山东省临沂市2023-2024学年高一上册期末模拟数学检测试卷（附答案）

这是一份山东省临沂市2023-2024学年高一上册期末模拟数学检测试卷（附答案），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．－1B．－1或3C．3D．2
8．已知函数，若函数有3个零点，，，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，选对但不全得2分，不选或选错得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，，，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线对称D．在上单调递增
11．已知函数，则（ ）
A．若，则函数为偶函数
B．若，则函数在上单调递减
C．若，则函数的定义域
D．若，则函数只有一个零点
12．若函数对，，不等式成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．函数的定义域为 ．
14．当时，使成立的x的取值范围为 ．
15．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
16．设函数，，若对，都，使得，则实数的最大值为 ．
四、解答题
17．已知全集为R ，集合，．
(1)求， ；
(2)若，且，求实数的取值范围．
18．已知角的终边经过点，且为第二象限角.
（1）求实数和的值；
（2）若，求的值.
19．已知函数．
(1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
(2)解关于x的不等式．
20．已知函数
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值.
21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）
22．已知函数．
(1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式；
(2)若函数有且只有一个零点，求a的值；
(3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
1．A
【分析】解出集合，根据并集的运算法则求得结果.
【详解】由，
得，得
即，
则
故选：A.
2．D
【分析】利用全称命题的否定的概念求解即可.
【详解】命题“”的否定为“”
故选：D
3．B
【分析】根据函数的单调性可判断函数至多有一个零点，结合，，即可判定选项.
【详解】因为函数，
易得其在定义域上单调递增，
故函数至多有一个零点，
且，，
故函数的零点在区间内，
故选：B.
4．B
【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.
【详解】由题设，，
所以.
故选：B.
5．D
【分析】根据函数的奇偶性可排除BC,根据单调性可判断A，即可求解.
【详解】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；
当时，，易知在上是增函数，排除A．
故选：D
6．A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为，，.
故.
故选：A.
7．C
【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.
【详解】由题意知：，即，解得或，
∴当时，，则在上单调递减，不合题意;
当时，，则在上单调递增，符合题意,
∴,
故选：C
8．C
【分析】画出图形，由函数有3个零点，，，可得,,，,可得答案.
【详解】解：如图所示，
函数有3个零点，，，可得=0，如图可得，
可得，为函数：与y=a的交点横坐标，
易得，,
= =，
故的取值范围为，
故选C.
本题主要考查函数的性质及指数函数，注意数形结合思想的运用.
9．ABD
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.
【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，若命题“，”为假命题，
则方程无解，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，故B正确；
对于C，当时，，则由不能推出，
所以“”的充要条件不是“”，故C错误；
对于D，若，则，
故由可以推出，
若当时，，则由不可以推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD.
10．ACD
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】的最小正周期为，A正确，
，B错误，
，C正确，
当时，，单调递增，D正确，
故选：ACD
11．BCD
【分析】对于A，利用奇偶函数的定义进行判断即可；对于B，利用幂函数的性质即可判断；对于C，利用根号内大于等于0即可判断；对于D，利用零点存在定理即可判断
【详解】对于A，若，则，定义域为R，
所以，所以为奇函数，故错误；
对于B，若，则，
利用幂函数的性质可得在上单调递减，故正确；
对于C，若，则，
此时函数的定义域为，故正确；
对于D，若，则，
设，
当时，，故此时不会有零点；
当时，单调递增，单调递减，所以单调递增，
且，
由零点存在定理可得在仅有一个零点，
综上，函数只有一个零点，故正确
故选：BCD
12．ACD
令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进行判断即可．
【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，
则，
令，因为，则，，且恒成立，
在上是减函数，
对于A选项，，则，对称轴是，开口向下，所以在递减，故A正确；
对于B选项，，则在上单调递增，故B错；
对于C选项，，则在上显然单调递减，故C正确；
对于D选项，，则，因为与在都是减函数，所以在递减，故D正确；
故选：ACD
关键点点睛：
求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.
13．
【分析】利用对数函数的定义域及根式有意义求解即可.
【详解】由根式有意义及对数的真数部分大于0可得，
解得，
故
14．
【分析】根据正切函数的图象，进行求解即可．
【详解】由正切函数的图象知，当时，
若，
则，
即实数x的取值范围是，
故答案为
本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键．
15．
【分析】根据题意确定，考虑，两种情况，根据函数的单调性得到取值范围，计算得到答案.
【详解】因为当时，，要使的值域为，必须满足当时，单调递增，故．
当时，，故当时，
当时，，不等式恒成立；
当时，，解得，即.
综上所述：实数的取值范围为.
故
16．
【分析】根据恒能成立的思想可知的值域是值域的子集，令，结合二次函数性质可求得的值域为，由对数型复合函数值域的求法可知若的值域为，则；分别在、和的情况下，根据二次函数的性质构造不等式求得的范围，进而确定最大值.
【详解】对，都，使得，的值域是值域的子集；
令，则，令，
当，即时，，的值域为；
设的值域为，则；
设的值域为，若，则；
当时，的值域，满足；
当时，的对称轴为，，
解得：，；
当时，的最大值为，，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
故答案为.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）化简集合，根据集合的并集、补集、交集运算可得结果；
（2）分类讨论集合，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】（1），
故，或，
.
（2）因为，所以，
当，即时，，符合题意；
当，即时，，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
18．（1），；（2）.
【分析】（1）由正弦函数定义求函数值后可得值，再由正切函数定义得正切值．
（2）由诱导公式化简后，再由商数关系化弦为切，代入计算即得．
【详解】（1）由三角函数定义可知，解得，
∵为第二象限角，∴，所以．
（2）由（1）知，
19．(1)，奇函数
(2)
【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；
（2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案.
【详解】（1）由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又,
所以函数奇函数；
（2）因为，
所以不等式可化为，
因为在是增函数，所以有，
又，所以，解得，又，
因此不等式的解集为．
20．(1)的最小正周期为，单调递增区间
(2)当时，取最小值
【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期与单调区间求法计算直接得出答案；
（2）根据正弦型三角函数的在区间上最值的求法直接得出答案.
【详解】（1）因为，故的最小正周期为；
由，得：，
故的单调递增区间为.
（2）因为，故，则，
故当，即时，取最小值.
21．(1)选择模型符合要求；该函数模型的解析式为，，；
(2)六月份.
【分析】（1）根据两函数特征选择模型，并用待定系数法求解出解析式；
（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合，解出，得到答案.
【详解】（1）函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，
因此选择模型符合要求．
根据题意可知时，；时，，
∴，解得．
故该函数模型的解析式为，，；
（2）当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是，
由，得，
∴，
∵，∴，
即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．
22．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）由奇函数的定义求解；
（2）化简方程然后分类讨论得方程根的情况，注意检验；
（3）由定义确定函数的单调性，得函数最大值与最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解．
【详解】（1）由题知，当，，
设．则，所以，
因为是奇函数，所以，
又因为
所以；
（2）令，整理得，
因为有且只有一个零点，
所以方程有且只有一根或两相等根，
当时，，符合题意，
当时，只需
所以，此时，符合题意
综上，或．
（3）在上任取，且，则，．
所以，所以在上单调递减．
所以函数在上的最大值与最小值分别为，．
所以，
即，对任意成立．
因为，所以函数的图象开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递增，
所以当时，y有最小值，所以，解得．
所以a的取值范围为．