专题3.2 垂直于弦的直径（专项训练）-2023-2024学年九年级数学下册重点专题解读+训练（北师大版）

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A．3B．4C．2D．4
【答案】D
【解答】解：设OA与BC相交于点D，连接OB，
∵BC是OA的垂直平分线，
∴OD＝AD＝2，∠BDO＝90°，
∴BC＝2BD，
在Rt△BDO中，BD＝＝，
∴BC＝2×＝．
故选：D．
2.（2020秋•站前区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 ．
【答案】10
【解答】解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，
在Rt△ODC中，
∴OC＝＝＝5，
∴AB＝2OC＝10，
故答案为：10．
3.（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（ ）
A．10B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：∵直径AB⊥CD，垂足为M，
∴DM＝CD＝4，
连接OD，设圆的半径为r，
则在直角△OMD中，OM＝r﹣2，
由勾股定理得到：OD2＝OM2+MD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
∴OA＝5，
∴AM＝10﹣2＝8，
在直角△AMD中，AD2＝MD2+AM2，
∴AD＝＝4，
4．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．4D．8
【答案】C
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，
∴OC＝OB＝6，
∵PB＝2，
∴OP＝4，
在Rt△OPC中，CP＝，
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
∴CD＝2PC＝．
故选：C．
5．（2021秋•望城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，AE＝1，则弦CD的长是（ ）
A．5B．C．D．6
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BE＝5，AE＝1，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，AB＝AE+BE＝6，
∴OC＝OA＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2，
故选：C．
6．（2021秋•西青区期末）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．9B．8C．D．3
【答案】C
【解答】解：连接AC，OC，
∵CD⊥OA，垂足为D，BC＝，
∴∠ADC＝∠ODC＝90°，CD＝BC＝，
∵AC＝3，
∴AD＝，
∵OA＝OC，
∴OD＝OC﹣AD＝OC﹣1，
在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，
即OC2＝（）2+（OC﹣1）2，
解得OC＝，
即⊙O的半径长为，
故选：C．
7．（2022•大兴区一模）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝2，则OB的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：∵AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，且AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝4，
设半径OB＝x，则OD＝x﹣2，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
即（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
故选：C．
8．（2022•德城区一模）把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解答】解：AB的中点D，作CD⊥AB于点D，取CD上的球心O，连接OB，
设OB＝x，则OD＝16﹣x，BD＝8，
在直角三角形ODB中，BD2+MF2＝OB2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B
9．（2021秋•衢州期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．米D．米
【答案】C
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝＝＝（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，
故选：C．
10．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm．
A．1B．3C．3或4D．1或7
【答案】D
【解答】解：当油面没超过圆心O，油面宽CD为8cm时，
过O作OG⊥AB于G，交CD于H，连接OA，OC，
则OH⊥CD，
∴AG＝AB＝3（cm），CG＝CD＝4（cm），
∵截面⊙O半径为5cm，
∴OA＝5cm，
∴OG＝＝＝4（cm），OH＝＝＝3（cm），
即弦AB的弦心距是4cm，弦CD的弦心距是3cm，
则OG﹣OH＝4﹣3＝1（cm），
即当油面没超过圆心O时，油上升了1cm；
当油面超过圆心O时，
同理得OH'＝3cm，
则OG+OH'＝4+3＝7（cm），
即油面AB上升了7cm；
故选：D．
11．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）
A．50mB．45mC．40mD．60m
【答案】A
【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200，
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
12．（2020秋•甘井子区校级期末）一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（ ）
A．2mB．4mC．6mD．8m
【答案】B
【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD＝＝8（m）．
∴OD＝＝6（m），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故选：B．
13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 寸．
【答案】26
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
由勾股定理得：r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
14．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】不需要采取紧急措施
【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施