高中北师大版 (2019)4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义学案及答案

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借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
[教材要点]
要点 任意角的正弦函数和余弦函数
1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝________，u＝________.
2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin α＝________＝________，cs α＝________＝________.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．( )
(2)若角α的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于点(eq \r(3)，1)，则可以认为sin α＝1.( )
(3)若角α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上异于原点的一点，则cs α＝eq \f(－x,\r(x2＋y2)).( )
2．已知角α的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则sin α的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)
3．已知角α的终边过点(3，－4)，则cs α＝( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
4．若锐角β的终边过点(1，m)，且cs β＝eq \f(\r(5),5)，则m＝________.
题型一 已知角，求三角函数值——自主完成
1．如图所示，直线l的倾斜角为eq \f(2π,3)，且与单位圆交于P，Q两点，则点P的横坐标是( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
2．已知α＝eq \f(5π,3)，则sin α＝________，cs α＝________.
方法归纳
作出角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，利用正、余弦函数的定义求解．
题型二 已知角α终边上一点求三角函数值——师生共研
例1 若角α的终边与单位圆的交点是Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(\r(7),4)))，则sin α＝________，cs α＝________.
变式探究1 本例中条件改为“角α的终边经过点P(－1，eq \r(3))”，则sin α＝________，cs α＝________.
变式探究2 本例中的条件改为“角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上”，求sin α，cs α.
方法归纳
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r). 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练 (1)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－eq \f(5,13)，则sin α＋cs α＝________.
(2)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cs α.
易错辨析 利用三角函数定义求值时，忽略参数的范围致错．
例2 已知角α的终边经过点P(2a＋1，a－2)，且cs α＝－eq \f(3,5)，则实数a的值是________．
解析：|OP|＝eq \r(2a＋12＋a－22)＝eq \r(5a2＋5)(O为坐标原点)，由余弦函数的定义知，eq \f(2a＋1,\r(5a2＋5))＝－eq \f(3,5)，化简得11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝eq \f(2,11)，又2a＋1<0，即a<－eq \f(1,2)，所以a＝－2.
答案：－2
易错警示
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．sin α cs α
2.eq \f(y,r) eq \f(y,\r(x2＋y2)) eq \f(x,r) eq \f(x,\r(x2＋y2))
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y＝－eq \f(1,2).
答案：B
3．解析：∵x＝3，y＝－4，∴r＝5.∴cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3,5).
答案：C
4．解析：∵cs β＝eq \f(1,\r(1＋m2))＝eq \f(\r(5),5)，∴m＝±2.又∵角β是锐角，∴m＝2符合题意．
答案：2
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：因为cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，故选B.
答案：B
2．解析：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝eq \f(5π,3)，如图所示．
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).
故sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2).
答案：－eq \f(\r(3),2) eq \f(1,2)
题型二
例1 解析：因为点P在单位圆上，所以由正、余弦函数的定义可知sin α＝eq \f(\r(7),4)，cs α＝－eq \f(3,4).
答案：eq \f(\r(7),4) －eq \f(3,4)
变式探究1 解析：因为角α的终边经过点P(－1，eq \r(3))，所以|OP|＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，由正、余弦函数的定义有：sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2).
答案：eq \f(\r(3),2) －eq \f(1,2)
变式探究2 解析：直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1, eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)；在第四象限取直线上的点 (1，－eq \r(3))，则r＝ eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2).
跟踪训练 解析：(1)因为cs α＝eq \f(－x,\r(－x2＋－62))＝－eq \f(5,13)，
解得：x＝eq \f(5,2)，∴|OP|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))2＋62)＝eq \f(13,2)，
∴sin α＝eq \f(－6,\f(13,2))＝－eq \f(12,13).
∴sin α＋cs α＝－eq \f(12,13)－eq \f(5,13)＝－eq \f(17,13).
(2)①当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，则点P到原点的距离为eq \r(5)，所以sin α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5).
②当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，则|OQ|＝eq \r(5)，所以sin α＝eq \f(－2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5).
答案：(1)－eq \f(17,13) (2)见解析
易错原因
纠错心得
因为cs α＝eq \f(2a＋1,\r(2a＋12＋a－22))＝－eq \f(3,5)<0，所以2a＋1<0，这是很多学生容易忽略的地方，也就是出错的原因.
当已知角α的终边上的点的坐标含参数时，一定要结合sin α(或cs α)来确定参数的范围，谨防上当.