广东省深圳市深圳实验学校初中部2023-2024学年 九年级上学期开学考数学试卷

这是一份广东省深圳市深圳实验学校初中部2023-2024学年 九年级上学期开学考数学试卷，共19页。试卷主要包含了已知2x＝3y等内容，欢迎下载使用。

深圳实验学校初中部2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知2x＝3y（y＞0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．如果a＞b，那么下列运算正确的是（　　）
A．a－3＜b－3 B．a＋3＜b＋3 C．3a＜3b D．＜
4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（－2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　）

A．（－2，－1） B．（－2，1） C．（－，1） D．（－，－1）
8．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
9．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△OAB中，OA＝8，C为线段AB上一点，且AC＝1，BC＝4，将△OAC沿OC翻折，点A落在点D处，延长CD至点E，连接OE，且∠COE＝45°，则DE的值是（　　）

A． B． C． D．5

二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：a3b－ab＝　 　
12．关于x的分式方程＋＝3有增根，则m＝　 　．
13．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　 　．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　．

15．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，点E为BC上一动点，DC⊥BC，连接AE，DE．DE与AC交于点F，，若BE＝DC，则AE＝　 　．

三．解答题（共55分）
16．（8分）（1）解方程：3x2－2x－2＝0；（2）解方程：．





17．（7分）先化简（－a＋1）÷，再从不等式－2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．








18．（8分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）△CAE≌△BAF；
（2）△ACE∽△AFQ．






19．（6分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．





20．（8分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？







21．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
​














22．（9分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．


深实验初中部开学考参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、D，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、D不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C不符合题意．
故选：A．
2．已知2x＝3y（y＞0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵2x＝3y，∴＝，＝．故选：A．
3．如果a＞b，那么下列运算正确的是（　　）
A．a－3＜b－3 B．a＋3＜b＋3 C．3a＜3b D．＜
【解答】解：A、若a＞b，则a－3＞b－3，故A不符合题意；
B、若a＞b，则a＋3＞b＋3，故B不符合题意；
C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意；
D、若a＞b，则＜，正确，故D符合题意．故选：D．
4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．故选：A．
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝105°．故选：D．
6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．
7．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（－2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　）

A．（－2，－1） B．（－2，1） C．（－，1） D．（－，－1）
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，∴∠BEA＝90°，
∵点A的坐标为（－2，0），∴OA＝2，
∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝2，AB∥OC，∴∠EAB＝∠AOC＝60°，
∴∠ABE＝30°，∴，
由勾股定理得，
∴OE＝AE＋OA＝1＋2＝3，∴点B的坐标是，
将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，
∴点B′的坐标为，故选：A．

8．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
【解答】解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴EF∥BC，BD＝CD，设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD•h，S△DCF＝CD•h，∴S△BDE＝S△DCF，故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴EF＝BC，DF＝AB，
若AB＝BC，则FE＝DF，∴四边形AEDF不一定是菱形，故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；故选：C．

9．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，由题意，得．
∴菱形的边长＝＝＝＝＝＝．
故选：C．
10．如图，在Rt△OAB中，OA＝8，C为线段AB上一点，且AC＝1，BC＝4，将△OAC沿OC翻折，点A落在点D处，延长CD至点E，连接OE，且∠COE＝45°，则DE的值是（　　）

A． B． C． D．5
【解答】解：如图，过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于Q，过点O作OT⊥QE交QE的延长线于T，设DE＝x．

∵∠T＝∠Q＝∠A＝90°，∴四边形AOTQ是矩形，∴∠AOT＝90°，
∵∠COE＝45°，∴∠AOC＋∠EOT＝45°，∠COD＋∠EOD＝45°，
∵∠AOC＝∠DOC，∴∠EOD＝∠EOT，
∵OD⊥EC，∴∠T＝∠ODE＝90°，
在△OET和△OED中，，∴△OET≌△OED（AAS），
∴OA＝OT，ET＝DE＝x，∴四边形AOTQ是正方形，∴AO＝TQ＝AQ＝8，
在Rt△CEQ中，则有（x＋1）2＝（8－x）2＋72，解得x＝，故答案为：．故选：B．
二．填空题
11．分解因式：a3b－ab＝　ab（a＋1）（a－1）　
【解答】解：a3b－ab＝ab（a2－1）＝ab（a＋1）（a－1）．故答案为：ab（a＋1）（a－1）．
12．关于x的分式方程＋＝3有增根，则m＝　－1　．
【解答】解：方程两边同乘（x－2）得：x＋m－1＝3（x－2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，∴2＋m－1＝0，解得：m＝－1，故答案为：－1．
13．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　20%　．
【解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1＋x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不符合题意，舍去），
∴每月盈利的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 　　．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠DAF＋∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD－DF＝5－2＝3，∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，故答案为：．
15．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，点E为BC上一动点，DC⊥BC，连接AE，DE．DE与AC交于点F，，若BE＝DC，则AE＝　　．

