【专项练习】全套专题数学八年级上册第十二章 分式和分式方程（A卷-中档卷）-【单元测试】（习题及答案）

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第十二章分式和分式方程（A卷-中档卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·山东青岛·八年级期末）若分式的值为0，则x的值为（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据分式值为零的条件，可得：x+1＝0且2x﹣1≠0，据此求出x的值即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴x+1＝0且2x﹣1≠0，解得：x＝﹣1．故选：C．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．2．（2021·安徽安庆·七年级期末）若分式有意义，则的取值范围是（     ）A． B．或 C． D．且【答案】C【分析】根据分式有意义的条件判断即可．【详解】由分式由意义的条件，得：，故选：C．【点睛】本题考查分式有意义的条件，属于基础题．3．（2022·河南三门峡·八年级期末）的最简公分母是(        )A． B． C． D．【答案】D【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．【详解】解：的最简公分母为：．故选：D．【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．4．（2022·河北承德·八年级期末）某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（   ）A．每天比原计划多铺设米，结果提前天先成 B．每天比原计划少铺设米，结果延期天完成C．每天比原计划少铺设米，结果延期天完成 D．每天比原计划多铺设米，结果提前天完成【答案】A【分析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．此题得解．【详解】解：∵利用工作时间列出方程： ，∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，明确题意，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．5．（2021·安徽安庆·七年级期末）如果把分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（     ）A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变【答案】A【分析】根据分式的基本性质，计算a，b都扩大为原来的5倍时分式的值，再与原分式的值进行比较得出答案．【详解】解：∵把分式中的，都扩大为原来的倍，∴，∴分式的值扩大为原来的倍．故选：A【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提．6．（2022·河北承德·八年级期末）化简，正确结果是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的除法进行计算即可求解．【详解】解：原式＝，故选D．【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．7．（2022·浙江温州·七年级期中）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（　　）小时．A．20 B．21 C．19 D．19【答案】D【分析】设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时；根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时，由题意得：，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，一轮的工作量为：，轮后剩余的工作量为：，还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，丙还需要工作（小时），（小时）．故共需小时．故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．8．（2022·河南三门峡·八年级期末）两个分式，，其中，则A与B的关系是(        )A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B【答案】C【分析】把B化简，化成最简分式，后与A比较判断即可．【详解】因为===，故A与B互为相反数，故选C．【点睛】本题考查了分式的化简，熟练进行通分化简是解题的关键．9．（2022·河南新乡·八年级期中）已知分式，，当时，与的大小关系是（       ）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】根据分式的加减法法则化简，再根据判断的正负即可得．【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以，即，故选：A．【点睛】本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．10．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（       ）A．或 B． C．且 D．且【答案】A【分析】首先求得分式方程的解为x=4-m,再根据解为正数得4-m>0且4-m 1,从而求得m的取值范围即可．【详解】解：，去分母，得1-m-(x-1)=-2，去括号，得1-m-x+1=-2，移项，合并得x=4-m，∵方程的解为正数，∴4-m>0且4-m 1，解得m<4且，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的特殊解,难度适中，解题的关键是注意要排除分式方程无解情况．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·山东烟台·八年级期中）若，则_______．【答案】【分析】根据题意可设a=k，b=2k，c=3k，代入分式求值即可.【详解】∵，∴可设a=k，b=2k，c=3k，代入.故答案为：.【点睛】本题考查了求分式的值，根据题意设出a=k，b=2k，c=3k是解决此类问题的关键.12．（2021·湖南永州·八年级期中）计算：______．【答案】1【分析】利用分式的乘除法计算法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，关键是熟练掌握分式的乘法和除法的计算法则．13．（2022·河南南阳·八年级期中）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________．【答案】【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可．【详解】解：，∴方程为：，去分母得：，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解本题的关键在理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．14．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．【答案】15【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．【详解】解：==a(a-2)=a2-2a，∵a2-2a-15=0,∴a2-2a=15，∴原式=15．故答案为：15．【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．15．（2022·河南新乡·八年级期中）受疫情的影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用4000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，但每瓶单价贵了1元，则该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为______元．