2024北京海淀初二上期末数学试卷和答案

这是一份2024北京海淀初二上期末数学试卷和答案，共10页。试卷主要包含了01，000 79 kg，将 0，9 104， x  1 ；10， 2a  3 ；13， 20 ；16， 1  6a等内容，欢迎下载使用。
学校 班级 姓名
本试卷共 8 页，共三道大题，26 道小题。满分 100 分。考试时间 90 分钟。
在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名。
答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答。
考试结束，请将本试卷交回。
考生须知
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观.下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是
B．C．D．
杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1 cm3 甲醇的质量约为 0.000 79 kg，将 0.000 79 用科学记数法表示应为
79 104
下列运算正确的是
B． 7.9 104
C． 79 105
D． 0.79 103
A. a2  a3  a5
B. (a2 )3  a5
C. (2a)3  2a3
D. a9  a3  a3
如图，点 E，C，F，B 在一条直线上，AB∥ED，∠A=∠D，添加下列条件不．能．判定△ABC≌△DEF 的是
AC∥DFB. AB=DE
C. EC=BFD. AC=DF
若正多边形的一个外角是 72°，则该正多边形的边数为
A. 4B. 5C. 6D. 7
如图是折叠凳及其侧面示意图. 若 AC=BC=18 cm，则折叠凳的宽 AB 可能为
A．70 cmB．55 cm
C．40 cmD．25 cm
下列各式从左到右变形正确的是
 y  y
xx
x  1  1
x  33
x  2 1
x2  4x  2
xy2

x2 y1
如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，P 是△ABC 内一点，点 D,E,F 分别是点 P 关于直线 AC,AB,BC 的对称点，给出下面三个结论：
① AE=AD；
② ∠DPE=90°；
③ ∠ADC+∠BFC+∠BEA=270°.
上述结论中，所有正确结论的序号是 A.①②B.①③C.②③D. ①②③二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
若代数式 3
x 1
有意义，则实数 x 的取值范围是.
分解因式： a3  ab2  .
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（-1，-1）关于 x 轴的对称点 A ' 的坐标为.
计算： (6a3  9a2 )  3a2  .
已知等腰三角形的一个内角为 40°，则它的顶角度数为°．
如图，在△ABC 中，DE 是 BC 边的垂直平分线. 若 AB=8，AC=13，则
△ABD 的周长为.
把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示.若
∠BAC=35°，则∠CBD=°.
请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：乐数
我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”.
分子和分母均为正整数；
分子小于分母；
分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等.
例如： 16 去掉相同的数字 6 之后，得到的分数 1 恰好与原来的分数相等，则 16 是一个“乐数”.
64
（1）判断： 13
39
464
（填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为 9 的“乐数”.
三、解答题（本题共 60 分，第 17 题 5 分，第 18 题 10 分，第 19-23 题每题 5 分，第 24 题 6 分，第 25、26
题每题 7 分）
 1 1
计算： (3)2  (  2024)0   
 2 
+ 2 ．
18.（1）已知 x2  2x  2  0 ，求代数式 x(x  2)  (x  3)2 的值．
（2）计算：  1 
1  2x.
 x 1x  1 x2  2x  1