【解答】解：延长BA，过点E作GE⊥ED，交BA的延长线于点G，如图所示：

∵DC⊥BC，GE⊥ED，∴∠B＝∠DCE＝∠DEG＝90°，
∴∠BGE＋∠BEG＝∠BEG＋∠CED＝90°，∴∠BGE＝∠CED，
∵BE＝DC，∴△BEG≌△CDE（AAS），
∴EG＝DE，BG＝EC＝3，
∴∠EDG＝∠EGD＝×90°＝45°，
∵∠DFC＝45°，∴∠DFC＝∠GDE，∴AC∥DG，
∵∠B＋∠DCE＝180°，∴BG∥CD，
∴四边形ACDG为平行四边形，
∴DG＝AC＝2，AG＝CD，
∵DE2＋GE2＝DG2，即2DE2＝（2）2，
解得：DE＝或DE＝－（舍去），
在Rt△CDE中根据勾股定理得：CD＝＝，
∴AG＝BE＝DC＝，∴AB＝BG－AG＝2，
∴AE＝＝．
故答案为：．
三．解答题
16．（1）解方程：3x2－2x－2＝0；
（2）解方程：．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝－2，c＝－2，
∴△＝（－2）2－4×3×（－2）＝28＞0，
则x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2），
2（x－1）＋3（x＋1）＝6，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
17．先化简（－a＋1）÷，再从不等式－2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【解答】解：（－a＋1）÷
＝•
＝．
∵－2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝－1．
18．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）△CAE≌△BAF；
（2）△ACE∽△AFQ．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，
∴CF－EF＝BE－EF，
即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△CAE≌△BAF（SAS）；
（2）∵△CAE≌△BAF，
∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，
∴＝，
∴△ACE∽△AFQ．
19．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m．
根据题意，得x（72－2x）＝640，
化简，得 x2－36x＋320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72－2x）＝650，
化简，得 x2－36x＋325＝0，
Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
20．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x－200）元，由题意，得
＝，
解得：x＝2000．
经检验，x＝2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60－a）辆，获利y元，由题意，得
y＝（2000－200－1500）a＋（2400－1800）（60－a），
y＝－300a＋36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60－a≤2a，
∴a≥20．
∵y＝－300a＋36000．
∴k＝－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a＝20时，y有最大值，
∴B型车的数量为：60－20＝40（辆）．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
21．△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
​
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC＝60°，∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE－∠BAE＝60°－30°＝30，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴DM＝EM；
（2）如图1，

DM＝EM仍然成立，理由如下：
连接BD，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝180°－∠ACB＝120°，BD＝CE，
∴∠DBE＝∠ABD－∠ABC＝120°－60°＝60°，
∴∠DBE＋∠BEF＝60°＋120°＝180°，
∴BD∥EF，
∵CE＝EF，
∴BD＝EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM＝EM；
（3）如图2，

当点E在BC的延长线上时，作AG⊥BC于G，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝AC•cos60°＝AC＝3，
AG＝AC•sin60°＝AC＝3，
∴EG＝CG＋CE＝3＋2＝5，
∴AE＝＝2，
由（2）知：DM＝EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴AM＝AE•sin60°＝2×＝，
如图3，

当点E在BC上时，
作AG⊥BC于G，
由上知：AG＝3，CG＝3，
∴EG＝CG－CE＝3－2＝1，
∴AE＝，
∴AM＝2×＝，
综上所述：AM＝或．
22．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．

【解答】解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：
则∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，
∴∠FEH＝∠CED，
在△EFH和△ECD中，，∴△EFH≌△ECD（AAS），
∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，
∴BH＝AB＋AH＝8，
∴BF＝＝＝4；
（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：
则FM＝AH，AM＝FH，
①∵AD＝4，AE＝1，
∴DE＝3，
同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），
∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，
即点F到AD的距离为3；
②∴BM＝AB＋AM＝4＋3＝7，FM＝AE＋EH＝5，
∴BF＝＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC于K．如图3所示：
同（1）得：△EFH≌△CED，
∴FH＝DE＝AE＋4，EH＝CD＝4，
∴FK＝8＋AE，
在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH－AE＝4－AE，
由勾股定理得：（4－AE）2＋（8＋AE）2＝（3）2，
解得：AE＝1或AE＝－5（舍去），
∴AE＝1；
②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：
同（1）得：△EFH≌△CED，
∴FH＝DE＝AE－4，EH＝CD＝4，
∴FK＝FH＋HK＝AE－4＋4＝AE，
在Rt△BFK中，BK＝AH＝AE－AD＝AE－4，
由勾股定理得：（AE－4）2＋AE2＝（3）2，
解得：AE＝2＋或2－（舍去）．
③当点E在AD上时，可得：（8－AE）2＋（4＋AE）2＝90，
解得AE＝5或－1，
5＞4不符合题意．
综上所述：AE的长为1或2＋．