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【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题04+平面向量的应用+（十大考点）-练习
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这是一份【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题04+平面向量的应用+（十大考点）-练习，文件包含寒假作业高中数学高一寒假巩固提升训练专题04平面向量的应用十大考点原卷版docx、寒假作业高中数学高一寒假巩固提升训练专题04平面向量的应用十大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
思维导图
核心考点聚焦
考点一：向量在平面几何中的应用
考点二：向量在解析几何中的应用
考点三：向量在物理学的应用
考点四：余弦定理的应用
考点五：正弦定理的应用
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
考点七：正余弦定理举例应用
考点八：面积与周长问题
考点九：解三角形范围与最值问题
考点十：三角形多解问题
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
知识点四、余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
知识点五、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
知识点六、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
知识点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
= 1 \* GB3 ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
= 2 \* GB3 ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．
知识点七、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．
1、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
2、利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
一解 一解
两解 无解
② 若A为直角或钝角时：
3、三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
4、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
5、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
考点剖析
考点一：向量在平面几何中的应用
例1．（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
例2．（2024·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
例3．（2024·河南信阳·高一校联考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
变式1．（2024·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．
考点二：向量在解析几何中的应用
例4．（2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点
(1)若，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
例5．（2024·辽宁沈阳·高一校联考）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
例6．（2024·高一课前预习）梯形中，，，，，点在线段上运动.
(1)当点是线段的中点时，求；
(2)求的最大值.
变式2．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.
变式3．（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
变式4．（2024·陕西商洛·高一校考）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求点B，C的坐标；
(2)判断四边形的形状，并求出其周长．
考点三：向量在物理学的应用
例7．（2024·全国·高一随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．NB．5NC．10ND．N
例8．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
例9．（2024·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．km/hB．km/h
C．km/hD．km/h
变式5．（2024·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2024·山东菏泽·高一统考）一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（ ）
A．5B．10C．8D．
考点四：余弦定理的应用
例10．（2024·内蒙古包头·高一包头市第四中学校考阶段练习）在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于( )
A．B．C．D．
例11．（2024·新疆·高二学业考试）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
例12．（2024·河南驻马店·高一校联考）在中，若，则角的值是（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2024·辽宁丹东·高一统考期末）已知中，角的对边分别为，，则角 ．
变式8．（2024·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则C＝
考点五：正弦定理的应用
例13．（2024·江苏淮安·高一校联考）在中，若，则 .
例14．（2024·高二课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则= .
例15．（2024·河南郑州·高一校联考）在中，角的对边分别为，若，则角的值为 ．
变式9．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）的内角，，所对的边分别为，且，，，则的值为 .
变式10．（2024·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则 ．
变式11．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc＝20，△ABC的面积为5，且其外接圆的半径为4，则a＝ ．
变式12．（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ．
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
例16．（2024·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
例17．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．三边比为1：2：3的三角形
例18．（2024·高一校考单元测试）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
变式13．（2024·福建福州·高一校联考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
变式14．（2024·安徽芜湖·高一统考期末）已知的三个角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
考点七：正余弦定理举例应用
例19．（2024·陕西铜川·高二校考期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2024·山东烟台·高三统考）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
例21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
变式15．（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺､文殊寺､大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图：记慈寿塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得.，，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（ ）
A．36mB．C．45mD．
变式16．（2024·河北邯郸·高一统考）老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（ ）
A．60sB．80sC．100sD．120s
变式17．（2024·福建龙岩·高一校联考）如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
考点八：面积与周长问题
例22．（2024·河南开封·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
例23．（2024·广东揭阳·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面积为，求b.
例24．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，请你再从条件①；②；③中任意选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求a的值；
(2)求的面积.
变式18．（2024·北京·高一东直门中学校考）在中，.
(1)求A；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分.
变式19．（2024·广西南宁·高一南宁三中校考）在中，内角、、所对的边分别是，，，且．
(1)求；
(2)已知，，求的面积.
考点九：解三角形范围与最值问题
例25．（2024·四川乐山·高一期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______．
(1)求角；
(2)求面积的取值范围．
在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例26．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
例27．（2024·浙江温州·高二校联考期末）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
变式20．（2024·湖南·高一校联考阶段练习）内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
变式21．（2024·山西运城·高三河津中学校考阶段练习）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C；
（2）若，求的最大值.
变式22．（2024·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
变式23．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周长的取值范围.
考点十：三角形多解问题
例28．（2024·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例29．（2024·浙江台州·高一温岭中学校考期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．当时，B．当时，有两个解
C．当时，只有一个解D．对一切，都有解
例30．（2024·江苏盐城·高一校联考）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式24．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式25．（2024·北京·高一北京市陈经纶中学校考）已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
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一、单选题
1．（2024·河南郑州·高一郑州中学校考期末）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏银川·高二校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·统考二模）在中，已知，，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东·统考一模）已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西九江·高二江西省都昌县第一中学校考开学考试）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A．45米B．50米C．55米D．60米
6．（2024·山东枣庄·高二阶段练习）在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．3D．
7．（2024·甘肃陇南·高二校考期末）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2024·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．2B．C．D．3
二、多选题
9．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
11．（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．B．C．3D．
12．（2024·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（ ）
A．面积的最大值为
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．
三、填空题
13．（2024·新疆·高二学业考试）在中，已知，，，则 .
14．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为 三角形.
15．（2024·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
16．（2024·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）在中，，点D在线段上，且满足，，则等于 .
四、解答题
17．（2024·云南·高二校联考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，是的中点，求.
