专题2.4 解含参数的一元二次不等式（强化训练）-高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版必修第一册）

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题型一按项的系数的符号分类
1．（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）原不等式化为，对分类讨论求解即可；
（2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得，代入所求不等式化简求解即可.
【详解】（1）原不等式化为，
当时，可得，解得，
当时，的根为且，解得或，
当时，可得，解得；
当时，的根为且，解得或；
当时，由解得，故不等式解集为.
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）由题意得，且，解得，
不等式可化为，
即，解得或，
故不等式解集为.
2．不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论，
结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.
【详解】由不等式的解集为等价于恒成立，
当时，成立，符合条件；
当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合；
当时，只需让，解得，
综上所述，a的取值范围为，
故答案为：
3．（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】CD
【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可.
【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，
当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.
当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；
所以，，，所以
所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合，
则由不等式的解集中恰有3个正整数，
则这3个整数中一定为：，
则，解得
故可取和2，故C,D正确，AB错误；
故选：CD.
4．解关于x的不等式: .
【答案】答案见解析
【分析】对，，进行分类讨论进而解方程即可.
【详解】①当时，不等式化为，解得，
此时不等式的解集为;
②当时，原不等式化为，
解得不等式的解集为:；
③当时，原不等式化为: ，
解得不等式的解集为:.
综上所述，当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为
5．已知函数.
(1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）讨论和，结合二次函数性质解不等式即可得出答案；
（2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集.
【详解】（1），恒成立，
当时，成立，
当时，则，即，即
综上所述.
（2）
当时，，则
当时，令，则，或，此时，∴或
当时，即时，
当，即时，
当时，即时，
综上所述:当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，；
当时，解集为
6．已知关于的不等式.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值
(2)当时，解上述关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由为方程的根，结合韦达定理得出的值；
（2）分类讨论的值，由一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）因为不等式的解集为，所以为方程的根，
即，
（2）若，关于的不等式，
当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得，由解不等式可得，
当时，化简不等式可得，解不等式可得或，
综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为或.
7．已知．
(1)当时，求不等式的解集．
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，根据一元二次不等式的解法求出答案；
（2）分类讨论，根据含参一元二次不等式的解法得出答案.
【详解】（1）当时，，开口向下，
即，
解得：或，
的解集为．
（2）当时，不等式为，得；
当时，令，得，．
当时，则，对应二次函数开口向下，时，或；
当时，则，对应二次函数开口向下，时，；
当时，，，则无解；
当时，则，对应二次函数开口向下，时，．
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
当 时，解集为．
题型二按判别式的符号分类
8．解决下列问题：
(1)求解关于的不等式：；
(2)设集合，若集合中有3个元素，求的范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）讨论判别式可解不等式；
（2）由（1）可知时满足题意，又集合中有3个元素，可得.
【详解】（1）注意到.
①当，即时，此时不等式解集为空集；
②，即时，此时不等式解集为；
③，即时，此时不等式对应方程的解为：
，又，
则不等式解集为：.
综上，当时，解集为；时，解集为；时，解集为.
（2）由（1）可知，时满足题意，又注意到，
结合中有3个元素，则，
得.
故的范围是.
9．解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】分别在、、、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集.
【详解】当时，不等式为，解得：，则不等式解集为；
当时，；
①当时，且；
令，解得：，；
若，则，的解为，
即不等式的解集为；
若，则，的解为或，
即不等式的解集为；
②当，即时，不等式为，解得：，
即不等式的解集为；
③当，即时，恒成立，即不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
10．已知.
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)求解上述不等式：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）①当时，原不等式即：，符合题意；
②当时，不等式恒成立，必有：
且，解得：，
综上：实数的取值范围为：；
（2），
当时，，由可得：
，或；
当时，，由可得：；
当时，由（1）知：不等式的解为；
当时，，由可得：
，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 ，
11．已知，解关于的不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，分，，，，五种情况讨论求解即可；
（2）根据判别式的符号，分，，三种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，由，得，
由，得，或
当时，，则由，得，
当时，，由，得或，
当时，由，得，
当时，，由，得或，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
（2），
当时，，
方程的两个根分别为或，
则由，得，
当时，，原不等式化为，得，
当时，，不等式无解，
综上， 当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
题型三按方程的根的大小来分类
12．解关于x的不等式，其中.
【答案】答案见解析.
【分析】对进行分类讨论，求出解集，讨论的标准为当不等式是一元一次不等式时，当不等式是一元二次不等式时，再通过开口方向，根的判别式的大小，进行讨论求出答案.
【详解】当时，，解得：，
当时，
①当即时，解集为，
②当即时，此时不等式为，解集为；
③当，即时，解集为；
当时，
④当，即时，解集为R，
⑤当，即时，解集为或；
综上：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为R，
当时，解集为或.
