+广东省深圳实验学校2023—-2024学年九年级上学期期中数学试卷
展开A.B.
C.D.
2.(3分)如果与的和等于3,那么a的值是( )
A.0B.1C.2D.3
3.(3分)从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中,随机抽取一张,则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为( )
A.B.C.D.1
4.(3分)在数学活动课上,小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上,测得∠1=23°,则∠2的度数是( )
A.23°B.53°C.60°D.67°
5.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的中点,连结OE.若AC=6,BD=8,则OE=( )
A.2B.C.3D.4
6.(3分)如图,在△ABC中,PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线,若∠BAC=110°,则∠PAQ的度数是( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
7.(3分)如图,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BCB.AO=BOC.∠1=∠2D.AC⊥BD
8.(3分)函数y=与y=kx+1(k为常数,k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
A.B.
C.D.
9.(3分)当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
10.(3分)如图,正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,DE交AC于M,AF交BD于点N,若AF平分∠BAC,DE⊥AF,记x=,y=,z=,则有( )
A.x>y>zB.x=y=zC.x=y>zD.x>y=z
二.填空题(每空3分,共15分,将答案写在答题卷上)
11.(3分)因式分解:﹣2x2+18= .
12.(3分)若点A(﹣3,y1),B(﹣1,y2)都在反比例函数y=的图象上,则y1 y2(填“>”或“<”).
13.(3分)若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个实数根,则代数式a+b﹣ab的值为 .
14.(3分)如图,直角三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点D,E分别在边AC,AB上,点F是边BC的中点.现将该纸片沿DE折叠,使点A与点F重合,则AE= cm.
15.(3分)如图,正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上,则n的值= .
三.解答题(共7小题,16题8分,17题5分,18题7分,19题8分,20题8分,21题9分,22题10分)
16.(8分)(1)解方程:2x2+x﹣2=0;
(2)解不等式组:.
17.(5分)先化简,再求值:,其中x=1.
18.(7分)某校对九年级学生进行“综合素质”评价,评价结果分优秀,良好,合格,不合格四个等级(分别用A,B,C,D表示),现从中随机抽取若干名学生的“综合素质“的等级作为样本进行数据分析,并绘制下列两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息,解答下列问题.
(1)本次随机抽取的学生有 名,等级为优秀(A)的学生人数所占的百分比是 ;
(2)在扇形统计图中,等级为合格(C)的学生所在扇形的圆心角度数是 ;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)若该校九年级学生共1200名,请根据以上调查结果估算,等级为良好及良好以上的学生共有多少名?
19.(8分)班级搞活动,需要购置甲乙两种物品.已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元,用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同.
(1)求甲乙两种物品每件的价格分别是多少元?
(2)若550元班会费全部用于购买甲乙两种物品(两种都要有),问可购买甲乙两种物品各几件?
20.(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN.
(1)求证:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形.
21.(9分)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为的图象交于两点.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出满足y1﹣y2>0时x的取值范围;
(3)点P在线段AB上,过点P作x轴的垂线,垂足为M,交函数y2的图象于点Q,若△POQ的面积为3,求点P的坐标.
22.(10分)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中,若AB=a,BC=b,由勾股定理,得AC2=a2+b2同理BD2=a2+b2,故AC2+BD2=2(a2+b2).
【探究发现】如图2,四边形ABCD为平行四边形,若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立?请加以判断,并说明理由.
【拓展提升】如图3,已知BO为△ABC的一条中线,AB=a,BC=b,AC=c.
求证:.
【尝试应用】如图4,在矩形ABCD中,若AB=8,BC=12,点P在边AD上,则PB2+PC2的最小值为 .
2023-2024学年广东省深圳实验学校九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(每题3分,共30分,将正确答案的代号写在答题卷上)
1.(3分)下列几何体中,三视图的三个视图完全相同的几何体是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:A.长方体的主视图和左视图都是矩形,俯视图是正方形,故不符合题意;
B.圆锥的三视图主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是带圆心的圆,故不符合题意;
C.圆柱的三视图既有圆又有长方形,故不符合题意;
D.球的三视图都是圆,故符合题意;
故选:D.
2.(3分)如果与的和等于3,那么a的值是( )
A.0B.1C.2D.3
【解答】解:∵与=2的和等于3,
∴=3﹣2=,
故a+1=3,
则a=2.
故选:C.
3.(3分)从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中,随机抽取一张,则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为( )
A.B.C.D.1
【解答】解:∵四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆,其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆,
∴现从中任意抽取一张,卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为=,
故选:B.
