专题2.2 二次函数的图像与性质（二）（六大题型）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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【题型1 二次函数的配方法】
【题型2 二次函数的五点绘图法】
【题型3 二次函数的图像与各系数之间的关系】
【题型4二次函数的平移变换】
【题型5 二次函数图像的对称变换】
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】
满分必练
【题型1 二次函数的配方法】
【典例1】（2022秋•阳曲县期末）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25D．y＝（x+4）2﹣25
【答案】C
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•石家庄期末）把二次函数y＝x2+2x﹣6配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣7B．y＝（x+1）2﹣7
C．y＝（x+2）2﹣10D．y＝（x﹣3）2+3
【答案】B
【解答】解：y＝x2+2x﹣6＝（x2+2x+1）﹣6﹣1＝（x+1）2﹣7．
故选：B．
【变式1-2】（2023•青龙县一模）将二次函数y＝x2﹣4x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x+2）2﹣8C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2﹣8
【答案】D
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣4，
＝x2﹣4x+4﹣8，
＝（x﹣2）2﹣8
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•娄底期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式为（ ）
y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣1
【答案】B
【解答】解：y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2
＝（x﹣1）2+2，
故选：B．
【变式1-4】用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（1）y=−12x2+6x﹣17；
（2）y＝（2﹣x）（1+2x）．
【解答】解：（1）y=−12x2+6x﹣17=−12（x2﹣12x+36）+18﹣17=−12（x﹣6）2+1，
∵a=−12＜0，
∴开口向下，
对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，1）；
（2）y＝（2﹣x）（1+2x）＝﹣2x2+3x+2＝﹣2（x2−32x+916）+98+2＝﹣2（x−34）2+258，
∵a＝﹣2＜0，
∴开口向下，
对称轴为直线x=34，顶点坐标为（34，258）．
【题型2 二次函数的五点绘图法】
【典例2】（2022秋•新罗区校级月考）已知：在平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5）；
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）画出过A、B、C三点的抛物线的大致图象．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示；△ABC即为所求；
（2）过A、B、C三点的抛物线的大致图象如图所示．
【变式2-1】（春•通州区校级期末）如表给出一个二次函数的一些取值情况：
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）画图如图所示，
（3）根据图象知，当x＜1或x＞3时，y＞0．
【变式2-2】（秋•亭湖区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）列表：
描点、连线如图；
（2）由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4．
【变式2-3】（秋•北京校级期中）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围 ﹣1≤y＜3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴抛物线的顶点式为故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）列表：
函数图象如图所示：
（3）根据函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
【变式2-4】（秋•张家港市校级期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，
（1）用列表描点法，在所给的如图坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象写出当y为正数时x的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）填表如下：
（2）如图所示：当y为正数时x的取值范围为：﹣1＜x＜3．
【题型3 二次函数的图像与各系数之间的关系】
【典例3】（2022秋•远安县期末）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误．
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故D错误；
故选：A．
【变式3-1】（2022秋•莱州市期末）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，不可能；
B、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴同一点，不可能；
C、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的负半轴同一点，有可能．
D、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于y轴同一点，不可能；
故选：C．
【变式3-2】（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
【变式3-3】（2020春•市中区校级月考）设m、n是常数，且n＜0，抛物线y＝mx2+nx+m2﹣m﹣6为下图中四个图象之一，则m的值为（ ）
A．6或﹣1B．3或﹣2C．3D．﹣2
【解答】解：∵y＝mx2+nx+m2﹣m﹣6，
∴x=−n2m，
因为n＜0，所以对称轴不可能是x＝0，所以第一个图，第二个图不正确．
三，四两个图都过原点，
∴m2﹣m﹣6＝0，即 （m﹣3）（m+2）＝0，
∴m＝3或﹣2．
第三个图中m＜0，开口才能向下．
对称轴为：x=−n2m＜0，
所以m可以为﹣2．
第四个图，m＞0，开口才能向下，
x=−n2m＞0，而从图上可看出对称轴小于0，从而m＝3不符合题意．
故选：D．
【典例4】（2023•定西二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
对称轴x＝﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即a﹣b≤m（am+b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：A．
【变式4-1】（2023•梅州一模）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有如下结论：
