湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知A为抛物线上一点,点A到C的焦点的距离为9,到x轴的距离为6,则( )
A.3B.4C.6D.8
4．若直线与直线平行,则( )
A.-1B.2C.-1或2D.1或-2
5．有编号互不相同的五个砝码,其中3克、1克的砝码各两个,2克的砝码一个,从中随机选取两个砝码,则这两个砝码的总重量超过4克的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.1B.-1C.D.
7．已知等差数列的前n项和为,且,,则当取得最大值时,( )
A.37B.36C.18D.19
8．已知F是双曲线的左焦点,O为坐标原点,过点F且斜率为的直线与E的右支交于点M,,,则E的离心率为( )
A.3B.2C.D.
二、多项选择题
9．甲同学通过数列3,5,9,17,33,…的前5项,得到该数列的一个通项公式为,根据甲同学得到的通项公式,下列结论正确的是( )
A.B.
C.该数列为递增数列D.
10．某班有男生30人;女生20人,其中男生身高（单位：厘米）的平均值为170,身高的方差为24,女生身高的平均值为160,身高的方差为19,则( )
A.该班全体学生身高的平均值为165B.该班全体学生身高的平均值为166
C.该班全体学生身高的方差为46D.该班全体学生身高的方差为44
11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点,,且它们的离心率互为倒数,P是C与D的一个公共点,则( )
A.B.
C.为直角三角形D.C上存在一点Q,使得
12．数学探究课上,小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感,创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的,它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角（其中M对应钟上数字3,N对应钟上数字9）.设MN的中点为O,,若长度为2的时针OA指向了钟上数字8,长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针OC（安装完秒针后,不考虑时针与分针可能产生的偏移,不考虑三根指针的粗细）,则下列说法正确的是( )
A.若秒针OC指向了钟上数字5,如图2,则
B.若秒针OC指向了钟上数字5,如图2,则平面OBC
C.若秒针OC指向了钟上数字4,如图3,则BC与AM所成角的余弦值为
D.若秒针OC指向了钟上数字4,如图3,则四面体OABC的外接球的表面积为
三、填空题
13．已知向量,,若,则____________．
14．已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则___________．
15．某公司2015年全年生产某种商品10000件,在后续的几年中,后一年该商品的产量都是前一年的120%,则该商品年产量超过20000件时,至少需要经过_____________年．
16．若A,B是平面内不同的两定点,动点P满足（且）,则点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆．已知点,,,动点P满足,则的最大值为___________．
四、解答题
17．在正项等比数列中,,．
（1）求的通项公式;
（2）若,证明是等差数列,并求的前n项和．
18．已知圆与圆关于直线对称．
（1）求的标准方程;
（2）记与的公共点为A,B,求四边形的面积．
19．的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知,,成等差数列．
（1）若,求;
（2）若,当取得最小值时,求的面积.
20．已知正项数列的前n项和为,且．
（1）求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和．
21．如图,在四棱锥中,,,与均为正三角形.
（1）证明：平面PBC.
（2）证明：平面PCD.
（3）设平面平面,平面平面,若直线与确定的平面为平面,线段AC的中点为N,求点N到平面的距离.
22．已知双曲线的焦距为,点在C上．
（1）求C的方程;
（2）,分别为C的左、右焦点,过C外一点P作C的两条切线,切点分别为A,B,若直线PA、PB互相垂直,求周长的最大值．
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以．
故选：A.
2．答案：D
解析：由题意知,．
故选：D.
3．答案：C
解析：因为点A到C的焦点的距离为9,到x轴的距离为6,
所以,则．
故选：C.
4．答案：B
解析：因为,所以,解得或．
当时,与重合,不符合题意．
当时,,符合题意．
故选：B.
5．答案：A
解析：记3克的砝码为,,1克的砝码为,,2克的砝码为B,从中随机选取两个砝码,
样本空间,
共有10个样本点,其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点,故所求的概率为．
故选：A.
6．答案：B
解析：由函数的图像可知,
,则,．
由,解得,
则,
故,.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为,
,
所以,,从而当时,取得最大值．
故选：C.
