重庆市第八中学2024届高三适应性月考卷（八）数学试题

这是一份重庆市第八中学2024届高三适应性月考卷（八）数学试题，共14页。试卷主要包含了已知函数，已知双曲线过点且渐近线为，则，已知，那么等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有30件，则样本容量为（ ）
A.150 B.180 C.200 D.250
3.已知为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
4.设等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A.-1 B. C.1 D.2
5.一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有（ ）
A.4 B.7 C.10 D.12
6.已知圆台的上底面积为，下底面积为，且其外接球半径，则该圆台的高为（ ）
A.6或7 B.8或12 C.6或8 D.7或12
7.已知函数.若，对，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知平面向量均为单位向量，且，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知双曲线过点且渐近线为，则（ ）
A.的方程为
B.的离心率为
C.直线经过的一个焦点
D.的两条渐近线的夹角的正切值为
10.已知，那么（ ）
A.若的最小正周期为，则
B.若的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数，则
C.若在上恰有2个极值点，则的取值范围为
D.存在，使得在上单调递减
11.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”.如图所示，正六边形的边长为1，分别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，再取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，依次类推对于阴影部分，记第一个阴影的最大边长为，面积为；第二个阴影的最大边长为，面积为，第三个阴影三角形的最大边长为，面积为，依次类推.则（ ）
A.数列是以为公比的等比数列
B.
C.任意阴影三角形的最小角的余弦值为
D.数列的前2023项和小于
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.抛物线的焦点为，点在上，若，则的值为__________.
13.设曲线在点处的切线为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________.
14.如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为__________；（2分）设直线与平面所成角分别为，则__________.（3分）
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求.
16.（本小题满分15分）
如图，为菱形，，将菱形沿旋转至，使得，为线段上一动点.
（1）求证：平面；
（2）当为中点时，求平面与平面所成角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分别为.
（1）求；
（2）现采用不放回摸球，设表示“第次取出的是黄球”，证明：；
（3）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.并比较所求两概率的大小，说明其实际含义.
18.（本小题满分17分）
过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线交于两点，的垂直平分线交轴于点，交直线于点.
（1）为坐标原点，求的取值范围；
（2）若四点在同一圆上，求的值.
19.（本小题满分17分）
给出以下两个数学运算（符号）定义：
①若函数，则，其中称为函数的次迭代.如：.
②对于正整数，若被除得的余数为，则称同余于，记为.如：.
（1）若函数，求；
（2）设是一个给定的正整数，函数记集合.
①证明：当时，；
②求并猜想.
数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1.集合，所以，故选B.
2.由题意样本容量为，故选A，
3.，故选D.
4.，故，故选C.
5.由于甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，因此将甲､乙捆绑，则可认为三名同学受邀参加一个晚会，并且有人必须去，每个人有两种选择，则共有种，而其中有一种情况是三名同学都不去，则共有7种方案，故选B.
6.设上下底面半径分别为，则，设球心到上下底面的距离分别分别为，则，故，于是圆台高或，故选C.
7.，由条件，且，即且，所以，故选B.
8.设，由，可得，所以点在圆上，则.数形结合可得，所以的取值范围为，故选D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.若的焦点在轴，，又，则，若的焦点在轴，，又，则，舍；故的方程为，故A正确；所以的离心率为，故B错误，直线过的右焦点，故正确；的两条渐近线夹角的正切值为，故D正确，故选ACD.
10.，又，故A正确；将的图象向左平移个单位长度后得到，若所得函数为偶函数，则，得，所以，故错误；由，得，若在上恰有2个极值点，则，解得，故C正确；由，得无解，即在上不可能单调递减，故D错误，故选AC.
11.正六边形的边长为正六边形的每个内角为，由题知，在中，由余弦定理，
得，
则，易知
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
数列是以为首项，
以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，故A错误；
，故正确；记阴影三角形的最小角为，由余弦定理，得，故C正确；的前2023项和为，故D正确，故选BCD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.，则，则，又，则.
13.，所以的方程为与两坐标轴围成的三角形面积.
14.，故三线两两垂直；
如图1构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为，则，即，所以所求外接球的体积为.
如图2，取的中点，连接；由可知，故平面，即平面平面，作，垂足为，则平面，与平面所成角分别为，由上述过程可知，所以，
所以.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1），
，故.
（2）由余弦定理可得：，
又.
，即.
.
16.（本小题满分15分）
（1）证明：平面平面，
故平面，
同理，由可知平面，
故平面平面平面，
所以平面.
（2）解：如图，取的中点，连接，
由条件可知，，
，故
，同理，且，故，
即，又平面.
如图，建立空间直角坐标系，
则.
从而，得，
，
设平面和平面的法向量分别为，
由，
得，取，
故，
由，
取，故，
设平面与平面所成角为，
则.
17.（本小题满分15分）
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，则.
对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立，
则服从超几何分布，则.
（2），即采用不放回摸球，每次取到黄球的概率都为，
，
又，
则.
（3）样本中黄球的比例分别为随机变量，
有放回摸球时，概率
，
不放回摸球时，概率
.
，所以在误差不超过0.2的相同限制下，用样本中黄球比例估计总体中黄球比例，采用不放回估计的结果更可靠些.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由于不与坐标轴垂直，设的中点为.
由，得，
则，
则，则，于是，
于是的垂直平分线，
即，令，得，则.
（2）由四点共圆且直线垂直平分可知为直径，
设的中点为，则为圆心，，
于是，
，
又
又，
则，
化简得，则，于是.
处理二：由四点在同一圆上可得，
从而得到（相交弦定理），即.
即，
由于是直径且为上一点，故，
故
于是化简得，即.
19.（本小题满分17分）
解：（1）.
（2）①（i）当时，设，则，，故
（ii）当时，设，则，，故；
（iii）当时，设，则，，故；
综上，当时，.
②（i），由（2）知当时，有，故，而，故.
（ii）计算得：
当且时，；
下证：对于任意且.
由（2）知，若，则，故；
若，则，故；
综上，对于任意且.
故.
（iii）猜想得.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
AC
BCD
题号
12
13
14
答案
；