考点巩固卷18 空间向量与立体几何(九大考点)-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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考点01空间向量及其运算
1．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）

A．B．
C．D．
2．已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．设空间向量，，若，则_____．
4．在长方体中，设，，则_____．
5．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则_____．

6．已知向量，若，则_____．
考点02空间共面向量定理
7．已知点，，，分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“，，，四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．已知，若三向量共面，
则实数等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
9．（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设，，是三个不共面的向量，现在从①；②；③；④；⑤中选出可以与，构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为_____（填序号）.
11．如图，从所在平面外一点O作向量.求证：
(1)四点共面；
(2)平面平面.
12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为，，，的重心．求证：E，F，G，H四点共面．

考点03求平面的法向量
13．已知向量，平面α的一个法向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
14．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
15．（多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ）
A．B．C．D．
16．（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ）
A．B．
C．D．
17．在正方体中，棱长为2，G，E，F分别为，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．
考点04利用空间向量证明平行，垂直
18．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（ ）
A．B．C．D．
19．如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

证明：平面平面.
20．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：.
21．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点. 求证：平面.

22．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.证明：平面.
23．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．

(1)求证：；
(2)求证：平面平面．
考点05求空间角
24．如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
25．如图，在几何体中，，，，，，平面，则直线与平面所成角的正弦值为_____.

26．如图，在四棱锥中，，，，E为PC的中点.

(1)求证：平面PAD；
(2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.
27．如图，在长方体中，点， 分别在棱上，且，．

(1)证明：；
(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
28．如图，正三棱柱中，，，，，.

(1)试用，，表示；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
29．如图，等腰直角，，，、分别为、中点，将沿翻折成，得到四棱锥，为中点.

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面成角为，求直线与平面所成角的正弦值.
考点06已知夹角求其他量
30．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为_____
31．如图，在长方体中，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，_____.

32．正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为_____．
33．如图，平行六面体中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，则线段D1E的长度为_____．
34．如图，在直三棱柱中，，，为上一点．若二面角的大小为，则的长为_____．

35．三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是_____.
考点07求异面直线，点到面或者面到面的距离
36．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（ ）

A．1B．C．D．
37．（多选）如图，正方体的棱长为2，为线段中点，为线段中点，则（ ）

A．点到直线的距离为B．直线到直线的距离为2
C．点到平面的距离为D．直线到平面的距离为
38．（多选）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
39．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱底面，底面边长与侧棱长都等于2，，分别为，的中点，则平面与平面之间的距离为_____．
40．已知在边长为6的正方体中，点分别为线段和上的动点，当_____时，线段取得最小值_____.
41．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求直线\到直线的距离；
(2)求直线到平面的距离．
考点08求点到线的距离
42．如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（ ）
A．B．
C．D．
43．（多选）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是B．点到平面的距离为
C．点到直线的距离为D．平面与平面间的距离为
44．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是_____．
45．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
考点09点的存在性问题
46．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
47．图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
48．已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
49．如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
50．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

(1)求二面角的正弦值；
(2)线段上是否存在，使得它到平面的距离为? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
51．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；
(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．