小明用自制工具测量花瓶内底的宽.他将两根木条 AC，BD 的中点连在一起（即 AO=CO,BO=DO），如图所示放入花瓶内底. 此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论.
1
如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°.在线段 AC 上求作一点 D，使得 CD= 2 AD.
小明发现作∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，点 D 即为所求.
使用直尺和圆规，依小明的思路作出点 D（保留作图痕迹）；
完成下面的证明.
证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝°.
∵BD 平分∠ABC，
1
∴∠ABD＝∠CBD＝ 2 ∠ABC＝30°.
∴∠ABD＝∠A.
∴AD=.
在 Rt△BCD 中，∠CBD =30°，
1
∴CD= 2 BD ()(填推理依据).
1
∴CD= 2 AD.
如图所示的 4×4 网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形. 如图
1，△ABC 为格点三角形.
（1）∠ABC=°;
（2）在图 2 和图 3 中分别画出一个以点C1 , C2 为顶点，与△ABC 全等，且位置互不相同的格点三角形.
列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用 1 辆无人配送 车平均每天配送的包裹数量是 1 名快递员平均每天配送包裹数量的 5 倍.要配送 6 000 件包裹，使用 1 辆无人配送车所需时间比 4 名快递员同时配送所需时间少 2 天，求 1 名快递员平均每天可配送包裹多少件？
如图，四边形 ABCD 中，AB=AC，∠D=90°，BE⊥AC 于点 F，交 CD 于点 E，连接 EA，EA 平分∠DEF.
求证：AF=AD；
若 BF=7, DE=3，求 CE 的长.
小明设计了一个净水装置，将杂质含量为 n 的水用 m 单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为
n
1  m . 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为 1 的水.
用 2 单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；
小明共准备了 6a 单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案 A 是将 6a 单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案 B 和方案 C 均为将 6a 单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤. 三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
1
1  6a
1
1
(1  5a)(1  a)
2a
4a
C
1  5a
a
5a
B
6a
A
第二次过滤后水中杂质含量
第二次过滤
用净水材料的单位量
第一次过滤后水中杂质含量
第一次过滤
用净水材料的单位量
方案编号
① 请将表格中方案 C 的数据填写完整；
② 通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
当净水材料总量为 6a 单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为（用含 a 的式子表示）.
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=BC，作直线 AP，使得 45°＜∠PAC＜90°.过点 B 作 BD⊥AP 于
D，在 DA 的延长线上取点 E，使 DE=BD. 连接 BE，CE.
依题意补全图形；
若∠ABD=α，求∠CBE（用含 α 的式子表示）；
用等式表示线段 AE，CE，DE 之间的数量关系，并证明.
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过原点且经过第三、第一象限，l 与 x 轴所夹锐角为 n°. 对于点 P 和 x轴上的两点 M，N，给出如下定义：记点 P 关于直线 l 的对称点为 Q，若点 Q 的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点 P 为 M，N 的 n°点.
（1）如图 1，若点 M（2，0），N（4，0），点 P 为 M，N 的 45°点，连接 OP，OQ.
①∠POQ=°；
②求点 P 的纵坐标；
（2）已知点 M（m，0），N（m+t，0）.
①当 t=2 时，点 P 为 M，N 的 60°点，且点 P 的横坐标为-2，则 m=；
②当 m=-2 时，点 P 为 M，N 的 30°点，且点 P 的横坐标为 2，则 t=.
一、选择题 （共 24 分，每小题 3 分）
参考答案
二、填空题（共 16 分，每小题 2 分）
9. x  1 ；10. a(a  b)(a  b) ；11. (1,1) ；
12. 2a  3 ；13. 40 或100 ；14. 21；
15. 20 ；16.（1）不是；（2） 19 （答案不唯一）.
95
三、解答题（本题共 60 分，第 17 题 5 分，第 18 题 10 分，第 19-23 题每题 5 分，第 24 题 6 分，第 25、26
题每题 7 分）
17．（本题满分 5 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
A
B
D
C
A
解：原式= 9  1  2  2
…4 分
=12 .5 分
18．（1）（本题满分 5 分）
解：原式= x2  2x  x2  6x  9
…2 分
= 2x2  4x  9 .3 分
∵ x2  2x  2  0 ，
∴ x2  2x  2 .4 分
∴ 2x2  4x  4 .
∴原式= 4  9  13 .5 分
（2）（本题满分 5 分）
x  1x 1  (x 1)2

解：原式= (x 1)(x  1)(x 1)(x  1) 
…3 分
2x
=2x
 (x 1)2
…4 分
(x 1)(x  1)2x
= x 15 分
x  1
19．（本题满分 5 分）
解：C, D ;1 分
O
理由如下：
连接CD .
在△ COD 和△ AOB 中，
D C
AB
OC  OA,

