专题1.2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（八个重难点突破）-高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版必修第一册）

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知识点1 命题及相关概念
知识点2 充分条件与必要条件
注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式．
（2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”．
知识点3 充要条件
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．
如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件．
注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若，则称是的充分条件，是的必要条件．
②若，则是的充要条件．
③若，且，则称是的充分不必要条件．
④若，且，则称是的必要不充分条件．
⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件．
（2）“”的传递性
若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件．
重难点1充分、必要条件的判定
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分别化简 “”和“”，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】由，可得；由，可得；
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．已知a为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解绝对值不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即或，解得或，
所以由“” 可以推出“”，故充分性成立，
由“”不能推出“”，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．设则“”是“”成立的 （ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】首先分别解出不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由，解得，
由，解得，
因为真包含于，所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：C
4．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，那么是的______条件．
【答案】必要不充分
【分析】根据充分条件、必要条件的定义可得出结论.
【详解】由已知可得，但，故是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
5．已知，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】当时，，所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以是成立的充要条件，
故选：C
6．在下列命题中，试判断是的什么条件.
（1），；
（2），；
（3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形.
【答案】（1）充要条件；（2）充分不必要条件；（3）既不充分也不必要条件.
【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论；
（2）利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论；
（3）利用平行四边形的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】（1）因为“”是真命题，“”也是真命题，
所以是的充要条件；
（2）因为“ ”是真命题，“”是假命题，
所以是的充分不必要条件；
（3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，
“四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假命题，
所以是的既不充分也不必要条件.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
重难点2根据充分、必要条件确定参数的取值范围
7．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为________．
【答案】
【分析】令或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值.
【详解】令或，，
若“或”是“”的必要不充分条件，
则集合是的真子集，
所以，
所以实数的最大值为，
故答案为：.
8．设命题p：；命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】.
【分析】先根据充分不必要条件判断集合的包含关系，再利用包含关系列式计算即可.
【详解】解 设A＝，B＝，
由p是q的充分不必要条件，可知，
∴，且等号不同时成立.，解得，
故所求实数a的取值范围是．
9．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个补充到下面的横线上并解答.
已知集合，，是否存在实数使得“”是“”的___________条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】选①，；选②，；选③，.
【分析】选①：根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；
选②：根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；
选③：根据已知条件可得出关于实数的等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】若选择①，即“”是“”的充分不必要条件，则且，
所以，，解得，
当时，，成立，
因此，实数的取值范围是；
若选择②，即“”是“”的必要不充分条件，则且，
则，解得；
若选择③，即“”是“”的充要条件，则，即，无解，
故不存在实数，使得“”是“”的充要条件.
10．已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在
(2)
【分析】（1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数.
（2）要使是的必要条件，则，根据集合关系可求得实数的范围.
【详解】（1）要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
11．（多选）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，,然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】CD
【分析】由题意知“”为正数，由B是A成立的必要不充分条件，则A真包含于B；由C是A成立的充分不必要条件，则C真包含于A；再根据此数为小于5的正整数，以上三个描述同时成立推导得的数值，即可得到选项.
【详解】由题意知“”为正数，则,，，
由B是A成立的必要不充分条件，则A真包含于B，故
由C是A成立的充分不必要条件，则C真包含于A，故，得出