考点巩固卷13 复数（九大考点）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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考点01复数的分类
1．复数为纯虚数，则实数的值是______.
【答案】0
【分析】根据纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为复数为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：0
2．若复数是实数，则实数______.
【答案】
【分析】复数是实数，则虚部为0，可求实数的值.
【详解】复数是实数，则有，解得.
故答案为：.
3．复数是纯虚数的充要条件是（ ）
A．且B．
C．且D．
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可．
【详解】若复数是纯虚数，则，；
若，，则是纯虚数，
所以复数是纯虚数的充要条件是且．
故选：A．
4．设，，若为实数，则m的值为______.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算化简，然后根据复数的概念列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为为实数，所以，解得.
故答案为：.
5．（多选）下列四个命题中，假命题为（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数，满足，则
【答案】CD
【分析】根据复数的相关概念，即可判断A、B项；取特殊值，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，根据共轭复数的概念，实数共轭为自身，可知A项正确；
对于B项，设，则.
因为，所以，所以，故B项正确；
对于C项，取，则，故C项错误；
对于D项，取，，则，故D项错误.
故选：CD.
6．已知，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数为纯虚数求出，再根据充分必要的概念得答案.
【详解】当为纯虚数时，有，则，
故“”是“为纯虚数”的充分不必要条件．
故选：A.
考点02复数相等
7．已知复数（是虚数单位）．
(1)求复数的共轭复数；
(2)若，求、的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得出；
（2）利用复数的除法和复数相等可得出关于、的方程组，即可解得、的值.
【详解】（1）解：，所以z的共轭复数．
（2）因为，即，
也即，所以，解得．
8．已知，，（为虚数单位），则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解.
【详解】因为，所以，.
故选：B.
9．复数满足，则________.
【答案】
【分析】设出，利用得到方程组，解方程组求出，的值，从而可求出.
【详解】设，则，
所以则，
所以，解得：，所以，
故.
故答案为：
10．已知（a，，i为虚数单位），则复数（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【分析】由复数的乘法运算结合复数相等的定义求出，，再由模长公式得出.
【详解】∵，
∴，
∴，解得，
所以．
故选:B．
11．若纯虚数满足，则实数的值为（ ）
A．1B．-1C．0D．±1
【答案】B
【分析】设出纯虚数，利用乘法运算及复数相等列方程，求解即可.
【详解】设，由，可得，所以，解得.
故选：B
12．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的运算和共轭复数的概念求出复数，再由复数的几何意义即可.
【详解】设，则．因为，所以，所以．
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D
考点03复数的几何意义
13．若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算求复数，再结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，则，
所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
14．设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先求出复数，从而可求出其在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】由，得，
所以复数在复平面内对应的点在第四象限，
故选：D
15．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先写出复数，再得到其共轭复数.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，
所以.
故选：A
16．已知复数，若在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的__________.
【答案】中的一个均可
【分析】根据复数的运算法则，可得，进而的一个满足条件的的值.
【详解】复数，可得，
当时，可得，
此时复数对于点点位于第四象限，
当时，符合题意.
故答案为：中的一个均可.
17．（多选）在复平面内，点对应的复数为z，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题意写出复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，复数的运算法则和共轭复数的意义，对各个选项逐个判断，即可得出正确选项.
【详解】因为点对应的复数为，所以，所以，故选项A错误；
因为，所以，则，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
因为，故选项D错误.
故选：BC.
18．复数的共轭复数所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】结合复数的除法运算、共轭复数的概念和复数的几何意义即可得解.
【详解】由题意，
所以复数的共轭复数，
所以其共轭复数在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选：B.
考点04复数模的计算
19．已知复数z满足，则z的模长为______．
【答案】
【分析】利用复数的模长公式计算即可.
【详解】由复数模长公式可得.
故答案为：
20．已知i是虚数单位，复数满足，则______.
【答案】
【分析】根据复数运算的除法法则和模的计算公式，即可化简得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
21． （i为虚数单位），则＝（ ）
A．5B．2C．3D．1
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求出，得，再可得.
【详解】由，得，
，.
故选：D
22．已知是虚数单位，复数与的模相等，则实数的值为（ ）
A．B．C．±11D．11
【答案】A
【分析】根据复数的模的定义，结合条件列方程可求的值.
【详解】因为，，
所以，，
由已知，
所以，
故选：A.
23．已知复数（，i为虚数单位），满足，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】A
【分析】由求得共轭复数，再代入中求得，再计算即可.
【详解】因为所以，则，解得，
.
故选：A.
24．已知复数是一元二次方程的一个根，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】设出，，代入方程，化简得到，求出，并求出模长.
【详解】设，，
，即，
故，解得或，
故，所以.
故选：C．
考点05复数的四则运算
25．已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．25B．9C．5D．3
【答案】C
【分析】直接解方程组求出复数，从而可求出复数的模
【详解】由，得，解得，
所以，
故选：C
26．复数的实部为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得答案.
【详解】因为，
所以复数的实部为.
故选：B
27．复数，则的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的运算和模的计算，即可求解.
【详解】，
故.
故选：C
28．是虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接化简计算即可
【详解】，
故选：A
29．（多选）复数，（，），下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则B．若为实数，则
C．若为纯虚数，则D．若为纯虚数，则
【答案】BCD
【分析】利用复数的乘除运算结合实数的意义判断AB；由共轭复数的意义、复数的乘除运算及纯虚数的意义判断CD作答.
【详解】复数，（，），
对于A，是实数，则，A错误；
对于B，是实数，则，B正确；
对于C，是纯虚数，则，
此时，，即，C正确；
对于D，是纯虚数，则，
此时，，即，D正确.