4.(3分)在数学活动课上,小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上,测得∠1=23°,则∠2的度数是( )
A.23°B.53°C.60°D.67°
【解答】解:如图,三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H.
∵AB∥CD,
∴∠2=∠FHG.
又∵∠1+∠E=∠FHG,
∴∠2=∠1+∠E=23°+30°=53°.
故选:B.
5.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的中点,连结OE.若AC=6,BD=8,则OE=( )
A.2B.C.3D.4
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OC=AC,OB=BD,AC⊥BD,
∵AC=6,BD=8,
∴OC=3,OB=4,
∴CB==5,
∵E为边BC的中点,
∴OE=BC=.
故选:B.
6.(3分)如图,在△ABC中,PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线,若∠BAC=110°,则∠PAQ的度数是( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
【解答】解:∵∠BAC=110°,
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=70°,
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线,
∴AP=BP,CQ=AQ,
∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°,
∵∠BAC=110°,
∴∠PAQ=∠BAC﹣(∠BAP+∠CAQ)=110°﹣70°=40°,
故选:A.
7.(3分)如图,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BCB.AO=BOC.∠1=∠2D.AC⊥BD
【解答】解:A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AO=BO,
∴OA=OC=OB=OD,
即AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,故本选项正确;
C、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠ACB,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠ACB,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,不能推出四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
D、∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形,不能推出四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
故选:B.
8.(3分)函数y=与y=kx+1(k为常数,k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:当k>0时,函数y=的图象在第一、三象限,函数y=kx+1在第一、二、三象限,故选项C符合题意,选项D不符合题意;
当k<0时,函数y=的图象在第二、四象限,函数y=kx+1在第一、二、四象限,故选项A、B不符合题意,
故选:C.
9.(3分)当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
【解答】解:∵b+c=5,
∴c=5﹣b.
Δ=b2﹣4×3×(﹣c)=b2+12c=b2﹣12b+60=(b﹣6)2+24.
∵(b﹣6)2≥0,
∴(b﹣6)2+24>0,
∴Δ>0,
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0有两个不相等的实数根.
故选:A.
10.(3分)如图,正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,DE交AC于M,AF交BD于点N,若AF平分∠BAC,DE⊥AF,记x=,y=,z=,则有( )
A.x>y>zB.x=y=zC.x=y>zD.x>y=z
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∠BAC=45°,
∴∠BAF+∠AFB=90°,
∵DE⊥AF,
∴∠BAF+∠DEA=90°,
∴∠AFB=∠DEA,
在△AFB和△DEA,
,
∴△AFB≌△DEA(AAS),
∴∠BAF=∠ADE,BF=AE,
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF=22.5°,
∴∠ADE=∠BDE=22.5°,
∵∠ABF=∠AON=90°,∠BAF=∠NAO,
∴△ABF∽△AON,
∵∠BAN=∠CAF,∠ABN=∠ACF=45°,
∴△BAN∽△CAF,
∴y=
=
=
=,
z=
=
=,
∴y=z,
∵BF=AE,AB=BC,
∴BE=CF,
∴==,
∵∠ADE=22.5°,∠EAD=90°,
∴∠AEM=67.5°,∠AME=∠ADE+∠MAD=67.5°,
∴∠AEM=∠AME,
∴AE=AM,
过点M作MH⊥AD于点H,如图:
∵∠ADE=22.5°,∠EDB=45°,
∴∠MDO=∠MDH=22.5°,
∵MH⊥AD,MO⊥AC,
∴OM=HM,
∵∠MAH=45°,∠MHA=90°,
∴AM=HM=OM,
∴AE=OM,
∴BE=AE=2OM,
∴x==2,
∴x>y=z.
解法二:作OP∥AB交DE于P.
∵AN平分∠BAO,
∴====,即y=z=.
∵△AEM的角平分线与高重合.
∴△AEM的等腰三角形,AM=AE,
∵OP∥AB,OB=OD,
∴EP=DP,
∴△OMP∽△AME,
∴=,
∴OP=OM,
∴x===2,
∴x>y=z,
故选:D.
二.填空题(每空3分,共15分,将答案写在答题卷上)
11.(3分)因式分解:﹣2x2+18= ﹣2(x+3)(x﹣3) .
【解答】解:﹣2x2+18=﹣2(x2﹣9)=﹣2(x+3)(x﹣3),
故答案为:﹣2(x+3)(x﹣3).
