2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．分解因式的结果是
A．B．C．D．
2．下列分式中是最简分式的是
A．B．C．D．
3．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
5．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，下列说法错误的是
A．样本容量是5B．样本的中位数是4
C．样本的平均数是3.8D．样本的众数是4
6．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为
A．6B．7C．8D．10
7．正方形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对角线相等B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角D．四条边相等
8．一个菱形的内角为，一边的长为2，它的面积是
A．B．C．D．
9．以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作△，再以△各边的中点为顶点作△，再以△各边的中点为顶点作△，如此下去，则△的周长为
A．B．C．D．
二、填空题
11．如果关于的方程有增根，那么的值为 ．
12．如果关于的多项式是一个完全平方式，那么 ．
13．已知一组数据，，的平均数和方差分别为5和2，则数据，，的平均数是 ，标准差是 ．
14．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为 ．
15．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为 ．
三、解答题
17．分解因式：
（1）．
（2）．
18．先化简，再从中选一个合适的整数代入并求值．
19．对于，我们规定它是一种运算，其运算法则为：．例如：．
请你根据上述规定求出下列等式中的值．
．
20．为有效控制新型冠状病毒的传染，目前，国家正全面推进新冠疫苗的免费接种工作．某社区为了解其辖区内居民的接种情况，随机抽查了一部分居民进行问卷调查，把调查的结果分为（已经接种）、（准备接种）、（观望中）、（不接种）四种类别，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）此次抽查的居民人数为 人；
（2）请补全条形统计图，同时求出类别所在扇形的圆心角度数；
（3）若该社区共有居民4000人，请你估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有多少人？
21．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的△，再把△向上平移4个单位长度得到△．
（1）画出△和△；
（2）△与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是 ；
（3）已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标 ．
22．为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元桶、15元桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
23．已知是等边三角形，点在射线上（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，．
（1）如图1，当点为线段的中点时，求证：是等边三角形；
（2）当点在线段的延长线上时，连接，为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题
1．分解因式的结果是
A．B．C．D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
2．下列分式中是最简分式的是
A．B．C．D．
【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
解：．该分式符合最简分式的定义，符合题意；
．该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意
．该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
．该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
3．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
解：、图形既轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
5．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，下列说法错误的是
A．样本容量是5B．样本的中位数是4
C．样本的平均数是3.8D．样本的众数是4
【分析】由方差的计算公式得出这组数据为5、4、4、3、3，再根据中位数、众数和平均数的定义求解即可．
解：由方差的计算公式知，这组数据为5、4、4、3、3，
所以这组数据的样本容量为5，中位数为4，众数为3和4，平均数为，
故选：．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数、众数和平均数的定义．
6．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为
A．6B．7C．8D．10
【分析】边形的内角和是，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：根据边形的内角和公式，得
，
解得．
这个多边形的边数是8．
故选：．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
7．正方形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对角线相等B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角D．四条边相等
【分析】根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；
菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．
正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：．
【点评】此题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理．
8．一个菱形的内角为，一边的长为2，它的面积是
A．B．C．D．
【分析】作出菱形一边上的高，利用的正弦值求得菱形的高，让菱形的边长乘以菱形的高即为所求的面积．
解：如图，，，作于．
，
菱形的面积为，
故选：．
【点评】考查菱形面积的计算；利用的正弦值得到菱形的高是解决本题的突破点．
9．以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中位线定理和平行四边形的判定，可知图中有3个平行四边形．
解：如图所示，
、、分别是的边、边、边的中点，根据三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可知图中四边形、、都是平行四边形．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础．
10．如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作△，再以△各边的中点为顶点作△，再以△各边的中点为顶点作△，如此下去，则△的周长为
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的中位线定理得到△的周长△的周长，△各的周长，于是得到结论．
解：以的各边的中点为顶点作△，
△的周长△的周长的周长，
以△各边的中点为顶点作△，
△的周长△各的周长△的周长，
，
△的周长
故选：．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的周长的计算，正确的找出规律是解题的关键．
二、填空题
11．如果关于的方程有增根，那么的值为 ．
【分析】先把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，代入整式方程即可求出的值．
