【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题02 导数的运算（十大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：利用导数公式求函数的导数
考点二：求函数的和、差、积、商的导数
考点三：求复合函数的导数
考点四：利用导数求函数式中的参数
考点五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）
考点六：利用导数公式求切点坐标问题
考点七：与切线有关的综合问题
考点八：切线平行、垂直问题
考点九：最值问题
考点十：公切线问题
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），，这样的形式．
要点诠释：
1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．
2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）．
特别地，．
3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．
4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即．
5、指数函数的导数：，．
6、对数函数的导数：，．
有时也把记作：
以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
要点诠释：
1、上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：，
推广：．
（ⅱ）积的导数：，
特别地：（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：，
两函数商的求导法则的特例
，
当时，．
这是一个函数倒数的求导法则．
2、两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：，，注意差异，加以区分．
（2）注意：且．
3、求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
复合函数的求导法则
1、复合函数的概念
对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．
要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”．
2、复合函数的导数
设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．
3、掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数分出内层、外层．
（2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到，
（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数．
要点诠释：
1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．
2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．
考点剖析
考点一：利用导数公式求函数的导数
例1．（2024·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
例2．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
例3．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
考点二：求函数的和、差、积、商的导数
例4．（2024·陕西延安·高二校考期末）求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
例5．（2024·陕西西安·高二校考期末）求下列函数的导数
(1)
(2)
例6．（2024·新疆喀什·高二校考期末）求下列函数的导数
(1)；
(2)，．
变式1．（2024·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式2．（2024·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)．
变式3．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3).
考点三：求复合函数的导数
例7．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
例8．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例9．（2024·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
考点四：利用导数求函数式中的参数
例10．（2024·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．C．D．
例11．（2024·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．D．
例12．（2024·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．
变式4．（2024·江苏盐城·高二校考）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．1C．2D．
考点五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）
例13．（2024·全国·高二随堂练习）求曲线在点处的切线的方程．
例14．（2024·新疆和田·高二校考）已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
例15．（2024·陕西渭南·高二校考）已知曲线方程
(1)求以点为切点的切线方程；
(2)求过点与曲线相切的直线方程．
变式5．（2024·北京怀柔·高二校考）已知函数
(1)求的导数；
(2)求曲线在点处的切线方程．
(3)求曲线过点的切线方程
考点六：利用导数公式求切点坐标问题
例16．（2024·高二课时练习）已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 ．
例17．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为
例18．（2024·江苏盐城·高二统考）已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ．
变式6．（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为
考点七：与切线有关的综合问题
例19．（2024·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．
例20．（2024·四川绵阳·高二统考）若直线为曲线的一条切线，则实数的值为 ；
例21．（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 .
变式7．（2024·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为 ．
考点八：切线平行、垂直问题
例22．（2024·全国·高三校联考开学考试）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例23．（2024·高二单元测试）曲线在处的切线与直线平行，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例24．（2024·广东·高三校联考阶段练习）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．2
变式8．（2024·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
考点九：最值问题
例25．（2024·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为
例26．（2024·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为
例27．（2024·四川泸州·高二校考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为 .
变式9．（2024·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是
考点十：公切线问题
例28．（2024·山西·校联考模拟预测）若直线与函数和的图象都相切，则（ ）
A．B．C．D．
例29．（2024·山东临沂·高二统考）已知函数，，若直线与曲线，都相切于点，则 ， ．
例30．（2024·湖南湘潭·高二校联考期末）若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 .
变式10．（2024·高二课时练习）已知函数，若直线l：与曲线相切，则实数 ．
过关检测
一、单选题
1．（2024·内蒙古赤峰·高三校考）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高二课时练习）函数的导数是（ ）
A．cs xB．－cs x
C．－sin xD．sin x
4．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西宜春·高二校考期末）已知，且．若在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．0
6．（2024·新疆伊犁·高二统考）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2024·湖北·高二期末）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·江苏徐州·高二校考阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高二课时练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·甘肃酒泉·高二统考期末）若函数在R上可导，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2024·内蒙古赤峰·高二校考）曲线在点处的切线方程为 ．
14．（2024·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
15．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）设函数的导数为，且，则 ．
16．（2024·黑龙江鸡西·高二校考期末）已知函数在处的切线方程为，则 ．
四、解答题
17．（2024·河北·高二校联考阶段练习）已知函数，且.
(1)求的值；
(2)求函数的图象在点处的切线方程.
18．（2024·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
(2)
19．（2024·安徽芜湖·高二校考期末）已知曲线．
(1)求平行于直线且与曲线相切的直线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程．
20．（2024·高二课时练习）求下列各函数的导数．
(1)；
(2)；
(3).
21．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）已知函数与的图像都过点，且在点处有公共切线．
(1)求的表达式；
(2)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标．
22．（2024·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断与之间的关系；
(2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由.