四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
5．考试结束后，只将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由得，
所以，
故选：C
2. 已知直线与，则与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】因为已知直线与，
而，所以，
所以由两平行线之间的距离公式可得与之间的距离是.
故选：A.
3. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 外切C. 内切D. 内含
【答案】B
【解析】
【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.
【详解】的圆心为，的圆心为，
由于,，
所以与圆外切，
故选：B
4. 若直线与垂直，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线垂直的条件求解．
【详解】由题意，∴．
故选：D．
5. 已知事件相互独立，且，则（ ）
A. 1B. 0.79C. 0.7D. 0.21
【答案】D
【解析】
【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．
【详解】由题意，
故选：D．
6. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.
【详解】.
故选：C
7. 已知椭圆方程为，长轴为，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设，表示出，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.
【详解】
设，则，，
则，，
所以，
且，所以，即，
代入椭圆方程可得，化简可得，
则离心率为.
故选：B
8. 现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是，该组数据扩大倍后的数据的平均值是，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大倍后的数据的方差三个量中，能用表示的量的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.
【详解】设该组数据为，则.
所以，，所以.
原数据的方差
，可以用表示.
扩大倍后的数据的方差：
，可以用表示.
平方后的数据的方差：
.不能用表示.
故选：C.
二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9. 我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A. 图中的值为0.020B. 这组数据的极差为50
C. 得分在80分及以上的人数为400D. 这组数据的众数的估计值为82
【答案】AC
【解析】
【分析】根据频率值和为1即可判断A；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C；根据频率分布直方图中众数即可判断D.
【详解】解：，
解得，故A正确；
因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B错误；
得分在80分及以上的频率为，
所以得分在80分及以上的人数为，故C正确；
这组数据的众数的估计值为，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 对任意向量，都有
B. 若且，则
C. 对任意向量，都有
D. 对任意向量，都有
【答案】AD
【解析】
【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.
【详解】，，
可得，故选项A正确；
由可得，
又，可得或，
故选项B错误；
,
所以不一定成立，
故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；
故选：AD.
11. 甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（ ）
A. 平均数为67B. 平均数为66C. 方差为296D. 方差为287
【答案】BD
【解析】
【分析】
先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.
【详解】依题意，甲的平均数，乙的平均数，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，
所以甲队队员在所有队员中所占比重为，乙队队员在所有队员中所占比重为
故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：；
甲、乙两队全部队员的体重的方差为：.
故选：BD.
12. 已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 该四面体相对棱两两垂直
B. 该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心
C. 该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）
D. 该四面体三组对棱平方和相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】设，利用向量法AD选项，用几何法判断BC选项．
【详解】选项A，如图，四面体中，是所在棱中点，，
设，则
，
，
，即，所以，
所以
，即，所以，即，所以，同理，A正确；
选项B，设平面，是垂足，平面，所以，
又，平面，所以平面，而平面，所以，同理，所以是平面垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B错；
选项C，如上图，平面， 平面，平面，是垂足，先证明相交，
平面，平面，所以，又，平面，所以平面，同理平面，
所以平面和平面重合，即共面，它们必相交，设，下面证明平面，
与证明平面同理可证得平面，又平面，所以，同理由平面可证得，而是平面内两相交直线，所以平面，因此与重合，同理可证平面，C正确；
选项D，由选项A的讨论同理可得，
，
，
所以，同理，D正确．
故选：ACD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 经过两点的直线的方向向量为，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】方向向量与平行，由此可得．
【详解】由已知，是直线的方向向量，则，
故答案为：2.
14. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．
【答案】38
【解析】
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，
故答案为：38
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程__________．
【答案】######
【解析】
【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解.
【详解】因为圆的圆心为，半径
圆圆心为，半径
又因为
所以圆与圆相离，所以有4条公切线.
