河南省洛阳市瀍河区2023-2024学年上学期九年级数学期末试卷

这是一份河南省洛阳市瀍河区2023-2024学年上学期九年级数学期末试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2. 若⊙O的半径为6cm, PO=8cm,则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O外 B. 点P在⊙O上 C.点P在⊙O内 D. 不能确定
3.下列事件是必然事件的为( )
A. 购买一张体育彩票，中奖 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 2022年元旦是晴天 D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
4. 若x=1是关于x的一元二次方程. x²+mx-3=0的一个根，则m的值是( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
5.如图, △ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径, ∠BCD=54°,则∠A的度数是( )
A. 36° B. 33° C. 30° D. 27°
6. 二次函数 y=ax²+bx+ca≠0的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. a<0 B. 4a+2b+c>0 C. c>0 D. 当x=1时, 函数有最小值
7. 如图, PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别是A,B, 已知∠P=60°, OA=3,则∠AOB所对的弧长为( )
A. 2π B. 3π C. 5π D. 6π
8. 如图,正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上, 顶点C、D在⊙O内,将正方形ABCD绕点B顺时针旋转 a,使点C落在⊙O上. 若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度a等于( )
A. 36° B. 30° C. 25° D. 22.5°
9.已知.A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)是抛物线 y=-x²+2m-4x-m²+3上两点，当 x₁-2时,总有 y₁>y₂,则实数m的取值范围是( )
A. m≥1 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≤-1
10. 如图, O是正△ABC内一点, OA=3, OB=4, OC=5, 将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO, 下列结论:
①△BOA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;
②点O与O'的距离为 4;
③∠AOB=150°;
④S四边形AOBO=6+33;
⑤S△AOC+S△AOB=6+943.
其中正确的结论有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题(本大题共5小题，共15分)
11. 抛物线 y=-3x-2²+2的顶点坐标为 .
12.为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了 100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条. 若其中有标记的鱼有 15 条，则可估计池塘里有鱼 条.
13. 已知a是关于x的方程 x²-2x-1=0的一个根， 则 -a²+2a= _______ .
14. 如图, 在矩形ABCD中, AB=5, AD=3. 将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D', 若点B的对应点B'落在边CD上, 则B'C的长为 .
15.如图,在△ABC中, AC=BC, ∠ACB=90°,以点A为圆心, AB长为半径画弧, 交AC延长线于点D, 过点C作CE∥AB, 交BD于点E, 连接BE,则. CEBE的值为 .
三、计算题(本大题共1小题，共10分)
16. 解下列一元二次方程：
1x²+6x+5=0;216x+1²=25.
四、解答题(本大题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题9分)
“2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图. 根据图中信息回答下列问题：
(1) 接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；
(2)若该中学共有学生 1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
(3)若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
18. (本小题9分)
已知二次函数图象 y=x²-3x+c经过 A(0,4).
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 设点P(m,n)在该二次函数图象上, 求m+n的最小值.
19.(本小题9分)
已知: △ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、 B(3,4)、 C(2,2). (正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)
(1) 在正方形网格中画出△ABC绕点O 顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁.
(2) 求出线段OA 旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).
20. (本小题9分)
如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20cm，此时水位在 OC 处，桥拱最高点 P 离水面 6mm，在水面以上的桥墩AO，BC 都为2m. 以OC所在的直线为x轴、AO 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1) 求此桥拱所在抛物线的表达式.
(2)当水位上涨2m时，若有一艘船在水面以上部分高3m，宽 10.8m，问此船能否通过桥洞? 请说明理由.
21.(本小题9分)
如图, ⊙O与△ABC的BC边相切于点B,与AC 边相切于点D,与AB边交于点E, EB是⊙O的直径.
(1) 求证: DE∥OC;
(2)若⊙O的半径是 32, AD =2, 求 CD的长.
22. (本小题10分)
某校文化节期间，九年级(1) 班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y(个) 与销售单价x(元/个)之间的函数关系如图所示.
(1) 求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
(2) 要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个?
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE， DA=22,DE=7, DC=5.过点E 作直线l. 过点C作( CH⊥l,垂足为H.
(1) 若 l‖AD,且l与⊙O交于另一点F, 连接DF, 求DF的长;
(2) 连接BH,当直线l绕点E 旋转时, 求BH的最大值;
(3) 过点A 作 AM⊥l,垂足为M， 当直线l绕点E 旋转时，求CH-4AM的最大值.
