【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题04 函数的极值与最大（小）值 （十二大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：求函数的极值
考点二：由极值求参数的值或取值范围
考点三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题
考点四：不含参函数的最值问题
考点五：含参函数的最值问题
考点六：由函数的最值求参数问题
考点七：导数在解决实际问题中的应用
考点八：利用导数研究函数的极值与最值问题
考点九：利用导数研究恒成立问题
考点十：利用导数研究不等式问题
考点十一：利用导数证明不等式
考点十二：利用导数研究零点问题
知识点一、函数的极值
（一）函数的极值的定义：
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．
极大值与极小值统称极值．
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．
知识点诠释：
由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．
（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
（二）用导数求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）
知识点诠释：
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．
知识点二、函数的最值
（一）函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．
知识点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．
（二）求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．
知识点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．
（三）最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．
1、不等式恒成立，求参数范围问题．
一些含参不等式，一般形如，
若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题．
若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论．
2、证不等式问题．
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题．
3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，
我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题．
考点剖析
考点一：求函数的极值
例1．（2024·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数，在时有极大值，则的极大值为
【答案】
【解析】由得，
∵在处取得极大值，∴，即，解得或，
当时，，令，得或，令得，
∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
∴在处取得极小值，故不满足题意舍去，
当时，，令，得或，令，得，
∴在上是增函数，在上是减函数，∴在处取得取大值，符合题意．综上， ．
则的极大值为
故答案为:.
例2．（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值．
B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值．
C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得．
D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值．
【答案】D
【解析】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误；
函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误；
若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确.
故选：D.
例3．（2024·高二课时练习）求下列函数的极值.
(1)；
(2).
【解析】（1）由题意得，,
令，解得.
因为当时，，当时，，
所以函数在处有极小值，且，无极大值.
（2），,
令，解得.
所以当x变化时，的变化情况如下表：
所以当时，函数取得极小值，且，无极大值.
变式1．（2024·北京·高二北京八十中校考期中）已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)求的极值.
【解析】（1）因为的定义域为.
所以.
的图象在处的切线方程为.
（2）
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
.
故的极大值为，无极小值.
考点二：由极值求参数的值或取值范围
例4．（2024·高二课时练习）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵函数既存在极大值，又存在极小值，
∴导函数有两个不相等的变号零点，
∴，即，解得或．
∴实数的取值范围是，
故选：B．
例5．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）若函数与函数有相等的极小值，则实数（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】由对勾函数可知：在时取到极小值，
对于，则有：
当时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意；
当时，，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，解得.
故选：B.
例6．（2024·河南开封·高二统考期末）已知函数的极小值为，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】因为，所以；
当时，，为减函数，没有极值.
当时，由得；
时，，为增函数；
时，，为减函数；
时，，为增函数；
所以当时，有极小值，，解得.
故选：C.
变式2．（2024·高二课时练习）若函数在内有极大值，在内有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
因为在内有极大值，在内有极小值，
所以，
解得．
故选：C．
变式3．（2024·福建福州·高二福州三中校考期末）若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵函数有极值点，
∴有两个不同实数根，
∴，解得
故选：B
考点三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题
例7．（2024·山东青岛·高二统考期末）已知函数在处有极值．
(1)求的极值；
(2)若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围．
【解析】（1）
由条件知，得
所以随x变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为.
（2）因为，
所以函数在区间上有三个零点，只需,
所以.
例8．（2024·浙江丽水·高二统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）函数的导数，
当时，；
当时，.
所以的单调递减区间为.
（2）由（1）得：当时，取得极大值；
当时，取得极小值.
由三次函数性质知：当时，；
当时，.
所以若有三个零点，则，解得.
所以的取值范围为.
例9．（2024·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知，函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数的减区间是，求a的值；
(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【解析】（1），
当时，，
，
在点处的切线方程为，即
（2）函数的减区间是(-1，4)，
而
令，当时，，单调递减，，
当时，，单调递减，不符合题意，
当，无实数解，不符合题意,
故.
（3）=
令，所以，
令得，
当时，；当时，
故在上递减；在上递增
所以，即，
所以，
实数的取值范围是.
