四川省成都市玉林中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学模拟训练二（Word版附解析）

这是一份四川省成都市玉林中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学模拟训练二（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．椭圆的长轴长是（ ）．
A．3B．6C．9D．4
2．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于
A． B． C． D．
6．直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
7．在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有
A．A与D是互斥事件但不是对立事件B．B与D是互斥事件也是对立事件
C．C与D是互斥事件D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件
10. 说法中正确的是（ ）
A．是共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C 四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A， B，C三点共线的充要条件
11．已知双曲线:（，）的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若双曲线的离心率大于，则 B．若，，则的面积为8
C．若，，则双曲线的方程为
D．若，的周长为，则双曲线的离心率为3
12．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）
A．与所成角为 B．平面截正方体所得截面的面积为
C．平面 D．若，则三棱锥的体积最大值是
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．两条平行直线与间的距离为 ．
14．已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ．
15．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ．
16．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .
四、解答题：本大题有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知直线过点与圆相切，
（1）求该圆的圆心坐标及半径长 （2）求直线的方程
18．如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，.
(1)求证：平面BDE；
(2)求直线MN到平面BDE的距离.
19．良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标.
（1）估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数与下四分位数（用分数表示）
（2）在上述锻炼达标的学生中按比例分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在的概率.
20．已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．
21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点．
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若E是PB的中点，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
22．已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和.
（1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程；
（2）对于椭圆，上一点，以为切点的切线方程为.设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点.
①求证直线过定点；
②求面积的最大值.
参考答案：
1．B
【分析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.
故选：B
2．B
【分析】利用两点间的斜率公式代入计算可得斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系得出结果.
【详解】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得，
设直线的倾斜角为，可知，所以.
故选：B
3．C
【分析】根据等轴双曲线即可求解.
【详解】的渐近线方程为，
故选：C
4．D
【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.
【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解．
【详解】点是棱的中点，则有
.
故选：A
6．C
【分析】求出圆心、半径，再求出圆心到直线的距离，利用可得答案..
【详解】圆心为，半径为3，圆心到直线的距离，
所以，.
故选：C.
7．D
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，计算在的投影为，在根据勾股定理计算得到答案.
【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，则.
，，
故在的投影为，
点到线的距离为.
故选：D.
8．D
【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.
【详解】双曲线的渐近线，右焦点，
依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，
由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，
过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，
则有，
在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，
显然，当且仅当点与点重合时取等号，
所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.
故选：D
【点睛】思路点睛：本题考查利用对称求最短距离，“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，常常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段转化为两点之间的距离问题.
9．ABD
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接分析求解.
【详解】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,
“向上的点数是 1,2,3”为事件B,
“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,
“向上的点数是 4,5,6”为事件D.
事件A与D不能同时发生，但能同时不发生，
是互斥事件但不是对立事件，故选项A正确；
事件B与D不可能同时发生，且必有一个发生，
故B与D是互斥事件，也是对立事件，
故选项B正确；
事件C与D可能同时发生，故不是互斥事件，
故选项C错误；
事件B与C能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件，
故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查推理能力，属于基础题.
10．CD
【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可.
【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；
若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
故选：CD
11．AC
【分析】通过，即可判断A；通过勾股定理得到，结合双曲线定义即可判断B；通过条件即可求出的值，从而表示出双曲线方程，即可判断C；通过D所给选项即可得到的关系式，即可判断D．
【详解】设，若双曲线的离心率大于，则，解得，故A正确；
若，，则，又因为，解得，所以的面积为4，故B错误；
若，，则，，所以双曲线的方程为，故C正确；
若因为，的周长为，所以，解得，故双曲线的离心率为2，故D错误．
故选：AC．
12．BCD
【分析】A选项，如图建立以A为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；做出截面求得截面面积可判断B；利用线线平行可得线面平行判断C，求得P的轨迹方程可求得三棱锥的体积最大值判断D.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，，
对A选项，，
则直线与所成角为，故A错误；
对B选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点的中点，的中点，连接，延长一定与交于一点，所以四点共面，同理可证四点共面，
则过点作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
则正六边形的面积为，故B正确.
