2023-2024学年河南省南阳市唐河第一高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市唐河第一高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|(x+1)(x−12)≤0}，B={x|x>6}，则A∩B=( )
A. (6,12)B. [12,+∞)C. (6,12]D. [−1,+∞)
2.使“12x>1”成立的一个充分不必要条件是(( )
A. x>0B. xa>cD. b>c>a
8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：对∀x1、x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，且f(2)=4，则不等式f(x)x>2的解集为( )
A. (4,+∞)B. (0,4)C. (0,2)D. (2,+∞)
9.已知正数x，y，z满足3x=5y=15z，则下列说法中正确的是( )
A. x+y>(12+ 2)zB. 3x>5y>15z
C. 1x+12y=1zD. xy>4z2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知x，y∈R，且x>y>0，则下列说法错误的是( )
A. 1x−1y>0B. sinx−siny>0C. (12)x−(12)yylny
11.已知函数f(x)=csx−sinx，则( )
A. 函数f(x)的值域为[− 2, 2]
B. 点(π4,0)是函数f(x)的一个对称中心
C. 函数f(x)在区间[π4,5π4]上是减函数
D. 若函数f(x)在区间[−a,a]上是减函数，则a的最大值为π4
12.数学上，高斯符号(Gauss mark)是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.比如：
[1]=1，[0]=0，[−1]=−1，[−1.2]=−2，[1.3]=1…，已知函数f(x)=[x]x(x>0)，则下列说法不正确的是( )
A. f(x)的值域为[0,1)B. f(x)在(1,+∞)为减函数
C. 方程f(x)=12无实根D. 方程f(x)=712仅有一个实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α的终边上一点(1,m)，且sinα= 63，则m= ______．
14.已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为______．
15.函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是R，则a的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=|lg2(x−1)|,x>1,(x+1)2,x≤1,若关于x的方程f(x)=m有4个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)+1(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(π6)的值及函数f(x)单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最值．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|a−10且f(b−2)+f(2b−2)>0，求实数b的取值范围．
20.(本小题12分)
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时(图中点P)开始计算时间．
(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h(单位：m在水面下，h为负数)表示为时间t(单位：s)的函数，并求t=13时，点P到水面的距离；
(2)在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
21.(本小题12分)
2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产x(10000x∈N)万件产品，还需另外投入原料费及其他费用f(x)万元，且f(x)=12x2,00，则00，f(2)=−0.90，f(2)=−0.9−1且m≠0．
∵x1+x2=m+2m，x1x2=14，
∴1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=m+2m14=4(m+2)m=4m，
∴m=2或−1，
∵m>−1，∴m=2．
故选：A．
由根与系数的关系，可得x1+x2=m+2m，x1x2=14，又由1x1+1x2=4m，即可求得m的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba，x1x2=ca的应用．
6.【答案】C
【解析】解：设第n年获利y元，则y=20×1.2n，n是正整数，2022年是第一年，
所以20×1.2n>60，解得n>lg1.23=lg3lg1.2=lg3lg3+2lg2−1≈+2×0.3010−1≈6.03，
所以n≥7，即从2028年开始这家加工厂年获利超过60万元．
故选：C．
根据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可．
本题考查了函数在实际问题中的运用，也考查了转化思想和运算能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为32>23，
所以lg232>lg223，即2lg23>3，
所以b=lg23>32，
因为520，
g(x1)−g(x2)=f(x1)x1−f(x2)x2=x2f(x1)−x1f(x2)x1x2，
对∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1x2>0恒成立，
所以x2f(x1)−x1f(x2)>0，
所以g(x1)−g(x2)=f(x1)x1−f(x2)x2=x2f(x1)−x1f(x2)x1x2>0，
所以函数g(x)在区间(0,+∞)上为增函数，
f(2)=4，则g(2)=f(2)2=2，
不等式式f(x)x>2等价为g(x)>g(2)，
所以x>2，
所以不等式f(x)>2x的解集为(2,+∞)，
故选：D．
设g(x)=f(x)x，用单调性的定义分析g(x)的单调性，可得函数g(x)在区间(0,+∞)上为增函数，由f(2)=4，得g(2)=f(2)2=2，不等式式f(x)x>2等价为g(x)>g(2)，结合单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】解：设3x=5y=15z=m>0，
则x=lg3m，y=lg5m，z=lg15m，
A：因为x+yz=xz+yz=lg3mlg15m+lg5mlg15m=lg15lg3+lg15lg5=2+(lg5lg3+lg3lg5)>2+2 lg5lg3⋅lg3lg5=2+2=4>12+ 2，故A错误，
B：因为5x=5lgm3=lgm243，3y=3lgm5=lgm125，所以5x>3y，即3x2+2 lg3lg5⋅lg5lg3=4，即xy>4z2，故D正确，
故选：D．
根据指数与对数的互化求出x，y，z，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解．
本题考查了对数值的比较大小，涉及到基本不等式的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A选项，1x−1y=y−xxy