河南省洛阳市瀍河回族区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省洛阳市瀍河回族区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了一元二次方程配方后化为，一元二次方程 的实数根的情况是，已知平面直角坐标系中有点A等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程配方后化为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程 的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为（ ）寸
A．13B．24C．26D．28
7．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4B．2C．1D．
8．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而减小
9．已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（ ）
A．4B．2C．6D．3
10．如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6B．9C．D．
二．填空题（共5小题）
11．若是方程的一个根，则 ．
12．在同一平面直角坐标系内，将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的顶点坐标为 ．
13．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝ ．
14．若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
15．如图，点是正方形内的一点，连接，，，则 度．
三．计算题
16．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
四．解答题（共7小题）
17．刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
18．如果抛物线与x轴有两个不同的公共点．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k的值为2，当时，求函数的取值范围．
19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
20．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB＝8，∠A＝22.5°，求CD的长．
21．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：．
（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？
22．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，m =___________．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质：

（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根；
②方程有___________个实数根；
③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________．
23．综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
含答案与解析
1．D
【详解】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合；熟练掌握概念是解题的关键．
2．B
【分析】移项，配方，即可得出选项；
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
3．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质，根据旋转的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角可得，最后由三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，，，
，
，
，
，
，
，
即等于，
故选：C．
4．A
【分析】根据根的判别式的值的符号即可出判断．
【详解】解：∵，，，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
5．B
【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题关键是明确一次函数和二次函数性质．
6．C
【分析】设⊙O的半径为r．利用垂径定理求得AC=5，在Rt△ACO中，，，则有，解方程即可．
【详解】设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC=AB=，
设⊙O的半径为r，
在Rt△ACO中，，，
则有，
解得，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握“一元二次方程的两根为，，则，”是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
9．C
【分析】将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．
【详解】解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2
∴函数图象一定经过点C（2，-2）
点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．
10．B
【分析】本题考查的是解直角三角形，旋转的性质等知识．先根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，再利用旋转的性质，结合锐角三角函数，分别求出，，，最后根据，即可求出阴影面积．灵活运用直角三角形的相关性质求出所需线段是解题关键．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
点D为的中点，
，
绕点D逆时针方向旋转得到，
，，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
11．2
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解．把代入即可求解．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度得，再向下平移3个单位长度得，
∴平移抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
13．-2
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解．
【详解】解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，
∴b=-3，a-2=-a，
∴a=1，
∴a+b=-2．
故答案是：-2．
【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键．
14．4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
15．135
【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，则，从而得到，，，推出是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理，结合勾股定理逆定理得出，即可得到答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，
，
则，
，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
是直角三角形，
，
．
故答案为：135．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
或，
．
17．（1）20%；（2）4320元
【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x,根据等量关系：2月份盈利额×(1+增长率)2=4月份的盈利额列出方程求解即可；
（2）5月份盈利=4月份盈利×增长率．
【详解】（1）设每月盈利平均增长率为，根据题意得：
，
解得：（不符合题意舍去）
答：每月盈利的平均增长率为；
（2）（元）
答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到4320元．
【点睛】本题考查的是二次方程的实际应用，熟练掌握二次方程是解题的关键．
18．(1)；
(2)
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据二次函数的增减性求出函数值的取值范围即可．
【详解】（1）抛物线与x轴有两个不同的公共点，
∴，
解得，
即k的取值范围是；
（2）∵k的值为2，
∴，
∴该函数顶点坐标为，
∵，
∴当时取得最大值3，当时取得最小值，
即当时，函数的取值范围是．
19．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）．
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；
（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；
（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），
∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
令y=0，则x=，
∴P点的坐标（，0）．
【点睛】考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题．
20．．
【分析】根据圆周角定理得出∠COE的度数，在Rt△ACE中，由三角函数的定义得出CE，再由垂径定理得出CD即可．
【详解】解：∵AB=8，
∴OC=OA=4，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=2∠A=45°，
∴CE=OE
∵直径AB垂直弦CD于E，
∴，即
∴，
∴CD＝．
【点睛】本题考查了垂径定理，还考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
21．（1）w=﹣5x2+200x﹣1500，其中10≤x≤30；（2）x=20，w最大=500元．
【分析】（1）每月销售量y=﹣5x+150，乘以每件利润(x﹣10)即可得到每月获得的利润w元的表达式；
（2）转化为二次函数求出最大值即可．
【详解】（1）w=(x﹣10)(﹣5x+150)=﹣5x2+200x﹣1500．
∵，
∴自变量的取值范围为10≤x≤30；
∴w=﹣5x2+200x﹣1500，其中10≤x≤30；
（2）w=﹣5x2+200x﹣1500
=﹣5(x﹣20)2+500
∵a=﹣5＜0，
∴当x=20时，w有最大值，为500元．
答：当销售单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
22．（1）0；（2）图见解析；（3）答案不唯一，合理即可；（4）①3,3；②2；③-1＜a＜0．
【分析】（1）观察表格，根据对称性即可得m=0；
（2）根据表格描点，画出图象即可；
（3）观察图象，写出函数的两条性质即可，可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可；
（4）①观察函数图像可得函数图像与x轴的交点数，即可判断根的个数；②观察函数图像可得函数图像与y=2的交点数，即可判断根的个数；③方程有4个实数根，说明函数图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围．
【详解】解：（1）观察表格，可知根据对称性可知：（-2,m）与（2,0）是关于对称轴的对称点．
∴m=0；
（2）根据表格描点，画出图象即可：

（3）①含有有最低点；②图像关于y轴，成轴对称；
（4）①观察函数图像可得函数图像与x轴有3个交点，所以对应方程有3个实数根；
②由图象可知，函数图像与直线y=2有两个交点，所以方程有2个实数根；
③方程有4个实数根，说明函数的图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围是-1＜a＜0．
故答案是：①3，3；②2；③-1＜a＜0．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解答此题的关键．
23．（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）；理由见解答过程；（3）．
【分析】（1）由，，可证四边形是正方形；
（2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得△ADH≌△BAE，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
（3）利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长，即可得出的长．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）；理由如下：
如图②，过点D作于H，
∵，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图①，过点D作于H，
由（2）同理可证：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
3
m
-1
0
-1
0
3
…