解：方程两边同乘得，
，
原分式方程有增根，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根的定义是解题的关键．
12．如果关于的多项式是一个完全平方式，那么 ．
【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．
解：关于的多项式是一个完全平方式，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．
13．已知一组数据，，的平均数和方差分别为5和2，则数据，，的平均数是 6 ，标准差是 ．
【分析】分别表示原来一组数的平均数和方差，再求新一组数据的平均数和方差，可用整体代入的思想求出．
解：由题意得，，，
，
，
因此可得，数据，，的平均数是，标准差为，
故答案为：6，．
【点评】考查平均数、方差的意义和变化规律，理解和掌握在一组数据的各个数据都加上或减去同一个数后，得到一组新数的平均数就增加或减小，方差不变，是解决问题的关键．
14．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为 2 ．
【分析】由平行四边形的性质可得，，由角平分线的定义和平行线的性质可得，可求，即可求解．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
15．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 18 ．
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
解：由题意，空白部分是矩形，长为，宽为，
阴影部分的面积，
故答案为：18．
【点评】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为 ．
【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
解：设点的坐标为，
平行四边形三个顶点坐标分别为，，，
，
解得，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
三、解答题
17．分解因式：
（1）．
（2）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．
解：（1）
；
（2）．
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意把多项式的每一项分解到不能再分解为止．
18．先化简，再从中选一个合适的整数代入并求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出不等式组的整数解，取，最后把代入求出答案即可．
解：
，
要使分式有意义，必须，，，
即不能为，，2，0，
的整数解是，，0，1，2，
取，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值和一元一次不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．对于，我们规定它是一种运算，其运算法则为：．例如：．
请你根据上述规定求出下列等式中的值．
．
【分析】得出分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
解：．
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的解，
即原方程的解是．
【点评】本题考查了解分式方程和实数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20．为有效控制新型冠状病毒的传染，目前，国家正全面推进新冠疫苗的免费接种工作．某社区为了解其辖区内居民的接种情况，随机抽查了一部分居民进行问卷调查，把调查的结果分为（已经接种）、（准备接种）、（观望中）、（不接种）四种类别，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）此次抽查的居民人数为 200 人；
（2）请补全条形统计图，同时求出类别所在扇形的圆心角度数；
（3）若该社区共有居民4000人，请你估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有多少人？
【分析】（1）根据类人数和所占的百分比可以求得本次抽取的居民人数；
（2）先求出类人数即可补全图形，再用乘以等级人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以样本中类人数所占比例即可．
解：（1）此次抽查的居民人数为（人，
故答案为：200；
（2）类人数：（人，
补全条形统计图如下：
类别所在扇形的圆心角度数是：；
（3）（人，
答：估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有1200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的△，再把△向上平移4个单位长度得到△．
（1）画出△和△；
（2）△与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是 ；
（3）已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标 ．
【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征写出、、的坐标，描点得到△，利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点得到△；
（2）连接、、，它们相交于点，则点为对称中心；
（3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解得点坐标．
解：（1）如图，△和△为所作；
（2）如图，△与关于点成中心对称，点的坐标为；
故答案为
（3）设点坐标为，
的面积为3，
，解得，，
点坐标为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22．为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元桶、15元桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，根据数量总价单价，结合该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额甲种消毒液的批发价购进数量乙种消毒液的批发价购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种消毒液的零售价为30元桶，乙种消毒液的零售价为24元桶．
（2）设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，
依题意得：，
解得：．
设所需资金总额为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
23．已知是等边三角形，点在射线上（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，．
（1）如图1，当点为线段的中点时，求证：是等边三角形；
（2）当点在线段的延长线上时，连接，为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据对称的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，．求得．根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）延长到点，使，连接．根据线段中点的定义得到．根据全等三角形的性质得到，．由对称的性质得到，．根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：点，关于直线对称，
，，
是等边三角形，
，．
点为线段的中点，
．
．
．
，
是等边三角形；
（2）解：补全图形如图所示，
线段与的数量关系：．
证明：延长到点，使，连接．
为线段的中点，
．
在和中，
，
，．
．
是等边三角形，
，．
．
点，关于直线对称，
，．
，，
．
，
，
，
在和中，
．
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
6
7
7
6
1
1.1
1
1.6
甲
乙
丙
丁
6
7
7
6
1
1.1
1
1.6