+吉林省吉林市船营区亚桥中学书院班2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+吉林省吉林市船营区亚桥中学书院班2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共31页。试卷主要包含了分解因式，计算等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）计算﹣10，以下结果正确的是（ ）
A．﹣10＝﹣1B．﹣10＝0C．﹣10＝1D．﹣10无意义
2．（2分）m6可以写成（ ）
A．m3•m2B．m2•m4C．m•m6D．m3+m3
3．（2分）下列变形中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，且BC＝2，以点A为圆心，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD＝BCB．∠ABD＝∠BDCC．AB＝ADD．∠A＝∠C
6．（2分）某文具店购进A，B两种款式的书包，其中A种书包的单价比B种书包的单价低10%．已知店主购进A种书包用了810元，且所购进的A种书包的数量比B种书包多20个．设文具店购进B种款式的书包x个，则所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．＝×（x+20）
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）要使式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．（3分）计算：﹣3x（x2﹣x﹣2）＝ ．
9．（3分）分解因式：x3﹣9x＝ ．
10．（3分）计算：＝ ．
11．（3分）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
12．（3分）若关于x的分式方程无解，则m＝ ．
13．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，则正方形A的面积为 ．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°，AC＝10，BD＝26 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：．
16．（5分）计算：．
17．（5分）化简求值：（a+2）2+（a+2）（2﹣a）﹣6a．其中．
18．（5分）解方程：﹣＝1．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图
（1）在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3．
（2）在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5．
（3）在图③中，画平行四边形ABEF，使其面积为9．
20．（7分）先化简，再求值：，其中．
21．（7分）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．
22．（7分）刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝2，AE＝5，直接写出CF的长．
24．（8分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，5块长是a cm，宽为b cm的相同的小长方形
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm．
①求a+b的值；
②求图中空白部分的面积．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，连接EC并延长，使CG＝CE，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝65°，∠DCE＝25°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，直接写出OH的长度．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点P从点A出发（t＞0）．
（1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）
（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；
（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．
七.解答题（每小题15分，共30分）
27．（15分）如图，点E是长方形ABCD的边CD延长线上一点，连接AE．点F是边AD上一个动点，AD＝4，DE＝3．
（1）求AE的长；
（2）若点P落在DC的延长线上，求△AEF的面积；
（3）若点P落在射线BC上，求AF的长．
28．（15分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，交BD于点O．
（1）试说明：BF＝DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
2023-2024学年吉林省吉林市船营区亚桥中学书院班八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）计算﹣10，以下结果正确的是（ ）
A．﹣10＝﹣1B．﹣10＝0C．﹣10＝1D．﹣10无意义
【分析】非零底数的零指数幂的值为1，据此解答即可．
【解答】解：∵10＝5，
∴﹣10＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查零指数幂，掌握它的适用条件是本题的关键．
2．（2分）m6可以写成（ ）
A．m3•m2B．m2•m4C．m•m6D．m3+m3
【分析】先分别计算各选项的结果，再作比较即可．
【解答】解：m3•m2＝m5，故A不符合题意；
m2•m4＝m7，故B符合题意；
m•m6＝m7，故C不符合题意；
m3+m3＝2m3，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法运算及其逆运算，合并同类项，熟记运算法则是解本题的关键．
3．（2分）下列变形中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分别判断即可．
【解答】解：，
故A不符合题意；
＝﹣1，
故B不符合题意；
＝，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．（2分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，且BC＝2，以点A为圆心，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
【解答】解：由题意可得，
AB＝2，BC＝2，
∴AC＝3，
∴AD＝2，
∴点D表示数为：2﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD＝BCB．∠ABD＝∠BDCC．AB＝ADD．∠A＝∠C
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．（2分）某文具店购进A，B两种款式的书包，其中A种书包的单价比B种书包的单价低10%．已知店主购进A种书包用了810元，且所购进的A种书包的数量比B种书包多20个．设文具店购进B种款式的书包x个，则所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．＝×（x+20）
【分析】根据购进两种款式书包数量间的关系可得出文具店购进A种款式的书包（x+20）个，利用单价＝总价÷数量，结合A种书包的单价比B种书包的单价低10%，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵文具店购进B种款式的书包x个，且购进的A种书包的数量比B种书包多20个，
∴文具店购进A种款式的书包（x+20）个．
依题意得：＝（1﹣10%）．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）要使式子有意义，则实数x的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵要使式子有意义，
∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠8，
则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．
故答案为：x≥4且x≠2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
8．（3分）计算：﹣3x（x2﹣x﹣2）＝ ﹣3x3+3x2+6x ．
【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：﹣3x（x2﹣x﹣4）
＝﹣3x•x2﹣（﹣5x）•x﹣（﹣3x）×2
＝﹣6x3+3x3+6x．
故答案为：﹣3x2+3x2+2x．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．（3分）分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣5）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
10．（3分）计算：＝ ．