8．答案：B
解析：如图所示,双曲线的右焦点为,MF的中点为P,连接,,
因为,O为的中点,所以,则,可得,
又因为,所以,
则,,可得,
所以E的离心率为2．
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对AB,由,得,故,故A正确,B错误;
对C,得该数列为递增数列,故C正确;
对D,,则,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：由题可知,该班全体学生身高的平均值为,
该班全体学生身高的方差为．
故选：BC.
11．答案：BC
解析：设,,双曲线D的半实轴为,半虚轴为,
椭圆C的离心率为e与双曲线D的离心率为,
由双曲线的方程可知：,,则,,
则,,椭圆C的离心率为,
则,解得,.
对于选项A：由双曲线定义可知：,故A错误;
对于选项B：由椭圆定义可知：,故B正确;
对于选项C：根据对称性,不妨设P在第一象限,
则,解得
即,可知,
所以为直角三角形,故C正确;
对于选项D：若,则点Q在以为直径的圆上,
联立方程,方程组无解,
所以C上不存在一点Q,使得,故D错误;
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：如图,以O为坐标原点,OM,OB所在直线分别为y轴､z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,.
若秒针OC指向了钟上数字5,
则,,,,
则,,所以,A正确.
,故是平面OBC的一个法向量.
因,所以,
所以OA与NA不垂直,从而NA与平面OBC不平行,B不正确.
若秒针OC指向了钟上数字4,则,
,
,C正确.
由,得.
因为,所以外接圆的半径,
则四面体OABC的外接球的半径,则,
故四面体OABC的外接球的表面积为,D正确.
故选：ACD.
13．答案：2或-4
解析：因为,所以,解得或-4．
故答案为：2或-4.
14．答案：
解析：因为是定义在R上的奇函数,所以,,则．
故答案为：.
15．答案：4
解析：设经过n年后,该商品年产量超过20000件,则,即．
因为,,所以至少需要经过4年．
故答案为：4.
16．答案：
解析：设,则,整理得,
则P是圆上一点,
由,得,如图所示
故,
当且仅当A,D,P三点共线,且A在DP之间时取得最大值．
又因为,
所以的最大值为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）证明见解析,
解析：（1）设的公比为,由,得,
解得或（舍去）,
因为,所以．
（2）由（1）可知,,则．
因为,所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
故．
18．答案：（1）
（2）9
解析：（1）将的方程转化为,可得的圆心为,半径为3．
设的圆心为,半径为r,因为与关于直线对称,
所以解得
故的标准方程为．
（2）,
根据对称性可知到直线AB的距离,
则,
则四边形的面积．
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
即,
即,
于是有
所以或,解得或（舍去）．
因为,,成等差数列,
所以．
由,得,
所以,即,
所以．
（2）由,得,
则,
当且仅当时,等号成立,
此时,
所以的面积．
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,解得．
当时,由,得,
则,则．
因为,所以,所以是以2为首项,4为公差的等差数列,
则．
（2）由（1）可知,
则
．
21．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）因为,
所以,,
所以,
因为平面PBC,平面PBC,
所以平面PBC.
（2）取BC的中点E,连接DE,则四边形ABED为正方形.
过P作平面ABCD,垂足为O.
连接OA,OB,OD,OE.
由和均为正三角形,得,
所以,即点O为正方形ABED对角线的交点,
则.
因为平面ABCD,且平面ABCD,
所以,
又,且平面PBD,平面PBD,
所以平面PBD,
因为平面PBD,
所以.
因为O是BD的中点,E是BC的中点,
所以,
因此.
因,
所以,
又,平面PCD,平面PCD,
所以平面PCD.
（3）设,连接PQ,则直线为直线PQ,
因为,平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD,
因为平面PBC,且平面平面,
所以.
由（1）知,OE,OB,OP两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
,,
设平面的法向量为,则,
所以,
取,得.
又,
所以点N到平面的距离.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意可得,解得,
所以双曲线C的方程为.
（2）依题意PA、PB的斜率均存在,设,过点P且与C相切的直线l为,
由,整理得,
则,整理得,
将代入l得,则,
所以,
因为直线PA、PB互相垂直,
所以,即,
则,,
所以,所以,当且仅当时取等号,
因为,所以周长的最大值为.