数学北师大版 (2019)4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义教学课件ppt

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单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.正弦函数和余弦函数的概念及其性质
1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点)3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点)4．通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养．5．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养．
1.弧度制概念在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度。以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制。2.弧度与角度互化
3.弧长与扇形面积公式
1、若 是第四象限角，则    是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角2、若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A∩B.
4、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R。1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；2）若扇形的周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝
     ∴当且仅当 ，即α=2（α=-2舍去）时，扇形面积有最大值     。
1.如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为：
(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u,v).
在初中，由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义．如何定义一般情形下的三角函数的定义呢？
任意角的正弦、余弦函数
已知Q是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cs α？
1.点P(sin 2020°，cs 2020°)位于第________象限．
【解析】∵2020°＝5×360°＋220°，∴2020°是第三象限角，∴sin 2020°<0，cs 2020°＜0，∴点P位于第三象限
为什么y＝sin x，x∈R是周期函数？
解：因为∀x∈R，x＋2π与x终边相同，所以sin ＝sin x，根据周期函数的定义可知，y＝sin x，x∈R是周期函数
2.已知sin x＝2m＋3，且x∈[-π/6, π/6]，则m的取值范围是________．
类型1 三角函数的定义及应用
【例1】 已知角α的终边过点P，求2sin α＋cs α的值。
1．已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cs α的值
类型2 函数值符号判断
【例2】 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cs α)在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cs (－210°)；②sin 3·cs 4.
(2)解： ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cs (－210°)＜0，∴sin 145°cs (－210°)＜0.②∵π/2＜3＜π，π＜4＜3π/2，∴sin 3＞0，cs 4＜0，∴sin 3·cs 4<0.
类型3 单位圆与正弦、余弦函数的基本性质
【例3】已知函数f(x)＝ .求(1)函数f(x)的定义域；(2)函数f(x)的值域；(3)函数f(x)的单调区间．
3．使sin x≤cs x成立的x的一个取值区间是( )A．[-3π/4, π /4]B.[-π/2, π/2]C．[- π/4, 3π/4]D．[0，π]
2．若三角形的两内角A，B满足sin A cs B<0，则此三角形为( )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
[解析]如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，要使sin x≤cs x，由三角函数线的定义知角x的终边应落在直线y＝x上或者该直线的下方，故选A
1.借助单位圆，思考正弦函数，余弦函数的定义域、值域、周期、单调区间各是什么？
2.如何判断正弦函数值和余弦函数值在各象限内的符号？
(1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号．(2)余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．