【分析】利用分式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11．（3分）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 24 ．
【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×3＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．
12．（3分）若关于x的分式方程无解，则m＝ 2 ．
【分析】把m看作常数，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：2﹣m＝1﹣x
解得：x＝m﹣8，
∵分式方程无解，
∴x﹣1＝0，即x＝2，
∴m﹣1＝1，
∴m＝7，
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式方程的无解问题，解题的关键是弄清分式方程无解的条件．
13．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，则正方形A的面积为 4 ．
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形D的面积﹣正方形C的面积，
则正方形A的面积＝18﹣6﹣8＝7，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°，AC＝10，BD＝26 6 ．
【分析】先利用勾股定理求出AB＝6，再证明OE为△ABC的中位线，则OE＝＝6．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AC＝10，BC＝26，
∴AB＝＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为AC的中点，
又∵点E为BC边的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝＝6，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明OE为△ABC的中位线是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：．
【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝2﹣﹣××
＝2﹣﹣3
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
16．（5分）计算：．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：原式＝2﹣3+8﹣4+3
＝8﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
17．（5分）化简求值：（a+2）2+（a+2）（2﹣a）﹣6a．其中．
【分析】先运用完全平方公式和平方差公式计算化简该代数式，再代入求解．
【解答】解：∵（a+2）2+（a+5）（2﹣a）﹣6a
＝a7+4a+4+2﹣a2﹣6a
＝﹣7a+8，
∴当时，
原式＝﹣2×（﹣）+8
＝1+5
＝9．
【点评】此题考查了求代数式值的能力，关键是能进行准确化简、计算．
18．（5分）解方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x（x+3）＝x5﹣9，
去括号得：4+x5+3x＝x2﹣3，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图
（1）在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3．
（2）在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5．
（3）在图③中，画平行四边形ABEF，使其面积为9．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）作一个腰为的等腰直角三角形即可；
（3）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABD即为所求；
（3）如图③中，平行四边形ABEF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（7分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（7分）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．
【分析】在Rt△ABD中，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
【解答】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+6）米
由图2可得，在Rt△ABD中2+BD3＝AD2，
（x+1）5﹣x2＝5.72，
解得，x＝13.02，
答：旗杆的高度为13.02米．
【点评】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程是解问题的关键．
22．（7分）刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．
【解答】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米，
由题意得：＝+，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
∴7x＝60，
答：刘峰骑自行车每小时行20千米，则李明乘公交车每小时行60千米．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝2，AE＝5，直接写出CF的长．
【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝5，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进而由勾股定理得EF＝3，然后利用勾股定理求出CF的长即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
在△FCE和△ACD中，
，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝5，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝5，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF＝＝＝3，
∴CF＝＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
24．（8分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，5块长是a cm，宽为b cm的相同的小长方形
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （a+2b）（b+2a） ；
（2）若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm．
①求a+b的值；
②求图中空白部分的面积．
【分析】（1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解的话恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案；
（2）①根据长方形的周长是2（3a+3b）＝30即可得出a+b的值；
②由图可得空白部分的面积是5ab，故我们可以根据第一步中求出的a+b的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积．
【解答】解：（1）通过观察图形可以得出图形的面积是：（2a2+6ab+2b2）cm3的面积
长方形的长是（2a+b）cm，宽是（a+2b），
由此可得：（5a2+5ab+6b2）＝（a+2b）（b+4a），
故答案为：（a+2b）（b+2a）；
（2）①根据长方形的周长为30cm，可得：
6（2a+b+a+2b）＝30，
8（3a+3b）＝30，
6（a+b）＝30，
a+b＝5．
答：a+b的值为5．
②空白部分的面积为6ab cm2，
根据①得：a+b＝5，
∵阴影部分的面积为34cm4，
且阴影部分的面积表示为2a2+6b2，
故a2+b6＝17，
∵（a+b）2﹣2ab＝a7+b2，
∴53﹣2ab＝17，
∴ab＝4，
∴4ab＝20．
答：空白部分的面积为20cm2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，通过图形得出面积的表达得出等量关系是解决本题的关键，熟练掌握公式即可解决问题．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，连接EC并延长，使CG＝CE，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝65°，∠DCE＝25°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，直接写出OH的长度．
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝65°，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝65°﹣25°＝40°，
∴∠DEC＝∠BCE＝40°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）解：如图，连接BH、CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OB＝OE，