【答案】8【分析】设该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为x元，根据所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍列分式方程解答．【详解】解：设该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为x元，由题意得，解得x=8，经检验，x=8是原方程的解，故答案为：8．【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意列得分式方程是解题的关键．16．（2021·河南洛阳·八年级期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为________．【答案】3【分析】由题意可得x=1是增根，再把x=2代入整式方程中进行计算即可解答．【详解】解：∵关于x的分式方程有增根，∴x-1=0，∴x=1，∵，去分母，得5x+5x-5=2m-1，∴把x=1代入5x+5x-5=2m-1，得5+5-5=2m-1，解得：m=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算，是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·四川广元·八年级期末）从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母：(1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们．(2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果．【答案】(1)6个，见解析(2)见解析【分析】（1）利用分式的概念可得；（2）利用分式的基本性质约分化简即可求解．(1)解：一共能得到6个不同的分式：①，②，③，④，⑤，⑥．(2)解：①；②；③；④；⑤；⑥；综上可知，③④能化为整式，得：       【点睛】本题考查了分式的概念和分式的基本性质，熟练掌握分式约分的方法是解题的关键．18．（2022·河南洛阳·八年级期中）化简求值：(1)化简；(2)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，【分析】（1）将除法改为乘法，再约分即可；（2）根据分式的混合运算法则化简，再将代入化简后的式子求值即可．（1）原式；（2）原式，当时，原式．【点睛】（1）考查分式的除法；（2）考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解题关键．19．（2022·福建泉州·八年级期中）下面是某同学进行分式运算的过程，请仔细阅读，并解决下列问题．化简：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）．．（第四步）(1)填空：①从第三步到第四步含有分式的约分，其依据是______；②上述解题过程是从第______步开始出现错误的，错误的原因是_____________．(2)请直接写出正确结果．【答案】(1)①分式的基本性质；②一；分式的乘除法运算的顺序错了，同级运算应从左到右依次进行(2)【分析】（1）①根据式子，可知依据为分式的基本性质；②根据解答过程可以发现第一步错误，错因是同级运算，没有按照从左到右的顺序计算；（2）先把除法转化为乘法，同时将分式的分子、分母分解因式，然后约分即可．（1）①从第三步到第四步含有分式的约分，其依据是分式的基本性质；故答案为：分式的基本性质；②上述解题过程是从第一步开始出现错误的，错误的原因是同级运算，没有按照从左到右的顺序计算．故答案为：一；同级运算，没有按照从左到右的顺序计算．（2）原式=，，即正确结果是．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．20．（2022·江苏连云港·八年级期中）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______________________；(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.【答案】(1)；(2)，证明见解析；【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．（1）解：通过观察可得：；（2）．证明：左边===右边，∴．【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．21．（2022·河南三门峡·八年级期末）下面是解分式方程的一般过程，阅读完后请填空：解分式方程：，解：方程两边同乘以，得；(第一步)解得：．检验：当时，，因此不是原方程的解．所以，原分式方程无解．(1)第一步计算中的是____________，进行这一步运算的依据是__________________；(2)解分式方程的基本方法是____________，即把____________转化为________________________求解．解分式方程最后一定要_____________________．(3)用类比的方法解分式方程．【答案】(1)最简公分母，等式的性质(2)去分母，分式方程，整式方程，检验(3)【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母．（2）根据解分式方程的指导思想，化分式方程为整式方程，注意验根．（3）按照解方程的基本步骤，规范求解即可（1）根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母，故答案为：最简公分母，等式的性质．（2）根据解分式方程的指导思想，化分式方程为整式方程，注意验根，故答案为：去分母，分式方程，整式方程，检验．（3）方程两边同乘以，得，解得检验：当，，所以，是原方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．22．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验：第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则，此时：∵，∴，所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则．请帮小郝完成猜想证明过程．第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则．请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论．【答案】证明见解析，结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．【分析】根据分式的减法，作差比较大小即可求解．【详解】证明：第二步：即∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好；第三步：同理可得，∵y＞x＞0，m＞0，∴y-x＞0，m（y-x）＞0，y（y+m）＞0，，，∴窗户面积和地板面积同时增加m平方米，住宅的采光条件会更好；结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键．23．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩．(1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？【答案】(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．(2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，依题意得：，解得：；经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，∴2x=2×600=1200．答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．（2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，依题意得：9600+600（）+1200y≥17700，解得：．答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．甲说：我的工作效率比乙的工作效率少乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．