故选：BCD
30．已知是虚数单位，则在复平面内，复数对应的点所在位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】根据复数四则运算可知，即可得其对应的点为，位于第四象限.
【详解】由可知，，
因此其对应的点为，位于第四象限.
故选：D
考点06的幂运算
31．__________.
【答案】1
【分析】根据复数的运算即可求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
32．（多选）若复数满足：为的共轭复数，则（ ）
A．
B．
C．在复平面对应的点位于第二象限
D．
【答案】ABD
【分析】利用复数除法运算法则及幂运算先化简得出复数，在写出它的共轭复数然后逐项分析即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
故选项A正确；
，
故选项B正确；
复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故选项C错误；
，
故D正确.
故选：ABD.
33．已知复数，其中.
(1)若，求实数的值；
(2)若且是纯虚数，求.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
（2）根据复数代数形式的除法运算化简，根据复数的类型得到方程（不等式）组，求出的值，即可得到，再根据复数的乘方的性质计算可得.
【详解】（1）复数，则，
又，因此，解得，所以实数的值是1.
（2）复数，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，
因此，又，
则，即有，
所以.
34．设复数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘方以及的性质、复数的除法运算，化简得出，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，.
故选：D.
35．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘方及除法运算法则计算可得.
【详解】.
故选：C
36．复数的虚部为_______.
【答案】1012
【分析】根据错位相减法求和，复数乘除法，i乘方的周期性等相关知识直接求解.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012.
故答案为：1012
考点07待定系数法求复数
37．已知为复数，为的共轭复数，且，则的虚部是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】D
【分析】利用共轭复数的概念，直接求解.
【详解】因为与互为共轭复数，所以的虚部与的虚部互为相反数.
因为的虚部为，所以的虚部为.
故选：D.
38．已知复数满足．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据复数的模长公式以及复数相等列式求解即可；
（2）根据（1）中结果结合复数的模长公式运算求解.
【详解】（1）设，
则由，得，
即，则，解得，
所以．
（2）由（1）可知：，则，
所以.
39．已知复数满足，则__________.
【答案】
【分析】根据一元二次方程复数根的求解可得复数，即可由模长公式求解.
【详解】将看作是关于的一元二次方程的根，则 ，
所以，
故答案为：
40．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一，四象限D．第二、三象限
【答案】D
【分析】根据复数的计算法则求出复数，再由其几何意义选择即可.
【详解】设，所以，
所以，解得，所以，
故选：D.
41．已知复数满足，且复数为纯虚数．
(1)求；
(2)若的实部小于零，且是关于的方程的根，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据复数的乘法运算以及纯虚数的定义，结合模长公式，即可列方程求解，
（2）利用复数相等的充要条件即可代入求解.
【详解】（1）设，
则．
因为为纯虚数，
所以且．
又，所以．
联立方程得或
故或．
（2）由（1）和的实部小于零，得．
因为是方程的根，
所以，
即．
所以解得
所以．
42．满足，的一个复数__________．
【答案】（或中的一个，答案不唯一）
【分析】设，根据可得出或，分、两种情况讨论，结合复数的模长公式可求得复数的值.
【详解】设，则，
因为，则，即或.
当时，即，由，解得或，此时，或；
当时，即，由，解得，此时，.
综上所述，或.
故答案为：（或中的一个，答案不唯一）
考点08复数模的几何意义
43．如果复数z满足，那么的最大值是______.
【答案】
【分析】根据已知条件，结合复数模的公式，以及复数的几何意义，即可求解.
【详解】设复数，
因为，可得，表示以原点为圆心，半径为的圆，
又由表示圆上的点到的距离，
所以的最大值为.
故答案为：.
44．已知复数满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解.
【详解】方法一：因为，
所以在复平面内对应的点是复平面内到点的距离为4的点的集合，如图所示．
由图象可知，
当时，，
当时，，
所以的取值范围是．

方法二：因为，
又,
所以．
故答案为: .
45．设复数满足，其中为虚数单位，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知等式的几何意义可得对应的点的轨迹，将问题转化为点到点的距离，结合轨迹可得结果.
【详解】设，
则表示复平面上的点到点和点的距离之和为，
对应的点的轨迹为线段，
表示点到点的距离，.
故选：A.
46．（多选）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为B．
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对；
对于C选项，，则，
，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C对；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D错.
故选：ABC.
47．已知虚数，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据复数表示的几何意义求点对应的轨迹方程，再利用数形结合求的取值范围.
【详解】由复数的几何意义可知，表示点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即，如图，

表示圆上的点与原点连线的斜率，
如图，当直线与圆相切时，分别取得最大值和最小值，点为切点，点为圆心，，
所以，即，，
所以的取值范围是.
故选：B
48．设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（ ）
A．+iB．+iC．iD．i
【答案】A
【分析】复数的模转化为距离，是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案．
【详解】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，
要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点．
点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以．
故对应的复数为．
故选：A
考点09复数的三角表示（选学）
49．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果.
【详解】.
故选：C.
50．若（为虚数单位），则是的________条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充要条件的知识及复数的运算法则即可得解.
【详解】当时，，
所以；
当取，
此时，且，，
所以推不出，
综上：是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
51．已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由，
可得
，
因为，，
所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：B．
52．计算：______．
【答案】
【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.
【详解】
，
，
故答案为：.
53．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案.
【详解】
，
故选：A.
54．若复数，其中是虚数单位，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如上图所示，则
故选:C