【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 第六章+平面向量及其应用（单元综合测试卷）-练习

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则实数（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，所以，
即，解得.
故选：B.
2．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
3．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（ ）（，）

A．18米B．19米C．20米D．21米
【答案】B
【解析】在中，，则，在中，，，
由，得，，所以岳阳楼的高度约为19米.
故选：B.
4．在三角形中，，，，则（ ）
A．10B．12C．D．
【答案】A
【解析】记，则，，
，
．
故选：A.
5．已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
6．在中，（分别为角的对边），则的形状可能是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由已知，得，即，
由正弦定理可得：，
所以，
得，
在中，所以，
又，所以，即三角形为直角三角形.
故选：B.
7．在中，为边上一点（不含端点），，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为边上一点（不包含端点），即三点共线，且，
可得，则，且，
由，
在中，因为，，，
由余弦定理得，
所以，
整理得，解得或（舍去）.
故选：A.
8．中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，
因为，即，
整理得，
则．
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A．能作为平面内所有向量的一组基底
B．是与夹角是锐角的充要条件
C．向量与向量的夹角是
D．向量在向量上的投影向量坐标是
【答案】AC
【解析】因为，所以，
则，解得，所以，
可得不共线，故A正确；
因为向量，，由，解得；
又由当平行时，可得，解得，所以B错误；
由，
因为，故向量与向量的夹角是，所以C正确；
有向量在向量上的投影向量为，所以D错误.
故选：AC.
10．在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】A选项，由正弦定理得，A选项正确.
B选项，由正弦定理得，
而当时，则或，则或，
所以B选项错误.
C选项，由正弦定理得，
所以，所以C选项正确.
D选项，，由正弦定理得，
所以D选项正确.
故选：ACD
11．在中，若，，，则的面积可能为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】根据余弦定理：，即，解得或，
，故或.
故选：AB
12．设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．面积的最大值为
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，，
所以满足条件的三角形有2个，故A错误；
对于B，由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
即，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长，
所以周长的最大值为，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，，
即，，所以，故D正确．
故选：BCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】已知向量，，若，则有，
∴.
故答案为：.
14．在中，a，b分别为内角A，B所对的边，b=5，B=30°，若有两解，则a的取值范围为 .
【答案】.
【解析】如图所示，
因为△ABC有两解，
所以，
又因为，
所以，解得：.
即：a的取值范围为.
故答案为：.
15．在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则 .
【答案】或
【解析】由三角形的面积公式可得，则，
因为，则或.
当时，由余弦定理可得；
当时，由余弦定理可得.
综上所述，或.
故答案为：或.
16．在边长为的正方形中，是中点，则 ；若点在线段上运动，则的最小值是 .
【答案】
【解析】
根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
因为正方形的边长为，且是中点，
则，
则，
所以；
设，其中，
则，则，
所以，，
则，，
其中，，
当时，有最小值为.
所以的最小值是.
故答案为：30；
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
向量，如图所示，求：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由题图知，，，
所以，，，
所以．
（2）结合（1）可得，，
所以．
18．（12分）
的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足．
(1)求角C；
(2)若，求c的值．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，所以．
（2）由正弦定理，得，
因为，所以，则，
所以．
19．（12分）
在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.

(1)求、的长；
(2)求的余弦值.
【解析】（1）因为的中点，则，
所以，，
所以，
，
所以，，
因为为的中点，所以，，
则
，故.
（2）因为
，
所以，.
20．（12分）
在中，分别为内角的对边，且．
(1)求角A的大小；
(2)设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值．
【解析】（1）由及正弦定理得：
，即．
由余弦定理得，
又，所以．
（2）由角的内角平分线交于点可知，
，
所以．
21．（12分）
如图，在中，是边上的中线．
(1)取的中点，试用和表示；
(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
【解析】（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，
所以．
（2）由，，，
得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
22．（12分）
已知中，点是线段上一点，，且①，②，③，④.
(1)求的长；
(2)为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围.
上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.
你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.
【解析】（1）删除条件①：设，，则.
在中，，
即，
同理在中，，
即，联立，可得，．
即，，故；
删除条件④：设，则，在中，
，
同理在中，，
因为，所以，即，
解得：，所以；
删除条件②：在中，，
所以，解得或，不唯一，不符合题意；
删除条件③：在中，，
即，解得或，不唯一，不符合题意.
（2）若删去①：由（1）知，设，因为，则.
在中，由正弦定理知,则，，
所以的周长
，
因为为锐角三角形，则，
所以，又，所以当时，在边上，
所以，因为在为单调增函数，则，
所以.所以周长的取值范围为.
若删去④：由（1）知，则在中，由余弦定理得
，因为，则，
设，则.
在中，由正弦定理知,则，，
所以的周长
，
因为为锐角三角形，则，
所以，又，所以当时，在边上，
所以，因为在为单调增函数，则，
所以.所以周长的取值范围为.