18．（2024·云南保山·高一校考）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
19．（2024·北京·高三北京市第三十五中学校考）在中，AD为BC边上的中线，，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并完成下面问题．条件①：；条件②：条件③：的面积为2．
(1)求AD的长；
(2)求AB的长．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（2024·河北保定·高一校联考）已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
21．（2024·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
22．（2024·江西·高一统考）已知内角，，的对边长分别为，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
思维导图
核心考点聚焦
考点一：向量在平面几何中的应用
考点二：向量在解析几何中的应用
考点三：向量在物理学的应用
考点四：余弦定理的应用
考点五：正弦定理的应用
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
考点七：正余弦定理举例应用
考点八：面积与周长问题
考点九：解三角形范围与最值问题
考点十：三角形多解问题
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
知识点四、余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
知识点五、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
知识点六、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
知识点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
= 1 \* GB3 ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
= 2 \* GB3 ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．
知识点七、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．
1、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
2、利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
一解 一解
两解 无解
② 若A为直角或钝角时：
3、三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
4、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
5、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
考点剖析
考点一：向量在平面几何中的应用
例1．（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
例2．（2024·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
例3．（2024·河南信阳·高一校联考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
变式1．（2024·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．
考点二：向量在解析几何中的应用
例4．（2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点
(1)若，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
例5．（2024·辽宁沈阳·高一校联考）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
例6．（2024·高一课前预习）梯形中，，，，，点在线段上运动.
(1)当点是线段的中点时，求；
(2)求的最大值.
变式2．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.
变式3．（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
变式4．（2024·陕西商洛·高一校考）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求点B，C的坐标；
(2)判断四边形的形状，并求出其周长．
考点三：向量在物理学的应用
例7．（2024·全国·高一随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．NB．5NC．10ND．N
例8．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
例9．（2024·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．km/hB．km/h
C．km/hD．km/h
变式5．（2024·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2024·山东菏泽·高一统考）一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（ ）
A．5B．10C．8D．
考点四：余弦定理的应用
例10．（2024·内蒙古包头·高一包头市第四中学校考阶段练习）在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于( )
A．B．C．D．
例11．（2024·新疆·高二学业考试）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
例12．（2024·河南驻马店·高一校联考）在中，若，则角的值是（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2024·辽宁丹东·高一统考期末）已知中，角的对边分别为，，则角 ．
变式8．（2024·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则C＝
考点五：正弦定理的应用
例13．（2024·江苏淮安·高一校联考）在中，若，则 .
例14．（2024·高二课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则= .
例15．（2024·河南郑州·高一校联考）在中，角的对边分别为，若，则角的值为 ．
变式9．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）的内角，，所对的边分别为，且，，，则的值为 .
变式10．（2024·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则 ．
变式11．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc＝20，△ABC的面积为5，且其外接圆的半径为4，则a＝ ．
变式12．（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ．
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
例16．（2024·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
例17．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．三边比为1：2：3的三角形
例18．（2024·高一校考单元测试）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
变式13．（2024·福建福州·高一校联考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
变式14．（2024·安徽芜湖·高一统考期末）已知的三个角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
考点七：正余弦定理举例应用
例19．（2024·陕西铜川·高二校考期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2024·山东烟台·高三统考）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
例21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
变式15．（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺､文殊寺､大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图：记慈寿塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得.，，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（ ）
A．36mB．C．45mD．
变式16．（2024·河北邯郸·高一统考）老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（ ）
A．60sB．80sC．100sD．120s
变式17．（2024·福建龙岩·高一校联考）如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
考点八：面积与周长问题
例22．（2024·河南开封·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
例23．（2024·广东揭阳·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面积为，求b.
例24．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，请你再从条件①；②；③中任意选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求a的值；
(2)求的面积.
变式18．（2024·北京·高一东直门中学校考）在中，.
(1)求A；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分.
变式19．（2024·广西南宁·高一南宁三中校考）在中，内角、、所对的边分别是，，，且．
(1)求；
(2)已知，，求的面积.
考点九：解三角形范围与最值问题
例25．（2024·四川乐山·高一期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______．
(1)求角；
(2)求面积的取值范围．
在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例26．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
例27．（2024·浙江温州·高二校联考期末）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
变式20．（2024·湖南·高一校联考阶段练习）内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
变式21．（2024·山西运城·高三河津中学校考阶段练习）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C；
（2）若，求的最大值.
变式22．（2024·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
变式23．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周长的取值范围.
考点十：三角形多解问题
例28．（2024·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例29．（2024·浙江台州·高一温岭中学校考期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．当时，B．当时，有两个解
C．当时，只有一个解D．对一切，都有解
例30．（2024·江苏盐城·高一校联考）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式24．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式25．（2024·北京·高一北京市陈经纶中学校考）已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
过关检测
一、单选题
1．（2024·河南郑州·高一郑州中学校考期末）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏银川·高二校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·统考二模）在中，已知，，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东·统考一模）已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西九江·高二江西省都昌县第一中学校考开学考试）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A．45米B．50米C．55米D．60米
6．（2024·山东枣庄·高二阶段练习）在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．3D．
7．（2024·甘肃陇南·高二校考期末）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2024·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．2B．C．D．3
二、多选题
9．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
11．（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．B．C．3D．
12．（2024·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（ ）
A．面积的最大值为
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．
三、填空题
13．（2024·新疆·高二学业考试）在中，已知，，，则 .
14．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为 三角形.
15．（2024·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
16．（2024·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）在中，，点D在线段上，且满足，，则等于 .
四、解答题
17．（2024·云南·高二校联考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，是的中点，求.
18．（2024·云南保山·高一校考）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
19．（2024·北京·高三北京市第三十五中学校考）在中，AD为BC边上的中线，，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并完成下面问题．条件①：；条件②：条件③：的面积为2．
(1)求AD的长；
(2)求AB的长．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（2024·河北保定·高一校联考）已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
21．（2024·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
22．（2024·江西·高一统考）已知内角，，的对边长分别为，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
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