画图为：
易得或是圆和的公切线
设另两条公切线方程为：
圆到直线的距离为
圆到直线的距离为
所以
所以或
或
当时
所以，切线方程为
当时
所以
所以
所以或
当时，切线方程为
当时，切线方程为
故答案为：或或或
16. 已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先设点，求过点的直线方程，并判断直线过定点，再利用几何关系求最大值.
【详解】设，
过点引圆的两条切线，切点分别为，
则切点在以为直径的圆上，
圆心，半径，则圆的方程是，
整理为：，
又点在圆上，
两圆方程相减得到，
即直线的方程是，因为，
代入得，则直线恒过定点，
所以点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：首先本题求以为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.
四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知周长为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）结合椭圆定义可得的轨迹方程.
（2）利用及椭圆定义可列出方程，求解，即可算出的面积．
【小问1详解】
的周长为14且，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆，
即，故顶点的轨迹方程为，
又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为．
【小问2详解】
①．
点在椭圆上，且为焦点，
，
故②．
由①②可得，，
故．
的面积为7．
18. 如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接．
（1）求的长；
（2）求点到平面的距离．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度方法即可求出；
（2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出．
【小问1详解】
因为四面体的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，，
而且，
所以，
即，所以的长为．
【小问2详解】
因为四面体为正四面体，所以点在平面的射影为的中心，
的外接圆半径为，
所以点到平面的距离为，
由于点为线段的中点，所以点到平面的距离为．
19. 现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件表示随机抽取的两名男生不在同一组，求．
【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为，根据中位数的定义可得,求解即可；
（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.
【小问1详解】
（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为．
由于，
设学校的800名男生的身高中位数为，则，
由,得，
所以学校的800名男生的身高的中位数为．
【小问2详解】
解：第六组的人数为4，设为，
第八组的人数为，设为，
则从中随机抽取两名男生有共15种情况．
事件表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件包含的基本事件为，共8种情况．
所以．
20. 已知圆经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.
（2）根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标.
【小问1详解】
∵圆心在直线上，
设圆心，
已知圆经过点，，则由，
得
解得，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
设，
∵在圆上，∴，
又，，
由可得：，
化简得，
联立
解得或.
21. 如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点，点在线段上．
（1）若平面，请确定点的位置；
（2）请在下列条件中任选一个，求的值；
①平面与平面的夹角余弦值为；
②直线与平面所成角的正弦值为．
【答案】（1）为靠近三等分点处
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出面的法向量，由平面得，即，求解即可；
（2）设，求出平面的法向量为，平面的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.
【小问1详解】
分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，
则．
设面的法向量，则，即．
令，得．
因为平面，所以，即．
所以，得，
，所以．
因为，
所以为靠近三等分点处时，有平面．
【小问2详解】
设，则．
所以．
设平面的法向量为，
则，即．
令，得．
注意到平面的法向量为，直线的方向向量为，
若选择①，平面与平面的夹角余弦值为，
则．
即，解得，即．
若选择②，直线与平面所成角的正弦值为，
则．
即，解得，即．
22. 已知内角平分线与轴相交于点．
（1）求的外接圆的方程；
（2）求点的坐标；
（3）若为的外接圆劣弧上一动点，的内角平分线与直线相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，判断点与经过三点的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点在经过三点的圆上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；
（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；
（3）联立方程可得，，根据可得，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.
【小问1详解】
易知为为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边边的中点，半径为，所以外接圆的方程为．
【小问2详解】
设的内角平分线交于点，根据角平分线性质定理，可知，（利用可得）
由结合，,所以
所以，的内角平分线方程为，令，即可得点坐标．
【小问3详解】
点在经过三点的圆上，理由如下：
由题意可知直线的斜率存在，故设直线的直线方程为，
联立直线与圆的方程，
可得
注意到两点是直线与圆的交点，所以
，故．
联立直线与的内角平分线方程，
可得．
此时，
．
此时，点，点点满足在劣弧上．
设经过三点的圆的方程为，
则，解得．
所以，经过三点的圆的方程为．
将点代入圆的方程成立，所以点在经过三点的圆上.