12.(3分)若点A(﹣3,y1),B(﹣1,y2)都在反比例函数y=的图象上,则y1 > y2(填“>”或“<”).
【解答】解:∵y=中k=6>0,
∴在每个象限内,y随x的增大而减小,
∵﹣3<﹣1<0,
∴y1>y2.
故答案为:>.
13.(3分)若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个实数根,则代数式a+b﹣ab的值为 2 .
【解答】解:∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个实数根,
∴a+b=3,ab=1,
∴a+b﹣ab=3﹣1=2.
故答案为:2.
14.(3分)如图,直角三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点D,E分别在边AC,AB上,点F是边BC的中点.现将该纸片沿DE折叠,使点A与点F重合,则AE= cm.
【解答】解:∵∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,
∴AB==5(cm),
过F作FH⊥AB于H,
∴∠BHF=∠C=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BFH∽△BAC,
∴==,
∵点F是边BC的中点,
∴BF=BC=2,
∴==,
∴FH=,BH=,
∴EH=5﹣﹣AE=﹣AE,
∵现将该纸片沿DE折叠,使点A与点F重合,
∴EF=AE,
∵EF2=HF2+EH2,
∴AE2=()2+(﹣AE)2,
解得:AE=(cm),
故答案为:.
15.(3分)如图,正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上,则n的值= ﹣3 .
【解答】解:连接正方形的对角线,由正方形的性质知对角线交于原点O,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,点B在函数y=上,如图:
∵四边形是正方形,
∴AO=BO,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°,
∴∠CAO=90°﹣∠AOC=∠BOD,
∴△AOC≌△BOD(AAS),
∴S△AOC=S△OBD==|n|,
∵点A在第二象限,
∴n=﹣3,
故答案为:﹣3.
三.解答题(共7小题,16题8分,17题5分,18题7分,19题8分,20题8分,21题9分,22题10分)
16.(8分)(1)解方程:2x2+x﹣2=0;
(2)解不等式组:.
【解答】解:(1)2x2+x﹣2=0,
∵a=2,b=1,c=﹣2,
∴b2﹣4ac=12﹣4×2×(﹣2)=17,
∴x==,
∴,;
(2),
解不等式①得x>﹣1,
解不等式②得:x<3,
∴不等式组的解集为:﹣1<x<3.
17.(5分)先化简,再求值:,其中x=1.
【解答】解:原式=﹣+
=
=
=
=,
当x=1时,原式==.
18.(7分)某校对九年级学生进行“综合素质”评价,评价结果分优秀,良好,合格,不合格四个等级(分别用A,B,C,D表示),现从中随机抽取若干名学生的“综合素质“的等级作为样本进行数据分析,并绘制下列两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息,解答下列问题.
(1)本次随机抽取的学生有 50 名,等级为优秀(A)的学生人数所占的百分比是 40% ;
(2)在扇形统计图中,等级为合格(C)的学生所在扇形的圆心角度数是 57.6° ;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)若该校九年级学生共1200名,请根据以上调查结果估算,等级为良好及良好以上的学生共有多少名?
【解答】解:(1)∵被调查的学生数为:18÷36%=50(人),
∴A等级人数为50﹣(18+8+4)=20(人),
则等级为优秀(A)的学生人数所占的百分比是 ×100%=40%,
故答案为:50,40%;
(2)等级为合格(C)的学生所在扇形的圆心角度数是360°×=57.6°,
故答案为:57.6°;
(3)补全条形统计图如下:
(4)(名),
答:评价结果为良好及良好等级以上的学生大约共有912名.
19.(8分)班级搞活动,需要购置甲乙两种物品.已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元,用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同.
(1)求甲乙两种物品每件的价格分别是多少元?
(2)若550元班会费全部用于购买甲乙两种物品(两种都要有),问可购买甲乙两种物品各几件?
【解答】解:(1)设每件乙种物品的价格为x元,则每件甲种物品的价格为(x+10)元,
依题意得:=,
解得:x=40,
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意,
∴x+10=50.
答:每件甲种物品的价格为50元,每件乙种物品的价格为40元.
(2)设可以购进甲种物品m件,乙种物品n件,
依题意得:50m+40n=550,
∴m=11﹣n.
又∵m,n均为正整数,
∴或.
答:可以购进7件甲种物品、5件乙种物品或3件甲种物品、10件乙种物品.
20.(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN.
(1)求证:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形.