变式4．（2024·广西南宁·高二统考期末）已知函数．
(1)求的导函数；
(2)若在上有零点，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以
（2）由（1）知，
因为，所以，
所以，
从而在上单调递增，
所以，．
因为在上有零点，所以，
解得．
考点四：不含参函数的最值问题
例10．（2024·高二课时练习）若函数在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则 .
【答案】20
【解析】函数，，求导得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，而，则，
所以.
故答案为：20
例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知的两个极值点分别为，2，则函数在区间上的最大值为 ．
【答案】/
【解析】，因为的两个极值点分别为，2，
所以，所以，
所以，，
令，解得：或；
令，解得：.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以，2是的两个极值点，则，
所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为.
故答案为：.
例12．（2024·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）函数的最大值为 .
【答案】1
【解析】由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，
故答案为：1
变式5．（2024·云南临沧·高二校考阶段练习）设函数，则在上的最小值是 ．
【答案】/
【解析】因为，所以，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故在的最小值为.
故答案为：
考点五：含参函数的最值问题
例13．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若，求在区间的最小值.
【解析】（1）当时定义域为R，
且，
所以当或时，当时，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，；
（2）函数定义域为R，则，
令，解得或，
当时，则当或时，，
当时，，
所以的单调增区间为，，单调减区间为；
若，即时在上单调递减，
所以在上的最小值为，
若，即时，在单调递减，在单调递增，
所以在的最小值为，
所以
例14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，其中.求的最小值；
【解析】， 令，解得，
由为增函数知，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为.
例15．（2024·高二课时练习）已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值．
【解析】函数的定义域为，，
当变化时，的变化情况如下表：
①当时，在区间上为增函数，所以．
②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以，
综上，．
变式6．（2024·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值．
【解析】由题意可得：，则，
∵，则有：
当时，则当时恒成立，
则函数在区间上单调递增，则；
当时，则当时恒成立，
则函数在区间上单调递减，则；
当时，则，
令，解得，令，解得，
故函数在区间上单调递减，在上单调递增，且，
①当，即时，则在区间上的最大值为；
②当，即时，则在区间上的最大值为；
③当，即时，则在区间上的最大值为；
综上所述：当时，则在区间上的最大值为；
当时，则在区间上的最大值为；
当时，则在区间上的最大值为.
考点六：由函数的最值求参数问题
例16．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）函数，的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【解析】，，
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以的最小值为，令，解得.
故选：C
例17．（2024·天津红桥·高三统考期中）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】当时，函数取得最大值-2，
所以，即，，定义域为，
又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以.
故选：A.
例18．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
∵，则
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立
当，令，则
∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立
故选：A.
变式7．（2024·广东揭阳·高三揭东二中校考阶段练习）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴当时，，当时，，
可知，在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，
又∵在区间上有最小值，
∴，解得．
故选：A．
考点七：导数在解决实际问题中的应用
例19．（2024·高二课时练习）一艘船航行所需的燃料费与船速的平方成正比．如果船速是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知该船航行的其他费用为每小时480元，在100km的航程中，保持怎样的船速可使航行总费用最少？（结果精确到1km/h）
【解析】设当船速为xkm/h时，每小时所需燃料费为元．
根据题意，当时，，从而解得．
因此，船在100km航程中的总费用为，．
求导，得，令，得（舍去负值）．
所以当时，，函数严格减；
当时，，函数严格增．
因此，函数在（km/h）处取得最小值．
所以，在100km的航程中，保持约24km/h的船速可使航行总费用最少．
例20．（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）喀什二中拟在高二年段举行手工制作书柜比赛，现有一边长为的正方形硬纸板，纸板的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方柜，
(1)试把方柜的容积表示为的函数？
(2)多大时，方柜的容积最大？并求最大容积．
【解析】（1），
又，解得，
故关于的函数为，；
（2），令，解得（舍去）或，
令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故时，方柜的容积最大，最大容积为.
例21．（2024·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．
(1)求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式；
(2)求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．
【解析】（1）由题意知：，
即.
（2）由（1）得：，
令，解得：（舍），，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，当时，；当时，；
当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元.