∴OE＝OH＝OB＝OC＝BC，
又∵BC＝FG＝BC＝，
∴OH＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点P从点A出发（t＞0）．
（1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为 2t﹣4 ；（用含t的代数式表示）
（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；
（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．
【分析】（1）由勾股定理可求得AC的值，根据线段的和差关系解答即可；再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；
（2）根据角平分线的性质解答即可；
（3）分AB作为底和腰两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，
∴由勾股定理得：，
∵已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点P在AC的延长线上时，点P运动的长度为：AC+CP＝8t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝5t﹣4．
故答案为：2t﹣2．
（2）过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴PC⊥BC，
∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB，
∴PC＝PM，
又∵PB＝PB，
∴Rt△PCB≌Rt△PMB（HL），
∴CB＝MB，
∴AM＝AB﹣MB＝AB＝BC＝5﹣3＝6，
设PM＝PC＝x，则AP＝4﹣x，
在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，
∴28+x2＝（4﹣x）5，
解得：，
，
即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为．
（3）当AB作为底边时，如图所示：
则PA＝PB，设PA＝a，
在Rt△PCB中，PB2＝PC7+CB2，
a2＝（8﹣a）2+35，
解得：，
此时；
当AB作为腰时，如图所示：
AP1＝AB＝5，此时；
AB＝BP2时，
∵BC⊥AP2，
∴AP5＝2AC＝8，
此时t＝5÷2＝4，
综上分析可知，t的值为或．
【点评】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
七.解答题（每小题15分，共30分）
27．（15分）如图，点E是长方形ABCD的边CD延长线上一点，连接AE．点F是边AD上一个动点，AD＝4，DE＝3．
（1）求AE的长；
（2）若点P落在DC的延长线上，求△AEF的面积；
（3）若点P落在射线BC上，求AF的长．
【分析】（1）根据长方形的性质及勾股定理求解即可；
（2）根据翻折的性质推出AE＝PE＝5，AF＝PF，根据勾股定理及线段的和差求出AF＝，根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：点P落在线段BC上，点P落在线段BC的延长线上，根据长方形的性质及勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵E是长方形ABCD的边CD延长线上一点，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，AB＝CD＝1，
∵DE＝3，AD＝4，
∴AE＝＝5；
（2）如图，点P落在DC的延长线上，
由翻折性质得，△AEF≌△PEF，
∴AE＝PE＝5，AF＝PF，
∵DE＝3，
∴DP＝PE﹣DE＝6，
设DF＝x，则AF＝PF＝4﹣x，
∵∠ADC＝90°，
∴DF2+PD8＝AF2，
∴x2+32＝（4﹣x）4，
∴x＝，
∴AF＝，
∴△AEF的面积＝AF•DE＝×；
（3）点P落在线段BC上，如图，
∴∠FMB＝90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，
∴四边形ABMF是矩形，
∴AF＝BM，AB＝FM＝1，
在△CEP中，∠C＝90°，CE＝DE+CD＝4，
∴CP＝＝3，
∴BP＝BC﹣CP＝7，
∴MP＝BP﹣BM＝1﹣AF，
在△FMP中，PF＝AF2＝FM2+MP2，
∴AF2＝22+（1﹣AF）5，
∴AF＝1，
此时点P与M重合；
点P落在线段BC的延长线上，如图，
在长方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴∠ECP＝180°﹣90°＝90°，
∴CE＝CD+DE＝4，PE＝AE＝5，
∴CP＝＝6，
设AF＝x，则DF＝4﹣x，
∵FN⊥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴四边形FNCD是矩形，
∴DF＝NC＝4﹣x．FN＝CD＝6，
∴PN＝CP+NC＝3+4﹣x＝6﹣x，
∵FN2+PN2＝PF5，PF＝AF，
∴（7﹣x）2+72＝x2，
∴x＝，
即AF＝，
综上，点P落在射线BC上．
【点评】此题是四边形综合题，考查了长方形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握长方形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
28．（15分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，交BD于点O．
（1）试说明：BF＝DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
【分析】（1）根据ASA证△EOD≌△FOB即可；
（2）推出DE＝BF，根据平行四边形性质求出∠A＝∠C，推出AE＝CF，根据SAS证△ABE≌△CDF即可；
（3）分为三种情况，求出△DFC的周长，每种情况m+n都等于△DFC的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE；
（2）∵四边新ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
∵BF＝DE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
（3）解：∵EF垂直平分BD，
∴BF＝DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE，AE＝CF，
∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，
△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO＝∠DQO，
∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，
∴△BPO≌△DQO，
∴BP＝DQ，
∴m+n
＝BP+DF+CF+CQ
＝DF+CF+CQ+DQ
＝DF+CF+CD
＝15
②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE＝OF，
∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE＝QF，
∵AE＝CF，
∴CQ＝AP，
m+n
＝AB+AP+DF+PQ
＝CD+CQ+DF+FQ
＝DF+CF+CD
＝15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD＝BC，AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴∠PEO＝∠FQO，
∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE＝FQ，
∴m+n
＝AB+AE+PE+DQ
＝CD+CF+QF+DQ
＝DF+CF+CD
＝15．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/17 9:05:41；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677课题
测量学校旗杆的高度
成员
组长：XXX；组员：XXX，XXX
工具
皮尺等
测量示意图

说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B，如图1，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度：如图2，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的距离．
测量数据
测量项目
数值
图1中BC的长度
1米
图2中BD的长度
5.2米
…
…
课题
测量学校旗杆的高度
成员
组长：XXX；组员：XXX，XXX
工具
皮尺等
测量示意图

说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B，如图1，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度：如图2，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的距离．
测量数据
测量项目
数值
图1中BC的长度
1米
图2中BD的长度
5.2米
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