四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题（三）（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题（三）（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，
则由直线可得，
所以，
故选：D
2. 能够使得圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0距离等于1的c的一个值为( )
A. 2B. C. 3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.
【详解】
由圆的标准方程，
可得圆心为，半径为2，
根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，
圆上有两点到直线的距离为1，
由可得，
经验证，，符合题意，故选C.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.
3. 若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得，由焦点到椭圆上点的最短距离为，结合可得.
【详解】
由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，
由题意，，
所以，，，，
所以椭圆方程为：，
当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，
故选：B
4. 某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续个月的调研，得到两企业这个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（ ）
A. 这个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过
B. 这个月的乙企业月利润增长指数的第百分位数小于
C. 这个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定
D. 在这个月中任选个月，则这个月乙企业月利润增长指数都小于的概率为
【答案】C
【解析】
【分析】根据折线图估算AC，对于B项把月利润增长指数从小到大排列，计算%=7.7可求,对于D项用古典概型的概率解决.
【详解】显然甲企业大部分月份位于%以上，故利润增长均数大于%，
A不正确；
乙企业润增长指数按从小到大排列分别第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10
又因为%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于%，
故B错误；
观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，
故C正确；
（2个月乙企业月利润增长指数都小于82%），
故D错误.
故选：C.
5. 已知空间三点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 点在平面内
C. D. 若，则D的坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间两点距离公式判断A，根据数量积的坐标运算判断B，根据共面向量基本定理判断C，根据向量的坐标运算判断D.
【详解】因为，，故A正确；
因，所以，故C正确;
因为，，所以，所以点在平面内，故B正确；
因为，显然不成立，故D错误.
故选：D
6. 已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数与方差的定义判断．
【详解】因为，因此平均数不变，即，
设其他48个数据依次为，
因此，
，
，∴，
故选：D．
7. 如图所示，在直三棱柱中，，且，，，点在棱上，且三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用锥体的体积公式可求得，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】由已知得底面，且，
所以，解得.
如图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
则，，.
设平面的法向量为，
则由可得，即，得，令，得，
所以为平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，
则.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：
（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角；
（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.
8. 已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，根据θ∈(60∘,90∘]，将表示为θ的三角函数可求得范围.
【详解】解：设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
9. 已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ）
A. 事件与事件是互斥事件B. 事件与事件不是对立事件
C. 事件发生的概率为D. 事件与事件是相互独立事件
【答案】ABC
【解析】
【分析】由两球编号写出事件所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，求出的概率判断C，由公式判断D．
【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，
事件含有的基本事件有：，共12个，事件含有的基本事件有：，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A正确；
基本事件发生时，事件均不发生，不对立，B正确；
事件中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此，C正确；
，，，不相互独立，D错．
故选：ABC．
10. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的长最小等于
C. 当的长最小时，平面与平面所成夹角的余弦值为
D
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项；利用空间两点间距离公式即可判断选项；根据二面角的余弦值推导即可判断选项；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项.
【详解】由题意可知：两两互相垂直，以点为坐标原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
建系可得，
，故选项正确；
又，
当时，，故选项正确；
当最小时，分别是的中点，
取中点，连接和，
，
，
是二面角的平面角.
中，，
可得，同理可得，
由余弦定理可得，故选项正确；
，故选项错误.
故选：.
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A. 平分
B.
C. 延长交直线于点，则三点共线
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；
对于B，直接代入即可得到；
对于C，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线；
对于D，由选项A可知.
【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，
所以，故直线为，即，
依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，
对于A，，，故，所以，
又因为轴，轴，所以，故，
所以，则平分，故A正确；
对于B，因为，故，故B错误；
对于C，易得的方程为，联立，故，
又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；
对于D，由选项A知，故D正确.
故选：ACD.
.
12. 己知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）
A. 若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是
B. 若，则的最大值为4
C. 若存在点P使得，则
D. 若存在点Q使得，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A根据已知，数形结合得时椭圆C和圆M没有交点，进而求离心率范围；B令，求得，结合椭圆有界性得，即可判断；C由题设，令，进而得到，结合点在椭圆上得到公共解求范围；D将问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点.
【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，
A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点，
此时离心率，对；
B：当时，令，则，而，
所以，又，故，
所以的最大值为，错；
C：由，若，则，
由，令，且，
则，即，
所以，则，且，故，对；
D：令，若，所以，
则，所以，
轨迹是圆心为，半径为的圆，
而与的距离为，要使点Q存在，
则，可得，且，即，对；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于C，根据已知得到，设，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解为关键；对于D，问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点为关键.
三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
13. 若直线与直线平行，则这两条平行线之间的距离是__．
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合直线平行的性质可得，再由平行线间的距离公式即可得解.
【详解】直线与直线平行，，解得，
故直线与直线即为直线与直线，
则这两条平行线之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.
14. 曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线是过定点的直线，利用数形结合判断的取值范围.
【详解】直线l过点A（2，4），又曲线的图象是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
如图，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，
即，解得.
