高中第2章 平面解析几何初步2.3 两条直线的位置关系课时练习

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1．若直线l的一个方向向量是(－eq \r(3)，6)，则其斜率为( )
A．eq \f(\r(3),6)B．－eq \f(\r(3),6)
C．2eq \r(3)D．－2eq \r(3)
2．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝( )
A．－eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(3),2)
C．－1D．1
3．直线l过点A(－1，3)和B(3，2)，则直线l的一个法向量为( )
A．(－1，4) B．(2，5)
C．(5，－2) D．(－1，－4)
4．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m，3)的直线的一个方向向量为(3，－1)，则m的值为( )
A．4B．－4
C．10D．－10
5．已知直线l：eq \r(3)x－y＋3＝0，下列结论正确的是( )
A．直线l的倾斜角为eq \f(π,6)
B．直线l的法向量为(eq \r(3)，1)
C．直线l的方向向量为(1，eq \r(3))
D．直线l的斜率为－eq \r(3)
6．若直线l的一个法向量为v＝(1，－1)，则该直线的倾斜角为________．
7．过点(－1，2)且以直线2x－3y－7＝0的法向量为方向向量的直线的一般式方程是________．
8．已知直线mx＋ny＋1＝0的法向量为(4，3)，且在y轴上的截距为eq \f(1,3)，则m＋n＝________.9.(1)已知点A(2，3)在直线l上，直线l的方向向量为(2，3)，求l的方程；
(2)已知点A(2，3)在直线l上，直线l的法向量为(2，3)，求l的方程(结果写成一般式).
[提能力]
10．[2022·湖南长沙一中高二期中]下列直线经过点M(2，2)且在两坐标轴上截距相等的是( )
A．x－y＝0B．x＋y＝2
C．x＝2D．x＋y＝4
11．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的一个方向向量为a＝(－eq \r(3)，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为( )
A．－2eq \r(3)B．0
C．eq \r(3)D．2eq \r(3)
12．已知直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(1，5)，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________．
13．直线l过点A(2，a)，B(3，1)，C(b，－2)，则eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝________；若直线l的一个方向向量为m＝(2，－3)，则a＋b＝________．
14．已知菱形ABCD中，点A(－1，－2)，B(2，1)，直线BC的一个方向向量为a＝(3，6)，直线BD的一个法向量为v＝(－2，－3)，求点C的坐标．
[培优生]
15．已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，若m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是________．
课时作业(十六) 直线的方向向量与法向量
1．解析：若直线l的一个方向向量是(－eq \r(3)，6)，则直线l的斜率为eq \f(6,－\r(3))＝－2eq \r(3).
答案：D
2．解析：方法一 由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－3－y)，
又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，因为n∥eq \(AB,\s\up6(→))，
∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1.
方法二 由直线的方向向量为(－1，－1)得，直线的斜率为eq \f(－1,－1)＝1，
所以eq \f(y－（－3）,4－2)＝1，解得y＝－1.
答案：C
3．解析：直线l的方向向量为eq \(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)，由(－1)×4＋(－4)×(－1)＝0，得直线l的一个法向量为(－1，－4).
答案：D
4．解析：由题意知kAB＝eq \f(3－m＋2,－2m＋5)＝eq \f(5－m,－2m＋5)＝－eq \f(1,3)，解得m＝4.
答案：A
5．解析：直线l：eq \r(3)x－y＋3＝0的斜率为k＝eq \r(3)，则倾斜角为60°，故选项A，D不正确．所以向量(1，eq \r(3))为直线l的方向向量，故选项C正确．与直线l垂直的直线的斜率为－eq \f(\r(3),3)，所以与直线l垂直的直线的方向向量为(1，－eq \f(\r(3),3))，又向量(eq \r(3)，1)与向量(1，－eq \f(\r(3),3))不平行，故(eq \r(3)，1)不是直线l的法向量，故选项B不正确．
答案：C
6．解析：设直线l的倾斜角为θ，因为直线l的一个法向量为v＝(1，－1)，所以该直线的一个方向向量为u＝(－1，－1)，则tanθ＝1，又因为θ∈[0，π)，所以θ＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)
7．解析：由题意知直线2x－3y－7＝0的法向量为(2，－3)，
即为所求直线的方向向量．
所以所求直线的斜率为k＝－eq \f(3,2).
