+广东省深圳实验学校2023—-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份+广东省深圳实验学校2023—-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共24页。

A．B．
C．D．
2．（3分）如果与的和等于3，那么a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（3分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A．B．C．D．1
4．（3分）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（ ）
A．23°B．53°C．60°D．67°
5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A．2B．C．3D．4
6．（3分）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
7．（3分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BCB．AO＝BOC．∠1＝∠2D．AC⊥BD
8．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，记x＝，y＝，z＝，则有（ ）
A．x＞y＞zB．x＝y＝zC．x＝y＞zD．x＞y＝z
二.填空题（每空3分，共15分，将答案写在答题卷上）
11．（3分）因式分解：﹣2x2+18＝ ．
12．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
13．（3分）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为 ．
14．（3分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝ cm．
15．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝ ．
​
三.解答题（共7小题，16题8分，17题5分，18题7分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（8分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
17．（5分）先化简，再求值：，其中x＝1．
18．（7分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分优秀，良好，合格，不合格四个等级（分别用A，B，C，D表示），现从中随机抽取若干名学生的“综合素质“的等级作为样本进行数据分析，并绘制下列两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）本次随机抽取的学生有 名，等级为优秀（A）的学生人数所占的百分比是 ；
（2）在扇形统计图中，等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校九年级学生共1200名，请根据以上调查结果估算，等级为良好及良好以上的学生共有多少名？
19．（8分）班级搞活动，需要购置甲乙两种物品．已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同．
（1）求甲乙两种物品每件的价格分别是多少元？
（2）若550元班会费全部用于购买甲乙两种物品（两种都要有），问可购买甲乙两种物品各几件？
20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．
（1）求证：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．
21．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
22．（10分）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 ．
2023-2024学年广东省深圳实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分，将正确答案的代号写在答题卷上）
1．（3分）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，故不符合题意；
B．圆锥的三视图主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；
C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
D．球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：D．
2．（3分）如果与的和等于3，那么a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：∵与＝2的和等于3，
∴＝3﹣2＝，
故a+1＝3，
则a＝2．
故选：C．
3．（3分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：∵四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为＝，
故选：B．
4．（3分）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（ ）
A．23°B．53°C．60°D．67°
【解答】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FHG．
又∵∠1+∠E＝∠FHG，
∴∠2＝∠1+∠E＝23°+30°＝53°．
故选：B．
5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A．2B．C．3D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴CB＝＝5，
∵E为边BC的中点，
∴OE＝BC＝．
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
7．（3分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BCB．AO＝BOC．∠1＝∠2D．AC⊥BD
【解答】解：A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AO＝BO，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
即AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选：B．
8．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意；
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，
故选：C．
9．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：∵b+c＝5，
∴c＝5﹣b．
Δ＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．
∵（b﹣6）2≥0，
∴（b﹣6）2+24＞0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，记x＝，y＝，z＝，则有（ ）
A．x＞y＞zB．x＝y＝zC．x＝y＞zD．x＞y＝z
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠BAF+∠DEA＝90°，
∴∠AFB＝∠DEA，
在△AFB和△DEA，
，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴∠BAF＝∠ADE，BF＝AE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，
∴∠ADE＝∠BDE＝22.5°，
∵∠ABF＝∠AON＝90°，∠BAF＝∠NAO，
∴△ABF∽△AON，
∵∠BAN＝∠CAF，∠ABN＝∠ACF＝45°，
∴△BAN∽△CAF，
∴y＝
＝
＝
＝，
z＝
＝
＝，
∴y＝z，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴BE＝CF，
∴＝＝，
∵∠ADE＝22.5°，∠EAD＝90°，
∴∠AEM＝67.5°，∠AME＝∠ADE+∠MAD＝67.5°，
∴∠AEM＝∠AME，
∴AE＝AM，
过点M作MH⊥AD于点H，如图：
∵∠ADE＝22.5°，∠EDB＝45°，
∴∠MDO＝∠MDH＝22.5°，
∵MH⊥AD，MO⊥AC，
∴OM＝HM，
∵∠MAH＝45°，∠MHA＝90°，
∴AM＝HM＝OM，
∴AE＝OM，
∴BE＝AE＝2OM，
∴x＝＝2，
∴x＞y＝z．
解法二：作OP∥AB交DE于P．
∵AN平分∠BAO，
∴＝＝＝＝，即y＝z＝．
∵△AEM的角平分线与高重合．
∴△AEM的等腰三角形，AM＝AE，
∵OP∥AB，OB＝OD，
∴EP＝DP，
∴△OMP∽△AME，
∴＝，
∴OP＝OM，
∴x＝＝＝2，
∴x＞y＝z，
故选：D．
二.填空题（每空3分，共15分，将答案写在答题卷上）