【解答】证明:(1)连接BD,交AC于点O,如图:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵BM∥DN,
∴∠MBO=∠NDO,
又∠BOM=∠DON,
∴△BOM≌△DON(ASA),
∴BM=DN,
∴四边形BMDN为平行四边形,
∴BN∥DM,
∴∠DMN=∠BNM;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,
∴∠BCA=∠DAC,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=∠BCA,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴MN⊥BD,
∴平行四边形BMDN是菱形.
21.(9分)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为的图象交于两点.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出满足y1﹣y2>0时x的取值范围;
(3)点P在线段AB上,过点P作x轴的垂线,垂足为M,交函数y2的图象于点Q,若△POQ的面积为3,求点P的坐标.
【解答】解:(1)∵反比例函数y2=(x>0)的图象经过点A(4,1),
∴1=.
∴m=4.
∴反比例函数解析式为y2=(x>0).
把B(,a)代入y2=(x>0),得a=8.
∴点B坐标为(,8),
∵一次函数解析式y1=kx+b图象经过A(4,1),B(,8),
∴.
∴.
故一次函数解析式为:y1=﹣2x+9.
(2)由y1﹣y2>0,
∴y1>y2,即反比例函数值小于一次函数值.
由图象可得,<x<4.
(3)由题意,设P(p,﹣2p+9)且≤p≤4,
∴Q(p,).
∴PQ=﹣2p+9﹣.
∴S△POQ=(﹣2p+9﹣)•p=3.
解得p1=,p2=2.
∴P(,4)或(2,5).
22.(10分)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中,若AB=a,BC=b,由勾股定理,得AC2=a2+b2同理BD2=a2+b2,故AC2+BD2=2(a2+b2).
【探究发现】如图2,四边形ABCD为平行四边形,若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立?请加以判断,并说明理由.
【拓展提升】如图3,已知BO为△ABC的一条中线,AB=a,BC=b,AC=c.
求证:.
【尝试应用】如图4,在矩形ABCD中,若AB=8,BC=12,点P在边AD上,则PB2+PC2的最小值为 200 .
【解答】【阅读理解】解:如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AC=BD,
∴AC2=AB2+BC2,
∵AB=a,BC=b,
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2)=2a2+2b2;
【探究发现】解:上述结论依然成立,
理由:如图②,作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,且AB=DC,
∴∠ABE=∠DCF,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(AAS),
∴AE=DF,BE=CF,
在Rt△ACE中,由勾股定理,可得
AC2=AE2+CE2=AE2+(BC﹣BE)2…①,
在Rt△BDF中,由勾股定理,可得
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=DF2+(BC+BE)2…②,
由①②,可得
AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2,
在Rt△ABE中,由勾股定理,可得
AB2=AE2+BE2,
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2=2a2+2b2;
【拓展提升】证明:如图3,延长BO至点E,使BO=OE,
∵BO是AC边上的中线,
∴AO=CO,
又∵AO=CO,
∴四边形ABCE是平行四边形,
由【探究发现】,可得BE2+AC2=2AB2+2BC2,
∵BE=2BO,
∴BE2=4BO2,
∵AB=a,BC=b,AC=c,
∴4BO2+c2=2a2+2b2,
∴.
【尝试应用】解:过P作PH⊥BC于H,
则四边形APHB和四边形PHCD是矩形,
∴AB=PH=CD=8,AP=BH,PD=CH,
设BH=x,CH=12﹣x,
∴PB2+PC2=PH2+BH2+PH2+CH2=82+x2+82+(12﹣x)2=2x2﹣24x+272=2(x﹣6)2+200,
故PB2+PC2的最小值为200,
方法二:以PB、PC为一组邻边构造平行四边形PBQC,
设AP=x,则PQ=2,
由(2)得,PQ2+BC2=2PB2+2PC2,
∴PB2+PC2=(PQ2+BC2)=[4×(82+(6﹣x)2+122]=2x2﹣24x+272=2(x﹣6)2+200,
故PB2+PC2的最小值为200,
故答案为:200.
声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/11/10 13:03:39;用户:13266899461;邮箱:13266899461;学号:32205309
广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷: 这是一份广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷,共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
广东省深圳实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷: 这是一份广东省深圳实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷,共27页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
广东省深圳市实验学校坂田部2023-2024学年上学期七年级 期中数学试卷: 这是一份广东省深圳市实验学校坂田部2023-2024学年上学期七年级 期中数学试卷,共5页。