北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.20 特殊平行四边形存在性问题（拓展篇）（专项练习）

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1．在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N．下面四个推断：① EF＝MN；② EN∥MF ；③ 若平行四边形ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；④ 对于任意的平行四边形ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形，其中，所有正确的有（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
2．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中错误的是（ ）
A．存在无数个四边形PMQN是平行四边形
B．存在无数个四边形PMQN是矩形
C．存在无数个四边形PMQN是菱形
D．至少存在一个四边形PMQN是正方形
3．如图，直线分别与、轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10；②直线BC的解析式为；③点D（，）；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（， ）．正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
4．如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段BO上一动点（不包括O，B两点），DF⊥CE于点F，过点A作AG⊥DF于点G，交BD于点H，连结AE，CH，则下列结论：①∠ADG=∠DCF；②DG=EF；③存在点E，使得EF=GF；④四边形AECH是菱形．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是BC边上一动点（不含端点B，C），连接EA，F是CD边上一点，设DF＝a，若存在唯一的点E，使∠FEA＝90°，则a的值是（ ）
A．B．C．D．3
6．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝kx+2k与x轴，y轴分别交于点C，D，其中k＞0，M，N为线段AB上任意两点，P，Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G．下列四个结论中，不正确结论的序号是（ ）
A．对于任意的k，都存在无数个图形G是平行四边形
B．对于任意的k，都存在无数个图形G是矩形
C．存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形
D．至少存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形
7．如图，在矩形中， 点是的中点，点在上，且若在此矩形上存在一点，使得是等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知四边形中，分别为上的点(不与端点重合)．下列说法错误的是（ ）
A．若分别为各边的中点，则四边形是平行四边形：
B．若四边形是任意矩形，则存在无数个四边形是菱形
C．若四边形是任意菱形，则存在无数个四边形是矩形
D．若四边形是任意矩形，则至少存在一个四边形是正方形
9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ( )
A．B．C．D．
二、填空题
10．矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．
11．如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论：
①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是______．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝a，点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若在AD边上存在两个不同位置的点E，使得点F落在∠C的平分线上，则a的取值范围为____．
13．如图，点为平面内不在同一直线上的三点，点为平面内一个动点，线段的中点分别为．在点的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在两个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是________．
14．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B，直线与x轴，y轴分别交于C，D其中，M，N均为线段AB上任意两点，P，Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G．
下列四个结论中，
① 对于任意的k，都存在无数个图形G是平行四边形；
② 对于任意的k，都存在无数个图形G是矩形；
③ 存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形；
④ 至少存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形
所有正确结论的序号是__________．
15．在中，对角线交于点是边上的一个动点(与点不重合)，连接并延长，交于点，连接．下列说法：①对于任意的点，四边形都是平行四边形；②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形；③当时，至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④当时，至少存在一个点，使得四边形是正方形．所有正确说法的序号是___________．
16．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论：
①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；
②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；
③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；
④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．
以上所有错误说法的序号是_____．
17．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________．
18．如图，在中，分别为边上的点（不与端点重合）．对于任意，下面四个结论中：
①存在无数个四边形，使得四边形是平行四边形；
②至少存在一个四边形，使得四边形菱形；
③至少存在一个四边形，使得四边形矩形；
④存在无数个四边形，使得四边形的面积是面积的一半．
所有正确结论的序号是___________．
19．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．如果?、F分别是AD、BC上的点，且EF经过AC中点O，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的有______．
①在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG=时，存在E、F、G，H，使得四边形EGFH是正方形．
20．如图，矩形纸片ABDC中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．如果在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此时PB＝__．
21．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，点，在边存在点，使得为“智慧三角形”，则点的坐标为：______．
三、解答题
22．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为，．两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿折线CDA向终点A运动，设运动的时间为t秒．
(1)求菱形ABCD的高h和面积s的值；
(2)当点Q在CD边上运动时，t为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分；
(3)设四边形APCQ的面积为y，求y关于t的函数关系式（要写出t的取值范围）；在点P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，并指出此时点P、Q的位置；若不存在，请说明理由．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m （m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
(1)求证：EG＝BG；
(2)若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
(3)随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BGAE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
24．如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线长度的平方是四边形某两边长度的乘积，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图1，在这个四边形中，，满足，四边形是闪亮四边形，是亮线．
（1）以下说法在确的是__________（填写序号）
①正方形不可能是闪亮四边形
②矩形有可能是闪亮四边形
③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为
（2）如图2，在四边形中，，四边形是否为闪亮四边形？如果是，哪条线段是亮线，并写出验证过程，如果不是，说明理由．
25．问题背景：在学习平行四边形和轴对称图形时，我们曾总结出以下结论结论1：如图1所示，过平行四边形对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的周长和面积．菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形．
结论2：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线（过圆心的直线）都是圆的对称轴，都平分圆的面积和周长．
问题探究：
（1）在图2中作一条直线，使它同时将正方形和圆都分成面积相等的两部分；
（2）如图3，点是矩形内一点，，，点与坐标原点重合，、分别位于、轴正半轴，，直线经过点将矩形分成面积相等的两部分，请直接写出直线的解析式；
（3）如图4，在平面直角坐标系中，四边形是某医院筹建的新冠肺炎患者隔离区用地示意图，，，，，．医院将隔离区护士站（其占地面积不计）设在点处，为了方便急救，准备过点修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
26．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”．
（1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“十字形”的有 ；一定是“对等四边形”的有 ；（请填序号）
（2）如图1：若凸四边形ABCD是“十字形”也是“对等四边形”，F，H，G，M分别是AD，DC，AB，BC的中点，求证，四边形FGMH为正方形．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20，点D从点C出发沿CA方向以2个单位每秒向A匀速运动；同时点E从A出发沿AB方向以1个单位每秒向B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，DF//AB，连接EF，是否存在时间t（秒），使得四边形ADFE为“十字形”或“对等四边形”，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
分别根据平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定进行判断即可得到正确的结论．
解：①如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是中心对称图形，则其对称中心是对角线AC的中点O，
∴OE=OF，OM=ON
故有且仅有当OE=OM时，EF=MN，故①错误；
②如图2，
由①得
∴四边形是平行四边形
∴，故②正确；
③如图3，
∵四边形ABCD是菱形
∴即∠APD=90°
∵点E，M在边AD上，且不与端点A，D重合，
∴∠EOM