由，可得，则.
又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得.
故选：B
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，，通过其单调性后可得，整理后可得；构造函数，由及单调性可得，则可得.
【详解】构造函数，，则，
得在上单调递减，又，
则，即.
构造函数，则
令，则在上单调递增.
又注意到，，
则，即.
故，即.
综上所述，.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式与分数的大小，难度较大.本题因难以估值及找中间量，故采用构造函数法比较大小，而构造函数的关键为找到比较式子间的关系.
8. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.
【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.
因为，而,所以，
在直角中，因为，，所以，，
则，设，
所以，
所以，
因为二次函数开口向上，对称轴为，且，
所以当时，取最小值，当时，取最大值，
所以的取值范围是.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数（，），将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于对称
B. 在上单调递增
C. 的解集为（）
D. 方程在上有3个解
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据图像平移伸缩变换可得，再根据奇偶性和最小正周期可求得和，通过赋值法可判断A，根据整体代入法可判断B，通过余弦函数图像的性质可判断C，通过正切函数图像的性质可判断D.
【详解】将函数的图像上所有点向右平移个单位长度，
得到，
然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到，
若最小正周期为，则有，得，
又因为为偶函数，
所以，即
又，所以，，
故，，
对于A，，所以的图像不关于对称，A错误；
对于B，令，得，，
当时，函数的单调递增区间为，
所以在上单调递增，B正确；
对于C，由，得，所以，
所以（），
解得（），C正确；
对于D，等价于，
即，所以，
所以（），即（），
又，故当时，可得，，.
即方程在上有3个解，D正确.
故选：BCD
10. 甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件（）相互独立
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，由条件概率公式以及乘法公式，全概率公式分别代入计算，即可得到结果.
【详解】，，
先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，
先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，
先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，，
，B对，
，
，
，C错，
，A错，
，D对．
故选:BD.
11. 已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列说法正确的是,（ ）
A. 存在点使B. 点到平面的距离为
C. 的最小值是D. 三棱锥的体积为定值
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
设，
，当时，，
此时与重合，所以A选项正确.
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以点到平面的距离为，B选项错误.
，，
，
所以当时，取得最小值为，C选项错误.
，定值，D选项正确.
故选：AD
12. 已知函数对任意实数，都满足，且，则（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】令可得，从而可判断B；令可判断A；令，可得，令可判断C；由AC的解析可得函数的周期为2，从而可判断D.
【详解】在中，
令，可得，即，解得，故B错误；
令可得,即，
故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；
令，则，故，
令，可得,
故，故C正确；
因为是偶函数，所以，故,
即，
所以,所以，故函数周期为2，
因为，，所以，.
所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如图，扇形中，，，将扇形绕所在直线旋转一周所得几何体的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到几何体为以为圆心，为半径的半个球体，再求其表面积即可.
【详解】将扇形绕所在直线旋转一周得到几何体为以为圆心，为半径的半个球体.
几何体的表面积为.
故答案为：
14. 已知曲线：，点是曲线上的一点，则点到坐标原点的距离的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】设点，得出，从而得出点到坐标原点的距离，结合导数求出最小值即可.
【详解】设点，则有，
所以，
点到坐标原点的距离，
设，，
则，
在上，，在上，，
所以在时有最小值，
所以的最小值为.
故答案为：3
15. 已知圆：，圆的弦是过点最短的弦，为坐标原点，则的面积为______．
【答案】7
【解析】
【分析】当时，弦最短，求得直线的斜率，从而求得直线的方程，进一步求得点到直线的距离，利用垂径定理求得，即可求解.
【详解】因为圆：，所以圆心，半径为，
又，所以点在圆内，如图，
当时，弦最短，此时而,，
所以直线的方程为，即，
则点到直线的距离为.
因为，所以.
故的面积为.
故答案为：7.
16. 过点（）有条直线与函数的图像相切，则的最大值是______，此时的取值范围是______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，求解出切线方程，利用代入法、常变量分离法、数形结合思想进行求解即可.
【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
所以，，令，其中，
所以，，列表如下：
由可得，解得或，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
当时，直线与函数的图象有二个交点，
当时，直线与函数的图象有一个交点，
当，或时，直线与函数的图象没有交点，
故答案为：3；.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两角和的余弦公式和正弦公式以及正弦定理即可求解；
（2）由余弦定理和数量积的定义即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
可得，
由正弦定理得：，
所以，
所以，
因为，所以，
由，可得．
【小问2详解】
由余弦定理
得：，
即，所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以的周长为．
18. 2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：
（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见详解；能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；
（2）分布列见详解；.
【解析】
【分析】（1）根据题意，即可得出完整的列联表，再根据给出的公式求出，并与比较，即可得出结论；
（2）根据分层抽样得出在女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，再从5人中随机选出3人，再根据超几何分布的概率求法求出概率，进而得出分布列和数学期望.
【小问1详解】
解：由题意，得列联表如下：
，
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.
【小问2详解】
解：由题得，抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，
所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，
再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为，则的可能值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列如下表：
所以数学期望为：.
19. 已知数列的前项和为，满足，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）记，设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时可求得；当时，由与关系可得，验证知，由此可证得结论；
（2）由等比数列通项公式可推导得到；当为奇数时，由知；当为偶数时，令，可知递增，得到，知；采用分组求和的方式对奇数项和偶数项分别求和，结合等比和等差数列求和公式可求得结果.
【小问1详解】
当时，，解得：；
当时，由得：，
两式作差得：，即；
经检验：，满足；
数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得：，；
则当为奇数时，，，；
当为偶数时，；
令，则，
，即，；
.
20. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，．
（1）证明：平面；
（2）若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）因为平面平面，故要证平面，需证，需证平面，需证，而不难证明（2）建立恰当的空间直角坐标系，用空间向量求解即可
【小问1详解】
证明：取中点，连接．
∴，
∴四边形为菱形，四边形为平行四边形．
∴，
∴．
又∵，
∴平面．
又∵平面，
∴．
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面．
【小问2详解】
∵平面，
∴，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴底面是直角梯形．
以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则．
，．
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由得取．
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21. 已知离心率为的椭圆C1：(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：的焦点.
（1）求椭圆C1与抛物线C2方程；
（2）过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；
（2）存在，或.
【解析】
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）设直线l方程为，联立抛物线方程利用韦达定理可得，利用直线与椭圆的位置关系可求，再利用三角形面积公式及条件列出方程，即得.
【小问1详解】
由题意得，解得
∴ 椭圆的方程为，，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由题意得直线l的斜率不为0，，
设直线l的方程为，设，
由，得，
∴，
∵，
∴，
∵，∴ 直线OA的斜率为，即直线OA的方程为,
由，得，
同理可得，
，
∴，得m=±1，
∴ 存在直线l，方程为或.
22. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）结合的单调性以及来求得的取值范围.
（3）结合（2）的结论得到，由等差数列的前项和公式证得不等式成立.
【小问1详解】
的定义域为，，
令，解得.
所以在区间递增；在区间递减，
所以的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
，
由（1）知：在上递增，在上递减，
所以.
【小问3详解】
当时，，
令，则，
，
所以.
【点睛】在研究函数的性质的过程中，导数是工具性的作用，可通过导数研究函数的单调性、极值、最值等.
减
极小值
增
极大值
减
天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
50
男
15
合计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100
0
1
2