变式8．（2024·江西·高二统考期末）某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发放冰淇淋，现欲从家源头工厂批发进购冰淇淋.已知该工厂在这笔订单中的固定成本为2万元，生产的最大上限是8万个，另外，每生产1万个冰淇淋成本会增加0.5万元，每x万个冰淇淋的销售额满足关系式（单位：万元，其中a是常数）；若该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元.
(1)设卖出x万个冰淇淋的利润为（单位：万元），求的解析式；
(2)这笔订单的销售量为多少时这家工厂的利润最大？并求出利润的最大值.
【解析】（1）卖出万个冰淇淋的利润（单位：万元）：，，
即，，当时，，解得，
故，；
（2），
当时，，当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴时，利润最大为万元.
考点八：利用导数研究函数的极值与最值问题
例22．（2024·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点为，.
(1)当时，求的值；
(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.
【解析】（1）易知函数的定义域为，
则，
当时可得，，
因此可知当或时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
可得和是函数的两个极值点，又，所以；
所以可得，
即当时，；
（2）易知，
又，所以是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，
所以
，
设，由可得，令，
则，所以在上单调递减，
可得，
故可知的最大值为.
例23．（2024·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
（2）对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
例24．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求极值：
(2)当时，求函数在上的最大值．
【解析】（1）当时，，，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
综上，的极大值为，极小值为；
（2），，
故，，
令得或，
因为，当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
因为，
，
所以，所以；
当，即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，
，
所以；
综上：
变式9．（2024·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数.
(1)若，求在定义域内的极值；
(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．
【解析】（1）当时，，的定义域是，且，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在有极小值，无极大值.
（2）因为，则，因为，
①当时，即当，则在上恒成立，此时在上单调递减，
所以，所以（舍去）；
②当时，即当时，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
综上，.
考点九：利用导数研究恒成立问题
例25．（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围.
【解析】（1）对于恒成立，
令，，
只需即可，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
故，
实数的取值范围是；
（2），故在R上恒成立，
即在R上恒成立，
令，
只需，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故，
所以，故a的取值范围为.
例26．（2024·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）．
由，得或，
所以函数的单调递减区间为，．
（2）由，，得．
因为，，，
故当时，．
要使对于恒成立，只需，
解得．
例27．（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．
(1)当时，求的极值；
(2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围．
【解析】（1）当时，，∴，
由得，故的单调递增区间为；由得，
故的单调递减区间为；
所以函数有极小值为，无极大值．
（2）当时，不等式化简为，令，则；
令得，
∴在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，
又，所以．
变式10．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数，若的最大值为
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求b的取值范围.
【解析】（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，
，
因此的取值范围是
考点十：利用导数研究不等式问题
例28．（2024·湖北武汉·高二武汉市育才高级中学校联考期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，
因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点，
由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：
或，
故选：D.
例29．（2024·陕西渭南·高二统考期末）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，
在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
例30．（2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，设是实数集上的减函数，且，
所以由，
故选：B
变式11．（2024·湖北武汉·高二江夏一中校考期中）定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
因为对任意恒成立，
所以，
所以在区间上递增，
因为，所以，
因为
所以，可化为，即，
因为所以在区间上递增，
所以，
所以关于x的不等式的解集为，
故选：C
考点十一：利用导数证明不等式
例31．（2024·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是函数的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？
(3)利用（2）中的不等式证明：.
【解析】（1）由题意，函数，其中函数的定义域为，
可得，
令，可得或，
若，则当时，，当时，，
所以上单调递减，在上单调递增；
若，则当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增.
（2）由函数且，可得，
因为，可得，
解得或（与矛盾，舍去），
故
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得最小值，最小值，即，
故对于任意恒成立，有不等式成立，当且仅当时，“=”成立.
（3）由（2）知当时，有成立，
令，则
整理得，，
所以.
例32．（2024·高二课时练习）证明不等式：，
【解析】由题设，要证只需证即可，
令，则，而，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故，即在上恒成立，
∴，得证.