①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＜0，
∴①错误；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＜2，a＞0，
∵b＞﹣4a，
∴4a+b＞0，
∴③错误；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＜2，a＞0，
∴b＞﹣4a，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣4a+c＜0，
∴﹣3a+c＜0，
∴3a＞c，
∵a＞0，
∴4a＞c，
∴④正确．
故选：B．
【变式4-2】（2023•莱西市二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，其中x1+x2＝2，正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵+bx1＝+bx2，
∴+bx1﹣﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①④⑤共3个．
故选：B．
【变式4-3】（2023•邻水县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
由图象可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，
∴当x＝3时，y＜0，
即9a+3b+c＜0，
故②正确；
∵根据图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∴2a﹣2b+2c＜0，
∴结合b＝﹣2a，有﹣3b+2c＜0，
∴2c＜3b，
故③正确；
∵x＝1时，有y＝a+b+c，且此时y值达到最大，
又∵x＝m（m≠1）时，有y＝am2+bm+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
故④正确．
根据|ax2+bx+c|＝1有四个根，
可得ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1各有两个根，
当ax2+bx+c＝1时，有ax2+bx+c﹣1＝0，此时有，
当ax2+bx+c＝﹣1时，有ax2+bx+c+1＝0，此时有，
则有，
∵，
∴，
即：|ax2+bx+c|＝1的四个根和为4，
故⑤错误．
综上：①②③④正确，
故选：C．
【变式4-4】（2023•雁塔区校级三模）如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正确的是（ ）
A．②③B．②④C．②③④D．①②④
【答案】B
【解答】解：①∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故结论错误；
②∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1．
∴2a+b＝0．
故结论正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故结论不正确；
④当x＝2时，4a+2b+c＞0，故结论正确；
综上所述，正确的结论是②④．
故选：B．
【变式4-5】（2023•牡丹江一模）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④a+b≤m（am+b）（m为任意实数），其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故④正确，
故选：B．
【变式4-6】（2023•薛城区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b≥m（am+b）；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②错误．
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＝﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，③正确．
∵x＝1时，函数取最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b），④正确．
故选：B．
【题型4二次函数的平移变换】
【典例5】（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
【答案】B
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
【变式5-1】（2023春•金东区期末）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6
C．y＝（x+3）2+6D．y＝（x﹣3）2+2
【答案】A
【解答】解：将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为：y＝（x+3）2+2﹣4，即y＝（x+3）2﹣2．
故选：A．
【变式5-2】（2023•江夏区校级模拟）将二次函数y＝﹣x2的图象平移或翻折后经过点（1，0）有4种方法：
①向右平移1个单位长度，
②向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，
③向上平移1个单位长度，
④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，
你认为以上4种方法正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：①向右平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣（x﹣1）2，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故①符合题意；
②向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故②符合题意；
③向上平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+1，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣1，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故④符合题意；
故选：D．
【变式4-3】（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18B．b＝8，c＝14C．b＝﹣4，c＝6D．b＝4，c＝6
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
则b＝4，c＝6．
故选：D．
【变式4-4】（2022秋•鄄城县期末）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣4x+3，则b+c的值为 ．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
所以将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的函数解析式为：y＝（x﹣2+3）2﹣1+2＝x2+2x+2，
所以b＝2，c＝2，
所以b+c＝4．
故答案是：4．
【题型5 二次函数图像的对称变换】
【典例5】（2022秋•朔城区期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x+5
【答案】D
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5．
故选：D．