13．解下列关于的不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）分、、、、五种情况讨论求解；
（2）分、、、四种情况讨论求解.
（1）
当时，原不等式的解
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
（2）
当时，不等式为，其解集为，
当时，，
所以当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
综上：时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
14．已知关于x的不等式．
(1)当时，解上述不等式；
(2)当时，解上述关于x的不等式．
【答案】(1)不等式解集为：；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由，，解不等式即可；
（2），讨论与1的大小即可.
【详解】（1）当时，.
.
则不等式解集为：.
（2）注意到，
①当时，不等式解集为：；
②当时，不等式解集为空集；
③当时，不等式解集为：.
15．解关于x的不等式，．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【分析】将不等式化为，分，和，求出不等式的解集即可.
【详解】由得，．
因为，
所以①当，即时，不等式的解集为：；
②当，即时，，不等式无解；
③当时，即时，不等式的解集为：．
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
16．解关于x的不等式
【答案】答案见解析.
【分析】对参数分类讨论，结合一元二次不等式的求解，讨论每种情况下不等式解集即可.
【详解】当时，原不等式等价于，解得，
故不等式解集为；
当时，原不等式等价于，
其对应二次方程的两根为，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为.
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
17．（1）求不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集，其中.
【答案】（1）或；（2）见解析
【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式，解不等式即可；
（2）分类讨论的范围解不等式即可.
【详解】（1）可化为，即，解得或，所以不等式的解集为或.
（2）当时，不等式的解集为，
当时，不等式可化为，不等式的解集为，
当时，不等式可化为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为或，
当即时，不等式的解集为或.
18．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)已知，，当时，证明：，并指出取等号条件．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）先解出的两个根，对根的大小分类讨论，再结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）根据“1”的代换，结合基本不等式的解法，即可证明．然后列出等号成立的条件，求解即可.
【详解】（1）由已知，
解可得或.
当时，即时，不等式的解集为；
当时，即时，不等式的解集为或；
当时，即时，不等式的解集为或.
综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.
（2）因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
19．解关于x的不等式
(1)
(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】（1）方程，即，
方程的解为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）方程，即，
方程的解为，
因为，
所以，
所以不等式的解集为.
20．已知一元二次函数，．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解二次不等式即可；
（2）变形得，分，，讨论，通过确定的大小来解二次不等式.
【详解】（1）由已知得，
解得或.
实数a的取值范围；
（2），
令，得，
当，即时，的解集为，
当，即时，的解集为，
当，即时，的解集为，
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
题型四多种分类综合
21．求解不等式
【答案】答案见解析
【分析】将不等式左边因式分解可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】解：因为，
所以，
当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为，
当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为；
当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为；
当时，原不等式即，解得或，
所以不等式的解集为或；
当时，原不等式即，解得或，
所以不等式的解集为或；
综上可得：当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为或，
当时不等式的解集为或；
22．解关于x的不等式：.
【答案】答案见详解
【分析】对进行分类讨论，结合二次不等式和一次不等式的解法，可得答案．
【详解】当时，不等式的解集为；
当时，分解因式，
当时，原不等式整理得：，即，
不等式的解集为或；
当时，原不等式整理得：，即，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
23．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；
（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和的大小，分情况写出不等式的解集．
【详解】（1）由题意，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，
即，解得；
故实数的取值范围是．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：时，等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
24．已知，解关于的不等式．
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答即可.
【详解】当时，不等式为，解得；
当时，不等式化为，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，
若，不等式为，解得；
若，解得或；
，解得或.
综上所述，当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是或；
当时，原不等式的解集是或．
25．若，解关于的不等式：
【答案】见解析
【分析】讨论、时，不等式的解集情况；当时解二次不等式，要讨论开口方向及两根的大小关系，求出不等式的解集即可.
【详解】(1)当时，原不等式为；
(2)当时，原不等式为；
①当时，解得
②当时，解得；
③当时，解得；
④当时，解得，或；
综上，①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为；
④当时，不等式的解集为；
⑤当时，不等式的解集为或.
26．（1）不等式，对任意实数x都成立，求m的取值范围；
（2）求关于x的不等式的解集．
【答案】（1），（2）见解析，
【分析】（1）由题意列不等式求解，
（2）分类讨论求解，
【详解】（1）当时，不等式恒成立，满足题意，
当时，由题意得，解得，
综上，的取值范围是，
（2）①当时，原不等式的解集为，
当时，不等式可化为，
②当时，，原不等式的解集为，
③当时，原不等式的解集为，
④当时，，原不等式的解集为，
⑤当时，，原不等式的解集为．
题型一
按项的系数的符号分类
题型二
按判别式的符号分类
题型三
按方程的根的大小来分类
题型四
多种分类综合