例33．（2024·湖北·高二期末）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：
【解析】（1），
当时，，，单调递增；，，单调递减．
当时，当或，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，，所以在R上单调递增．
当时，当或，，单调递增；
，，单调递减．
（2），
由可得，或，，单调递增；
，，单调递减．
又因为，，
所以恒成立．
变式12．（2024·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
【解析】（1）由题意可知：，
若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，
故，
显然当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以若要符合题意，需，
此时有，且，
令，
而，
即在上递减，故，
所以，
又，
故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意，
综上；
（2）结合（1），不妨令，
构造函数，
则，
即单调递减，所以，
即，
因为，所以，
由（1）知在上单调递增，所以由，
故.
考点十二：利用导数研究零点问题
例34．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知且，函数.
(1)若且，求函数的最值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，函数，
故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
所以，
又因为，，
所以；
（2）因为函数有两个零点
故有两解，
所以方程有两个不同的解，
即为函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
令，故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
如图所示
而，所以，所以，
令，
因为，，
所以在上有一个零点，
又当时，，，，
所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点，即当时，函数有两个零点.
例35．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若是的2个零点，且，证明：.
【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，可知至多1个零点，不合题意，
所以，且在上单调递增，在上单调递减，
可知：当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可得，解得，
且，要证，只需证，注意到，
又因为在上单调递减，故只需证，
结合，故只需证，即证，
令，
则，
可知在上单调递增，且，
所以，从而成立.
例36．（2024·陕西榆林·高二校考期中）已知函数，（其中为自然对数的底数，）．
(1)若时，试确定函数的单调区间；
(2)若函数恰有个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，∴．
由，解得；由，解得．
∴的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）由可知是偶函数，
又，
∴函数恰有4个零点等价于函数（）恰有2个零点．
令，解得，
∵，∴，
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
又，当时，，
∴，
∵，∴，解得．
所以实数的取值范围是．
过关检测
一、单选题
1．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考阶段练习）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ）

A．是函数的最小值
B．是函数的极值
C．在区间上单调递增
D．在处的切线的斜率大于0
【答案】A
【解析】根据导函数图象可知当时，，在时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
易知是函数的极值，故B正确；
因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误；
因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确.
故选：A．
2．（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
∵在，上为增函数；上为减函数,
∴两根分别位于和中，
得，即，解得.
故选：B
3．（2024·高二单元测试）设是R上的可导函数，分别为的导函数，且，则当时，有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴函数是R上的减函数．
∴当时，，
故选：C.
4．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考期末）如右图所示为的图像，则下列判断正确的是 （ ）
①在上是增函数；
②是的极小值点；
③在上是单调递减，在上是单调递增；
④是的极小值点
A．①②③B．①③④C．③④D．②③
【答案】D
【解析】由的图像可得：在区间上函数的符号及函数的单调性，如下表：
所以①④是错误的；②③是正确的.
故选：D
5．（2024·陕西西安·高二校考期末）若函数在处有极值，则实数（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】因为，所以，
又在处有极值，
所以，所以，得，
当时，，
当或时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
函数在处有极小值，满足题意.
故选：A.
6．（2024·江苏镇江·高二校考阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于，则，
得，由于在上为“凸函数”，
所以 在上恒成立，即在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
于是，故.
故选: C
7．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考）函数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】因为，且，令，则或（舍），
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
则当时，函数有极大值，即最大值为.
故选：A
8．（2024·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当，
则不等式等价为，
即，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
则，，，，
即，，
，，
则，故A正确；
，得不出，故B错误．
，故C错误．
，故D错误．
故选：A．
二、多选题
9．（2024·江苏常州·高二统考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极值点B．3是函数的极大值点
C．在区间上单调递减D．1是函数的极小值点
【答案】AC
【解析】对于A项，由图象可知，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，在处取得极大值.故A正确；
对于B项，由图象可知，
当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减.
所以，3不是函数的极大值点.故B错误；
对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确；
对于D项，由B可知，在上单调递减.
所以，1不是函数的极小值点.故D错误.
故选：AC.
10．（2024·浙江金华·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选：AC.