当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故答案为：
15. 数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：
甲同学：中位数为3，方差为2.8； 乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；
丙同学：中位数为3，众数为3； 丁同学：平均数为3，中位数为2.
根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.
【答案】乙
【解析】
【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.
【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数：，方差为，可以出现点数6；
对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差，
所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；
对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；
对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为时，满足平均数为，中位数为，可以出现点数.
综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.
故答案为：乙
16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.
【详解】
设，则.显然当靠近右顶点时，，
所以存在点使等价于，
在中由余弦定理得，
即，解得 ，
同理可得，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
由得，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解.
四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）
17. 在平面直角坐标系中，存在四点，，，.
（1）求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系；
（2）若过D点的直线l被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程.
【答案】（1），D在圆M内；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可；
（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.
【小问1详解】
设圆M方程为，
把A，B，C三点坐标代入可得：
解得，，，
所以圆M方程是,
把D点坐标代入可得：，故D在圆M内；
【小问2详解】
由（1）可知圆M：，则圆心，半径，
由题意可知圆心到直线l的距离是3，
当直线l斜率存在时，设直线l方程为：，
所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为；
当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：，
此时圆心到直线l的距离是3，符合题意.
综上所述，直线l的方程为或.
18. 我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
（1）求出a，b，x，y的值；
（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．
【答案】（1）a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004
（2）
（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96
【解析】
【分析】（1）利用频率＝，及表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；
（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．
（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．
【小问1详解】
由题意可知，样本容量n＝，
∴b＝＝0.04，
第四组的频数＝50×0.08＝4，
∴.
y＝＝0004，x＝×＝0.032．
∴a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．
【小问2详解】
由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，
有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，
有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）＝．
∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．
【小问3详解】
∵[50，70）的频率为：，
[70，80）的频率为0.4，
∴中位数为：，
平均数为：．
方差为：
．
19. 已知抛物线的焦点为，点 在上，且．
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
【答案】（1）的坐标为，的方程为；
（2）直线过定点.
【解析】
【分析】(1)利用抛物线定义求出，进而求出p值即可得解.
(2)设出直线的方程，再联立直线l与抛物线C的方程，借助韦达定理探求出m与n的关系即可作答.
【小问1详解】
抛物线的准线：，于是得，解得，
而点在上，即，解得，又，则，
所以的坐标为，的方程为.
【小问2详解】
设，直线的方程为，
由消去x并整理得：，则，，，
因此，，
化简得，即，代入方程得，即，则直线过定点，
所以直线过定点.
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点..
证明：平面.
若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.
【答案】证明见解析；.
【解析】
【分析】在上找中点，连接,，利用三角形中位线性质得出，因为底面是直角梯形，,所以能得出平行且等于，得出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出平面；
根据,求出向量的坐标，进而求出平面和平面的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的余弦值.
【详解】解：证明：在上找中点，连接,，图象如下：
和分别为和的中点，
，且,
又底面是直角梯形，
，且，
且.即四边形为平行四边形.
.
平面，平面，
平面.
以为原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，,，，，
,， .
由为棱上一点，设,
所以,
由，得,
解得，
即,,
设平面的法向量为，
由可得
所以，令，则，则，
取平面的法向量为，
则二面角的平面角满足：
,
故二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.
21. 已知O为坐标原点，，，点P满足，记点P的轨迹为曲线
（1）求曲线E的方程；
（2）过点的直线l与曲线E交于两点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点的轨迹是双曲线的右支，求出的值，即得；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数的范围，将所求式等价转化为关于的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.
【小问1详解】
因，，且动点P满足，由双曲线的定义知：
曲线E是以为焦点的双曲线的右支，且，，则，故曲线E的方程为
【小问2详解】

当直线l的斜率为0时，直线l与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l方程为：，
设，，联立，得，
由韦达定理得，，.
由题意：解得：
，令，因故，
而，在为减函数，
故，即的取值范围为.
22. 如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，－1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.
（1）求直线AB的斜率；
（2）若直线AB与双曲线的左，右两支分别交于Q，R，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解，坐标，直接计算直线斜率即可.
(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出，的坐标，化简的表达式，整理求出的
取值范围即可得出结果.
【小问1详解】
由题椭圆，顶点，可得，又因为点在椭圆上，
即，得，所以椭圆方程为，设等轴双曲线：，，
由题意等轴双曲线的顶点为，可得，所以双曲线的方程为：，
因为直线PA、PB的倾斜角互补，且，是不同的点，所以直线PA、PB都必须有斜率，设直线方程为
，联立，整理得，
和点横坐标即为方程两个根，可得
，因为，所以，代入直线可得，即
，又因为直线PA、PB的倾斜角互补，将换成，可得，
两点求斜率可得出
所以直线AB的斜率为
【小问2详解】
由(1)可设直线的方程：，又因为直线AB与x，y轴正半轴相交，则，联立方程组
，整理得，，解得.
联立直线和双曲线方程，消去得，
利用求根公式可得，
所以，
又因为，所以，则，即
，所以，
所以的取值范围为
【点睛】方法点睛：
（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.
组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90，100]
2
b
合计
▓
▓