11．（3分）因式分解：﹣2x2+18＝ ﹣2（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：﹣2x2+18＝﹣2（x2﹣9）＝﹣2（x+3）（x﹣3），
故答案为：﹣2（x+3）（x﹣3）．
12．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）．
【解答】解：∵y＝中k＝6＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
13．（3分）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为 2 ．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝1，
∴a+b﹣ab＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝ cm．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5（cm），
过F作FH⊥AB于H，
∴∠BHF＝∠C＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BFH∽△BAC，
∴＝＝，
∵点F是边BC的中点，
∴BF＝BC＝2，
∴＝＝，
∴FH＝，BH＝，
∴EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，
∵现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，
∴EF＝AE，
∵EF2＝HF2+EH2，
∴AE2＝（）2+（﹣AE）2，
解得：AE＝（cm），
故答案为：．
15．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝ ﹣3 ．
​
【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝|n|，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三.解答题（共7小题，16题8分，17题5分，18题7分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（8分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，
∴x＝＝，
∴，；
（2），
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．
17．（5分）先化简，再求值：，其中x＝1．
【解答】解：原式＝﹣+
＝
＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
18．（7分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分优秀，良好，合格，不合格四个等级（分别用A，B，C，D表示），现从中随机抽取若干名学生的“综合素质“的等级作为样本进行数据分析，并绘制下列两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）本次随机抽取的学生有 50 名，等级为优秀（A）的学生人数所占的百分比是 40% ；
（2）在扇形统计图中，等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是 57.6° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校九年级学生共1200名，请根据以上调查结果估算，等级为良好及良好以上的学生共有多少名？
【解答】解：（1）∵被调查的学生数为：18÷36%＝50（人），
∴A等级人数为50﹣（18+8+4）＝20（人），
则等级为优秀（A）的学生人数所占的百分比是 ×100%＝40%，
故答案为：50，40%；
（2）等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是360°×＝57.6°，
故答案为：57.6°；
（3）补全条形统计图如下：
（4）（名），
答：评价结果为良好及良好等级以上的学生大约共有912名．
19．（8分）班级搞活动，需要购置甲乙两种物品．已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同．
（1）求甲乙两种物品每件的价格分别是多少元？
（2）若550元班会费全部用于购买甲乙两种物品（两种都要有），问可购买甲乙两种物品各几件？
【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格为x元，则每件甲种物品的价格为（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝50．
答：每件甲种物品的价格为50元，每件乙种物品的价格为40元．
（2）设可以购进甲种物品m件，乙种物品n件，
依题意得：50m+40n＝550，
∴m＝11﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或．
答：可以购进7件甲种物品、5件乙种物品或3件甲种物品、10件乙种物品．
20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．
（1）求证：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．
【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO＝∠NDO，
又∠BOM＝∠DON，
∴△BOM≌△DON（ASA），
∴BM＝DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN＝∠BNM；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
21．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1＝．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．
把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），
∴．
∴．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，
∴Q（p，）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣．
∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣）•p＝3．
解得p1＝，p2＝2．
∴P（，4）或（2，5）．
22．（10分）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 200 ．
【解答】【阅读理解】解：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵AB＝a，BC＝b，
∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；
【探究发现】解：上述结论依然成立，
理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF，BE＝CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②，
由①②，可得
AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
AB2＝AE2+BE2，
∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2；
【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO＝OE，
∵BO是AC边上的中线，
∴AO＝CO，
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCE是平行四边形，
由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，
∵BE＝2BO，
∴BE2＝4BO2，
∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，
∴4BO2+c2＝2a2+2b2，
∴．
【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H，
则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，
∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，
设BH＝x，CH＝12﹣x，
∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
方法二：以PB、PC为一组邻边构造平行四边形PBQC，
设AP＝x，则PQ＝2，
由（2）得，PQ2+BC2＝2PB2+2PC2，
∴PB2+PC2＝（PQ2+BC2）＝[4×（82+（6﹣x）2+122]＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
故答案为：200．
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