由点斜式得：y－2＝－eq \f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0
答案：3x＋2y－1＝0
8．解析：由题意知直线mx＋ny＋1＝0的方向向量为(3，－4)，
则直线斜率为k＝－eq \f(m,n)＝－eq \f(4,3)，即m＝eq \f(4,3)n，
又令x＝0，得y＝－eq \f(1,n)＝eq \f(1,3)，∴n＝－3.
∴m＝－4，
∴m＋n＝－7.
答案：－7
9．解析：(1)由题可知：直线的斜率为eq \f(3,2)，所以直线l的方程为：y－3＝eq \f(3,2)(x－2)，即3x－2y＝0.
(2)由题可设l的方程2x＋3y＋C＝0，所以2×2＋3×3＋C＝0⇒C＝－13，所以直线l的方程为：2x＋3y－13＝0.
10．解析：直线经过原点时满足条件，可得方程y＝x，即x－y＝0.
直线不经过原点时满足条件，可设方程x＋y＋a＝0，
把点M(2，2)代入可得2＋2＋a＝0，即a＝－4.∴方程为x＋y＝4.
综上可得直线方程为：x＝y或x＋y＝4.
故选AD.
答案：AD
11．解析：∵a＝(－eq \r(3)，0)，∴BC所在直线的斜率为0.又△ABC为等边三角形，
∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，
∴kAB＋kAC＝tan60°＋tan120°＝0.
答案：B
12．解析：由题意知－eq \f(A,B)＝5，
则A＝－5B，
又A－2B＋3C＝0，
∴C＝eq \f(7,3)B，
∴－5Bx＋By＋eq \f(7,3)B＝0，
即15x－3y－7＝0.
答案：15x－3y－7＝0
13．解析：由题意得，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，1－a)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(b－3，－3)，∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，∴－3－(1－a)(b－3)＝0，即(a－1)(b－3)－3＝0，∴ab－3a－b＝0.
∴3a＋b＝ab，等式两边同除以ab得eq \f(3,b)＋eq \f(1,a)＝1.
若m＝(2，－3)为直线l的一个方向向量，
则m∥eq \(AB,\s\up6(→))，m∥eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3－（1－a）×2＝0，,－6＋3（b－3）＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(5,2)，,b＝5，))∴a＋b＝eq \f(15,2).
答案：1 eq \f(15,2)
14．解析：设点C的坐标为(x0，y0)，则eq \(BC,\s\up6(→))＝(x0－2，y0－1).
由题意得，eq \(BC,\s\up6(→))∥a，则(x0－2)×6－3(y0－1)＝0，即2x0－y0－3＝0， ①
又eq \(AC,\s\up6(→))＝(x0＋1，y0＋2)，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∴eq \(AC,\s\up6(→))为直线BD的一个法向量，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥v，
∴－2(y0＋2)＋3(x0＋1)＝0即3x0－2y0－1＝0， ②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝5,y0＝7))，∴点C的坐标为(5，7).
15．解析：∵m与n共线，∴m＝(a，a2＋1)(a≠0)为直线AB的一个方向向量，∴kAB＝eq \f(a2＋1,a)＝a＋eq \f(1,a).
①当a＞0时，a＋eq \f(1,a)≥2，当且仅当a＝1时取等号，所以a＋eq \f(1,a)∈[2，＋∞).
②当a＜0时，a＋eq \f(1,a)＝－[(－a)＋eq \f(1,－a)]≤－2，当且仅当a＝－1时取等号，所以a＋eq \f(1,a)∈(－∞，－2]，故直线AB的斜率的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)