由正方体，可得，
∵分别为的中点，∴，
∴平面平面，
∴平面，故C正确；
如图，面，又面，故，同理，
又，
根据题意可得，设，
又，
∴，整理得，
∴在正方形面内(包括边界)，是以为圆心，半径的圆上的点，
令，可得，
∴当为圆与线段的交点时，到底面的距离最大，最大距离为，
∴三棱锥的体积最大值是，故D正确.
故选:BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法研究点线面的位置关系及数量计算.
13．
【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意可知，两直线的距离为.
故答案为：
14．0或2
【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相内切求出的值为.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有或．
故答案为：0或2.
15．/0.5
【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，
因此所求的概率为=0.5.
故答案为：.
16．
【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上．
设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a
又∵|BF|=|A| ∴|AF|+|BF|=2a ……①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα ……②
|BF|=2ccsα ……③
将②③代入① 2csinα+2ccsα=2a
∴，即，
∵，
∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为
17．（1）圆心坐标，半径．
（2）或
【分析】（1）将圆配方后即可得出答案.
（2）讨论直线的斜率是否存在，设出直线利用圆心到直线的距离等于半径即可得出直线.
【详解】（1）将圆配方得；
圆心坐标为，半径．
（2）当直线垂直于x轴时，直线不与圆相切，所以直线的斜率存在，
设直线的方程为，即；
则圆心到此直线的距离为．
解得或，
直线的方程为：或.
【点睛】本题主要考查圆的方程，直线方程及点到直线的距离公式．涉及直线与圆的位置关系问题，可根据题目特点选用“代数法”、“几何法”，本解法选用的是几何法．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明线面垂直；
(2)利用点到平面的距离公式求解.
【详解】（1）因为底面ABC，底面ABC，所以
且，
所以以为原点，所在直线为轴建系如图，
因为，，
D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，
所以,
设平面的法向量为，
所以所以，
令，则，
因为，平面BDE，所以平面BDE.
（2）,
直线MN到平面BDE的距离即为在平面BDE法向量上的投影，
所以，
所以直线MN到平面BDE的距离为.
19．（1）25，；（2）.
【分析】（1）根据频率分布直方图计算中位数与平均数；
（2）根据古典概型概率公式计算即可.
【详解】解：（1）众数
设下四分位数为，则，
（2）根据题意可得，抽取的8名同学中，
时间在的有6名，记为，，，，，，
时间在的有名，记为，，
从8名同学中随机取2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，
记事件为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，
则包含的基本事件个数有个，
所以.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.
（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.
【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，
∴C的方程为.
（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，
∴联立抛物线方程，得：，，
若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，
∴，即，得，
∴直线l的方程为.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；
（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.
21．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）．
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由两平面的法向量垂直得证两平面垂直；
（2）（i）由空间向量法求线面角；（ii）由空间向量法求面面角.
【详解】（1）因为，取AB中点M，连接CM，则，
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
故以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，则
，
所以．
因为，
所以，
所以平面PBC，即为平面PBC的法向量．
设，
则．
设平面EAC的法向量为，，
则即
令，则．
因为，所以平面平面PBC．
（2）因为E是PB的中点，所以．
设直线PA与平面EAC所成角为，
则，
故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．
22．（1）；（2）①证明见解析；②最大值为.
【分析】（1）由为，中点，得，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，这样可得点轨迹是椭圆，根据求得椭圆方程；
（2）①设，，，写出切线方程代入点坐标，得直线方程，由方程可得定点坐标；
②直线方程为与椭圆方程联立消元后得，变形得，然后计算三角形面积，利用换元、基本不等式可得最大值．
【详解】（1）依题意有为，中点，，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，又与圆相切，，即动点到与两点距离之和等于为，动点的轨迹方程为.
（2）①.设，，，过，的椭圆切线方程为，则，，直线方程为，即，显然过定点.
②.直线方程为，联立椭圆方程得
显然，，，
面积.
令，，
则.当且仅当，时等号成立.
故面积的最大值为.
【点睛】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题及三角形面积最大问题．解题方法是根据椭圆的定义求得椭圆标准方程；设动点的坐标，写出直线方程，由直线方程得定点；设而不求的思想方法结合韦达定理求得三角形面积，用基本不等式得最大值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力．
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35