【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题07两角和与差的余弦、正弦和正切公式（4大考点+8种题型）-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、两角和与差的余弦
考点二、两角和与差的正弦
考点三、两角和与差的正切
考点四、辅助角公式
题型一：给角求值问题
题型二：给值(式)求值问题
题型三：给值求角问题
题型四：三角恒等式的证明
题型五：辅助角公式的应用
题型六：两角和与差的正切公式的正用
题型七：两角和与差的正切公式的逆用
题型八：两角和与差的正切公式的变形运用
考点一、两角和与差的余弦
设、为任意给定的两个角，把它们的定点置于平面直接坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，而它们的终边分别于单位圆交于、两点. 点、的坐标分别为、.
下面考虑角的余弦. 为此把角、的终边及都绕原点旋转角，它们分别交单位圆于点及. 由于都转动了角，因此也可以是一个以射线为始边、以射线为终边的角，而点的坐标是，点的坐标是.
根据两点间的距离公式，在左图中，有
在右图中，有
因为将射线、同时绕原点旋转角，就分别得到射线、，所以，
从而得到，即.
这个式子对任意给定的角和都成立，称为两角差的余弦公式.
在两角差的余弦公式中，用代换，就可得到两角和的余弦公式：
.
这样，我们就得到两角和与差的余弦公式
，
.
简记作 .
考点二、两角和与差的正弦
根据两角差的余弦公式和诱导公式，就可以得到两角和的正弦公式. 事实上，
将上式中的用代换，就可以得到两角差的正弦公式
.
这样，我们得到两角和与差的正弦公式
，
.
简记作 .
考点三、两角和与差的正切
根据两角和的正弦、余弦公式，就可以得到两角和的正切公式. 事实上，
.
将上式中的用代换，就得到两角差的正切公式
.
这样，我们得到两角和与差的正切公式
，
.
简记作
.
考点四、辅助角公式
.
注意到为单位圆上的一点，由正弦及余弦的定义，存在唯一的角，使得
，，
于是有
.
此公式我们称之为辅助角公式.
题型一：给角求值问题
【例1】 (1)cseq \f(13π,12)的值为( )
A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)]
(2)求下列各式的值：
①cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cs 14°＋sin 44°cs 76°；
③eq \f(1,2)cs 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°.
【变式1】．化简下列各式：
(1)cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
【变式2】(1)cs 70°sin 50°－cs 200°sin 40°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)若θ是第二象限角且sin θ＝eq \f(5,13)，则cs(θ＋60°)＝________.
(3)求值：(tan 10°－eq \r(3))eq \f(cs 10°,sin 50°).
【变式3】．化简求值：
(1)eq \f(sin 50°－sin 20°cs 30°,cs 20°)；
(2)sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)．
题型二：给值(式)求值问题
【例2】 (1)已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，则cs(α－β)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cs α的值．
【变式】已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，求sin β的值．
题型三：给值求角问题
【例3】 已知sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，求角β的大小．
【变式1】．已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
【变式2】(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为eq \f(4,5)，点Q的横坐标为eq \f(5,13)，则cs∠POQ＝________.
(2)已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).求：①cs(2α－β)的值；②β的值．
题型四：三角恒等式的证明
【例4】求证：。
题型五：辅助角公式的应用
【例5】 (1)sineq \f(π,12)－eq \r(3)cseq \f(π,12)＝________.
(2)已知f(x)＝eq \r(3)sin x－cs x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．
题型六：两角和与差的正切公式的正用
【例6】 (1)已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
【变式】．(1)已知tanα－eq \f(5π,4)＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
(2)已知角α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝________.
题型七：两角和与差的正切公式的逆用
【例7】 (1)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
【变式】．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)
B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)
D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
题型八：两角和与差的正切公式的变形运用
【例8】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
一、填空题
1、计算：
2、若cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝________.
3、求值：（1）sin 20°cs 40°＋cs 20°sin 40°＝________；
4、求值：（3）已知α，β为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则sin(α＋β)的值为________，sin(α－β)的值为________.
5、已知0<α6、已知，则_________．
7、已知，，且，则______．
8、已知，，则实数m的值为________________．
9、若，，则______.
10、已知A，B都是锐角，且tan A＝ eq \f(1,3)，sin B＝ eq \f(\r(5),5)，则A＋B＝________
11、已知角､角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则
12、设a，b是非零实数，且满足，则＝_______．
二、选择题
13、cs 56°cs 26°＋sin 56°cs 64°的值为（ ）
A. eq \f(1,2) B. －eq \f(1,2) C. eq \f(\r(3),2) D. －eq \f(\r(3),2)
14、已知cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，cs(α－β)＝－eq \f(4,5)，则csαcs β的值为（ ）
A. 0 B. eq \f(4,5) C. 0或eq \f(4,5) D. 0或±eq \f(4,5)
15、已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
16、已知，是方程的两根，若，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
三、解答题
17、已知α，β为锐角，且cs α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求：csβ的值；
18、已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求β的值；
19、已知，是方程的两根，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）.
20、在中，，，
试判断的形状；
21、在锐角△ABC中，求证：
（1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）。
22、把下列各式化为的形式：
（1）；（2）；（3）。