【变式5-1】（2021秋•新市区校级期末）将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴对称后的函数解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x+3C．y＝x2﹣2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3
【答案】D
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）关于y轴对称轴坐标为（﹣1，4），
∴抛物线关于y轴对称后解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
【变式5-2】（2022春•海曙区校级期中）将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣3）2+12 ．
【答案】y＝﹣（x﹣3）2+12．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴抛物线y＝x2﹣6x﹣3的顶点坐标为（3，﹣12），
∵点（3，﹣12）关于x轴对称的点的坐标为（3，12），
∴将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+12，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2+12．
【变式5-3】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．m=57，n=−187B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6D．m＝1，n＝﹣2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，
∴2m−1=3m+n2m−4=n，解之得m=1n=−2，
∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，
故选：D．
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】
【典例6】（2023•鼓楼区校级一模）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为﹣1B．最小值为3C．最大值为1D．最大值为3
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3中，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，
∴函数有最大值，
∵函数图象的顶点坐标为（1，3），
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值为3．
故选：D．
【变式6-1】（2022秋•盐山县校级期末）当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（ ）
A．0B．﹣3C．3D．﹣9
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上，
∴当x＝3时，该函数取最小值．
故选：C．
【变式6-2】（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y＝﹣x2﹣4x+c的最大值为0，则c的值等于（ ）
A．4B．﹣4C．﹣16D．16
【答案】B
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∵最大值为0，
∴4+c＝0，
解得c＝﹣4．
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是3，
故选：D．
【变式6-4】（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
【答案】A
【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，
故选：A．
【典例7】（2022秋•江门校级期末）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．﹣4或﹣B．4或﹣C．﹣4或D．4或
【答案】B
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx+2（m≠0），
∴二次函数对称轴为直线，
当m＞0时，
∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴当x＝1时，y＝m﹣2m+2＝﹣2，
∴m＝4；
当m＜0时，
∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴当x＝﹣2时，y＝4m+4m+2＝﹣2，
∴m＝﹣；
综上所述，m＝4或m＝﹣，
故选：B．
【变式7-1】（2022秋•和平区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（ ）
A．1B．2C．1或2D．±1或2
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数最小值为1，
当m+1＜1，即m＜0时，x＝m+1时y取最小值，
∴m＝（m+1﹣1）2+1，即m2﹣m+1＝0（无解），
当m≥1时，x＝m时y取最小值，
∵m＝（m﹣1）2+1，
解得m＝1或2，
∴整数m的值为1或2，
故选：C．
【变式7-2】（2021•东平县二模）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．8B．14C．8或14D．﹣8或﹣14
【解答】解：根据题意4(c−2)−(−6)24=±3，
解得c＝8或14．
故选：C．
【变式7-3】（2022秋•海曙区期末）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ﹣ ．
【答案】﹣．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．
故答案为：﹣．
【变式7-4】（2022秋•天河区校级期末）当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，则a的值为 4或﹣1 ．
【答案】4或﹣1．
【解答】解：当y＝3时，有﹣x2+2x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，
∴a﹣2＝2或a+1＝0，
∴a＝4或a＝﹣1，
故答案为：4或﹣1．
【变式7-5】（2023•合肥二模）已知：关于x的二次函数．
（1）当a＝4时，函数的最大值为 2 ．
（2）若函数的最大值为t，则t的最小值为 ．
【答案】（1）2；
（2）．
【解答】解：（1）当a＝4时，y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∵0≤x≤1＜2，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y有最大值为：2，
故答案为：2；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为：x＝﹣＝，
∵0≤x≤1，
①当＝时，即a＝1时，x＝0与x＝1时的函数值相同．
抛物线的解析式为y＝x2﹣x+，
在0≤x≤1范围内，x＝0或x＝1时，最大值t＝；
②时，即a＜1时，x＝1对应的函数值大于x＝0对应的函数值，
∴t＝1﹣a+＝1﹣；
③当时，即a＞1，x＝0对应的函数值大于x＝1对应的函数值，
∴t＝＞，
∴t的最小值为．
故答案为：．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
x
…
…
y
…
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…