11．（2024·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（ ）（注：；利润可为负数）
A．利润随着瓶子半径的增大而增大B．半径为6cm时，利润最大
C．半径为2cm时，利润最小D．半径为3cm时，制造商不获利
【答案】BCD
【解析】由已知，每个瓶子的利润为，，
则，
所以当时，，此时函数单调递减，故A错误；
又当时，，函数单调递增，
又，则当时，函数取得最大值，故B正确；
当时，函数取得最小值，故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD．
12．（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．有两个极值点
C．，都能使方程有三个实数根
D．曲线是中心对称图形
【答案】BCD
【解析】对于A：，，曲线在点处的切线方程为，故A错误；
对于B：令，得或；令，得，
在和上单调递增，在上单调递减，
有两个极值点，故B正确；
对于C：结合B选项，，，
且当时，；当时，，
对于，都能使方程有三个实数根，故C正确；
对于D：解法一：，
，
.
∴曲线关于点中心对称.
解法二：，
令，则是R上的奇函数，且，
曲线关于点中心对称，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2024·广东河源·高二河源市河源中学校考开学考试）函数的极小值点为 ．
【答案】2
【解析】函数的定义域为R，
令得， ，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
综上所述，在处取得极小值，即的极小值点为2．
故答案为：2.
14．（2024·天津·高二统考）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
当时，，此时在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数a的取值范围是．
故答案为：
15．（2024·河南郑州·高二校考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】函数，定义域为，
若函数有两个不同的极值点，
则有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．（2024·江西萍乡·高二统考）已知直线与函数，的图象分别交于点，，则的最小值为 .
【答案】12
【解析】显然，当时，，，
令函数，
则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，即的最小值为12.
故答案为：12
四、解答题
17．（2024·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）设函数
(1)求的极大值点与极小值点及单调区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
【解析】（1）函数的导数为．
令，解得，．
由，得，即的单调递增区间为，
由，得或，即的单调递减区间为，．
的极大值点，极小值点．
（2）列表
当x变化时，，的变化表为：
当时，，
当时，，
当时，．
∴在区间上的最大值为63，最小值为0.
18．（2024·贵州遵义·高二校联考期末）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
【解析】（1）时，，定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故在处取得极小值，，
的极小值为，无极大值.
（2）在区间上为减函数，
∴在区间上，
，
令，只需，
显然在区间上为减函数，
，
19．（2024·陕西延安·高二校考期末）设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)如果对所有的，都有，求a的取值范围．
【解析】（1）的定义域为，
，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故在单调递减，在单调递增；
（2）由（1）知，在上单调递增，
又，，
故，
则，
故a的取值范围为.
20．（2024·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）己知函数．
(1)求曲线的斜率等于的切线方程；
(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【解析】（1）易知函数的定义域为，且，
若，解得，则切点为；
所以切线方程为，即.
（2）易知曲线在点处的切线斜率为，
切线方程为,
令，可得；令，可得；
所以可得，
则，
令可得，当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
所以在处取得极小值，也是最小值，即.
即可得的最小值为.
21．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 恒成立, 求的最大值;
(2)若 恒成立, 求的最小值.
【解析】（1）因为，且，整理得，
由题意可知：对任意恒成立，
令，，则，
令，，则对任意恒成立，
则在上单调递减，可知，
即对任意恒成立，
则在上单调递减，可知，
可得，所以的最大值为.
（2）由题意可得：，
因为，由题意可得，则，
若，则，
可知在上单调递减，则，即符合题意；
综上所述：，即的最小值为1.
22．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当，求的单调区间；
(2)若有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）将代入可得，其定义域为R，则.
和都在上增函数，所以在上单调递增且，
因此，当时，，函数为单调递减；
当时，，函数为单调递增；
综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）（2）由得，，令，
则，
时，单调递减；
时，单调递增；
时，单调递减；
由单调性可知，当时，；
当时，；
当时，取得极小值，即；
当时，取得极大值，即.
所以和的大致图象如下：
综上所述，若有三个零点，则的取值范围为．
x
0
1
-
0
＋
0
＋
极小值
无极值
0
1
＋
0
－
0
＋
递增
极大值
递减
极小值
递增
单调递减
极小值
单调递增
增
极大值
减
极小值
增
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
0
－
0
＋
极小值