参考答案
选择题1-5BADDA 6-10DABAB
填空题
11.（2，2）
12.2000
13.-1
14.1
15.22
计算题
16. 1(x+1)(x+5)=0 x1=-1,x2=-5
2(x+1)2=2516 (x+1)=±54 x1=14,x2=-94
解答题
17. 解：(1)接受问卷调查的学生共有 29÷58(人),不了解的人数有：
50-4-29-10=7 (人),
故答案为: 50, 7;
(2)根据题意得：
1500×4+2950=990(人),
答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为990人；
(3)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 812=23.
18. 解：(1)∵二次函数图象 y=x²-3x+c经过A(0, 4),
∴4=0²-3×0+c,
∴c=4,
∴二次函数的表达式为 y=x²-3x+4;
(2)∵点P(m, n)在该二次函数 y=x²-3x+4的图象上，
∴n=m²-3m+4,
∴m+n=m+m²-3m+4=m²-2m+4=m-1²+3,
∵a=1>0,
∴m+n的最小值为3 .
19. 解: (1)如图, △A₁B₁C₁为所作；
(2)线段OA旋转过程中所扫过的面积 =90m-32360=94π.
20. 解: (1)由题意得, 点A的坐标为(0, 2), 点B的坐标为(20, 2), 则点P的坐标为(10, 6),
设抛物线解析式为 y=ax-10²+6,
∴a⋅0-10²+6=2,
∴a=-125,
∴抛物线解析式为 y=-125x-102+6;
(2)此船不能通过桥洞，理由如下：
当 y=2+3=5时, 即 -125x-102+6=5,
解得 x=15或 x=5,
∵15-5<10.8,
∴ 此船不能通过桥洞 .
21. (1)证明: 连接OD, 如图,
∵⊙O与△ABC的BC边相切于点B,与AC 边相切于点D
∴CB=CD , ∠ODC=∠OBC
在△COD和△COB中,
CB=CD∠COD=∠COBOB=OD,
∴△COD≌△COB(SAS),
∴∠COB=∠COD,
∴∠COB=12×(180°-∠DOE)∠ODC=∠OBC=90°,
∵OD=OE, ∴∠DEO=∠ODE=12×(180°-∠DOE),
∴∠DEO=∠COB
∴DE∥OC,
(2)在Rt△ AOD中, 而⊙O的半径是32,AD=2,
OA=OD2+AD2=322+22=52,
∴AB=OA+OB=52+32=4,
∵∠OAD=∠CAB, ∠ADO=∠ABC=90°,
∴△AOD∽△ACB,
∴ODBC-ADAB, 即 32BC-24,解得BC=3,
经检验: BC=3符合题意;
∵△COD≌△COB,
∴CD=CB=3 .
22. 解：(1)设y与x之间的函数表达式为 y=kx+bk≠0,将(20, 60), (80, 0)代入 y=kx+b得:20k+b=6080k+b=0
解得：k=-1b=80 ,
∴y与x之间的函数表达式为 y=-x+8020≤x≤80.
(2)依题意得: x-20-x+80=800,
整理得： x²-100x+2400=0,
解得： x₁=40,x₂=60.
答：销售单价应定为40元/个或60元/个 .
23. (1)如图1,
作 ON⊥EF交⊙O于N,
∴EN=FN,
∵AD‖EF,
∴ON⊥AD,
∴∠AON=∠DON=90°,
∴AN=DN,
∴AN-EN=DN-FN
即 AE=DF,
∴DF=AE,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠AED=90°,
∴AE=AD2-DE2=222-72=1,
∴DF=1;
(2)如图2,
∵∠EHC=90°,
∴点H在以CE为直径的⊙I上运动，
连接BI并延长交⊙H′, 则| BH'最大，
∵∠CDE=90∘,DE=7,CD=5,
∴CE=52+72=42
∵EI=CI=22,
∵AB‖CD,
∴∠DCE=∠BEC,
作BP⊥CE于P,
∴∠CDE=∠BPE=90°,
∴△BEP∼△ECD,
∴PBDE=PECD=BECE,
∴PB7=PE5=442,
∴PB=72,PE=522,
∴PI=PE-EI=522-22=22,
∴BI=PI2+PB2=22+722=2,
∴BH'=BI+IH'=2+22,
即BH的最大值是： 2+22;
(3)如图3,
作BN⊥l于N, 作BR⊥CH于R,
∴∠BNH=∠CHN=∠BRH=90°,
∴四边形BRHN是矩形,
∴HR=BN,
∵∠AME=∠BNE=90°, ∠BEN=∠AEM,
∴△AME∽△BNE,
∴BNAM=BEAE=41,
∴BN=4AM,
∴HR=4AM,
∴CH-4AM=CH-HR=CR≤CB,
∴当l旋转大l′位置, H点在N′位置, M在M′位置时,
CH-4AM=CN'-BN'=BC=AD=22,
即: CH-4AM的最大值 =22.