湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用练习题

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用练习题，共6页。试卷主要包含了求平面BPC的法向量等内容，欢迎下载使用。

A．(3，2，1) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(1，2，3)
2．已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
3．已知平面α经过点A(1，1，1)和B(－1，1，z)，n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，则实数z＝________．
4．已知A(1，1，1)，B(0，2，0)，C(2，3，1).
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)写出平面ABC的一个法向量．
5.已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A．－1，2B．1，－2
C．1，2D．－1，－2
6.
(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是( )
A．直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2)
B．直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
7．已知向量m＝(2，1，0)与n＝(a2，a，b)是平面α的两个法向量，则a＋b＝________．
8.
如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝eq \f(1,4)CD，H是C1G的中点，建立适当的空间直角坐标系，求线段EF，FH所在直线的一个方向向量．
9.
如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2.求平面BPC的法向量.
10.已知点A(2，－1，2)在平面α内，n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B．(1，3，eq \f(3,2))
C．(1，－3，eq \f(3,2)) D．(－1，3，－eq \f(3,2))
11．已知直线l1经过点P1(－1，2，3)，平行于向量s1＝(1，－1，2)，直线l2经过点P2(1，－2，0)，平行于向量s2＝(0，1，1)，求与两直线l1，l2都平行的平面α的一个法向量的坐标．
课时作业(十六) 空间直线的方向向量和平面的法向量
1．解析：∵A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，
∴直线l的一个方向向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，4，6)，
又∵(1，2，3)＝eq \f(1,2)(2，4，6)，∴(1，2，3)是直线l的一个方向向量．
答案：D
2．解析：显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·a＝0,n·b＝0))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝0,5x＋6y＋4z＝0))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2z,y＝z))，
分别验证各选项可知，只有选项C符合．
答案：C
3．解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，0，z－1)，
因为n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0，
即－2－(z－1)＝0，解得z＝－1.
答案：－1
4．解析：(1)因为B(0，2，0)，C(2，3，1)，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，1，1)，
所以直线BC的一个方向向量为eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，1，1).
(2)因为A(1，1，1)，B(0，2，0)，C(2，3，1)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，1，1)，
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，n·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝0,2x＋y＋z＝0))，
令y＝－1，则x＝2，z＝－3，所以n＝(2，－1，－3)，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(2，－1，－3).
5．解析：c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).
由c为平面α的法向量，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c·a＝0,c·b＝0))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m＋n＋1＝0,m＋5n－9＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1,n＝2)).
答案：A
6．解析：由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，
∵＝(－1，1，1)，∴向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确；
设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则，
由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－y＋z＝0,－x＋z＝0))，
令x＝1得n＝(1，1，1)，则C正确；
设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则，
由＝(0，－1，1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－b＋c＝0,－a＝0))，
令b＝1得m＝(0，1，1)，则D不正确．
答案：AC
7．解析：由题意知：n＝λm(λ≠0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2λ,a＝λ,b＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝0))(舍)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝0))，
∴a＋b＝2.
答案：2
8．解析：
以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，
因为E，F分别是DD1，DB的中点，
所以E(0，0，eq \f(1,2))，F(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，
因为G在棱CD上，CG＝eq \f(1,4)CD，H是C1G的中点，
所以G(0，eq \f(3,4)，0)，H(0，eq \f(7,8)，eq \f(1,2))，
所以EF，FH所在直线的一个方向向量分别为
eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))，eq \(FH,\s\up6(→))＝(－eq \f(1,2)，eq \f(3,8)，eq \f(1,2)).
9．解析：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥AC.
又底面四边形ABCD为矩形，
∴矩形ABCD为正方形．
建立如图所示的空间直角坐标系．
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，1)，D(0，2，0).
eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(－2，0，1)，
设平面BPC的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(BC,\s\up6(→))＝0,n·\(BP,\s\up6(→))＝0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y＝0,－2x＋z＝0))，取n＝(1，0，2).
∴平面BPC的一个法向量为n＝(1，0，2).
10．解析：设平面α内的一点为P(x，y，z)(不与点A重合)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1，z－2)，
因为n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，
所以eq \(AP,\s\up6(→))⊥n，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·n＝3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，
即3x＋y＋2z＝9，
对于A：3×1＋(－1)＋2×1＝4≠9，故选项A不正确；
对于B：3×1＋3＋2×eq \f(3,2)＝9，故选项B正确；
对于C：3×1＋(－3)＋2×eq \f(3,2)＝3≠9，故选项C不正确；
对于D：3×(－1)＋3＋2×(－eq \f(3,2))＝－3≠9，故选项D不正确．
答案：B
11．解析：由题设，直线l1、l2的方向向量分别为s1＝(1，－1，2)、s2＝(0，1，1)，而s1≠λs2(λ∈R)，
所以直线l1，l2不平行，
设与两直线l1，l2都平行的平面α的一个法向量m＝(x，y，z)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(s1·m＝x－y＋2z＝0,s2·m＝y＋z＝0))，
令z＝－1，则m＝(3，1，－1).
故与两直线l1，l2都平行的平面α的一个法向量的坐标(3，1，－1).
练基础
提能力
培优生