COD  AOB,

OD  OB,
∴△ COD ≌△ AOB （SAS）4 分
∴ CD  AB .
∴点C 与点 D 的距离为该花瓶内底的宽.5 分
20．（本题满分 5 分）解：（1）
C
D
A
B
…2 分
∴点 D 即为所求.
（2） 60 ；3 分
BD ；4 分
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
…5 分
21．（本题满分 5 分）
解：（1）90；2 分
（2）答案不唯一.
…5 分
22．（本题满分 5 分）
解：设 1 名快递员平均每天配送包裹 x 件.1 分
依题意，得 6000  2  6000 .3 分
5x4x
解得x  150 .4 分
经检验， x  150 是原分式方程的解且符合题意．
答：1 名快递员平均每天可配送包裹150 件．5 分
23．（本题满分 5 分）
（1）证明：∵∠D=90°,
A
E
F
∴AD⊥ED.
D
∵BE⊥AC 于点 F, EA 平分∠DEF，
∴AF=AD2 分
（2）解：∵BE⊥AC 于点 F,
BC
∴∠AFB=90°.
在 Rt△AFB 和 Rt△ADC 中，
 AB  AC,

 AF  AD,
∴△AFB≌△ADC（HL）.3 分
∴BF=CD.
∵BF=7，
∴CD =74 分
∵DE=3,
∴CE=CD  DE=7  3=4.5 分
24.（本题满分 6 分）
（1） 1 ;1 分
3
（2）①1
1  4a
1
1
， 1  4a1  2a
1
;3 分
5a2
② 解：
1  6a 
1  5a1  a
= 1  6a1  5a1  a .
∵ a  0 ，
∴ 5a2  0 ， 1  6a1  5a1  a  0 .
5a2
1
∴ 1  6a1  5a1  a
0 .
∴ 1
1
1  6a
1  5a1  a .
同理，可得
1  5a1  a 
1
1  4a1  2a .
1
∴ 1  4a1  2a 
1
1  5a1  a
1. 1  6a
∴方案C 的最终过滤效果最好5 分
（3）3a.6 分
25.（本题满分 7 分）
依题意补全图形
A
D
E
P
B
C
解：∵BD⊥AP 于 D，
∴∠BDE＝90°.
∵BD＝DE，
…1 分
∴∠DBE＝∠DEB＝45°.
∵∠ABD＝  ，
∴∠ABE＝∠DBE  ∠ABD＝45°   .
∵∠ABC＝90°,
∴∠CBE＝∠ABC  ∠ABE＝45°+ 3 分
AE+CE=2DE4 分
证明：如图，在 AD 延长线上取点 F，使 DF=AD，连接 BF.
∵BD⊥AP，AD=DF，
F
A
D
E
P
B
∴BA=BF.
∴∠FBD＝∠ABD＝  .
∵∠DBE＝45°,
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝45°+  .
∴∠EBF＝∠CBE.
∵AB=BC,
∴BF=BC.
∵BE=BE,
C
∴△BEF≌△BEC（SAS）.
∴FE =CE.
∵AE＝DE  AD, CE＝FE＝DE+DF, AD＝DF,
∴AE+CE＝2DE7 分
26.（本题满分 7 分）
（1）①∠POQ=30°;1 分
②解：过点 P 作 PA⊥y 轴于 A，过点 Q 作 QB⊥x 轴于 B，
∴∠PAO=∠QBO=90°.
∵点 P 为线段 MN 的 45°点,
∴PO=QO，∠AOC=∠BOC=45°，∠POC=∠QOC.
A C .
B
∴∠AOP=∠BOQ.
在△OPA 和△OQB 中，
PAO  QBO

AOP  BOQ

OP  OQ，
∴△OPA≌△OQB（AAS）.
∴AO=BO.
∵△MNQ 是等边三角形，点 M（2,0）,点 N（4,0）,
∴OM=MN=2.
∵QB⊥MN，
∴ BM  1 MN  1.
2
∴AO=BO=3.
∴P 点纵坐标为 34 分
（2）① m=6；5 分
② t=3 或 t=-6.7 分