广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一元二次方程x2＝x的解为（ ）
A．﹣x＝1B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝x2＝0
2．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知2x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
6．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
7．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝1B．（x﹣4）2＝1C．（x﹣4）2＝31D．（x﹣4）2＝﹣7
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A．2B．C．3D．4
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（ ）
A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣
10．（3分）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD+S△APB＝； ④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为 ．
12．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为 ．
13．（3分）已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是 ．
14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 个．
15．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积 ．
三、解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x（x+2）＝2（x+2）；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
17．（6分）已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）．
①画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
②以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
③△A3B3C3与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点，位似比为3：2，若M（a，b）为线段A1C1上任一点，写出点M对应点M2的坐标．
18．（7分）某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E，使BE＝AB，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是矩形．
（2）连接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的长．
20．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．
21．（8分）已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．
设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，
解答下列问题
（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s；
（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．
2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x2＝x的解为（ ）
A．﹣x＝1B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝x2＝0
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故选：C．
2．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：俯视图有3列，从左到右小正方形的个数是2，1，1，
故选：D．
3．（3分）已知2x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确．
故选：B．
4．（3分）随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
至少有一次正面朝上的概率是．
故选：B．
5．（3分）如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
【解答】解：如图所示：当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．
故选：B．
6．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
7．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝1B．（x﹣4）2＝1C．（x﹣4）2＝31D．（x﹣4）2＝﹣7
【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣15，
∴x2﹣8x+16＝﹣15+16，即（x﹣4）2＝1，
故选：B．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A．2B．C．3D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴CB＝＝5，
∵E为边BC的中点，
∴OE＝BC＝．
故选：B．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（ ）
A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣
【解答】解：如图，连结OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，
∴OB＝＝＝，
∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，
∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝OB＝×＝，
∴点B的纵坐标为﹣，
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD+S△APB＝； ④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP＝90°，
∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP，
∵AE＝AP＝1，
∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，
∵△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，
∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝135°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，
∴①正确；
∴BE＝＝＝1＝AE，
∴②不正确；
∵△ABE≌△ADP，
∴S△ABE＝S△ADP，
∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，
∴EP＝，∠AEP＝45°，
∵∠AEB＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+××1＝，
∴③正确；
如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，
则∠O＝90°，
∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝BE＝，
∴AO＝AE+OE＝1+，
在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，
∴S正方形ABCD＝AB2＝2+；
∴④正确；
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为 ﹣5 ．
【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝x2+1，
∴2x2﹣5x﹣3＝x2+1，
∴x2﹣5x﹣4＝0．
故答案为：﹣5．
12．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为 8 ．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，
∴＝，
∴DE＝8，
故答案为：8．
13．（3分）已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是 2023 ．
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣1011＝0，
a2﹣3a＝1011，
∴2a2﹣6a+1
＝2（a2﹣3a）+1
＝2×1011+1
＝2022+1
＝2023，
故答案为：2023．
14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 16 个．
【解答】解：设红球有x个，根据题意得，
＝＝0.2，
解得x＝16．
经检验x＝16是分式方程的解．
故答案为16．
15．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积 12 ．
【解答】解：过点M作ME⊥CD，垂足为E，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，
∴CM＝DM＝AB＝5，
∴DE＝CD＝3，
在Rt△DEM中，EM＝＝＝4，
∴△MCD的面积＝CD•EM＝×6×4＝12，
故答案为：12．
三、解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x（x+2）＝2（x+2）；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
【解答】解：（1）方程移项得：x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x+2＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝2；
（2）方程3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝．
17．（6分）已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）．
①画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
②以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
③△A3B3C3与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点，位似比为3：2，若M（a，b）为线段A1C1上任一点，写出点M对应点M2的坐标．
【解答】解：①如图，△A1B1C1为所作；
②如图，△A2B2C2为所作；
③点M对应点M2的坐标为（a，b）或（﹣a，﹣b）．
18．（7分）某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 360 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
【解答】解：（1）∵D所占扇形的圆心角为150°，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：360．
（2）C组人数为：360﹣120﹣30﹣150＝60（人），
故补充条形统计图如下图：
（3）（人），
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E，使BE＝AB，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是矩形．
（2）连接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠DBE＝90°，
∴平行四边形BECD是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，
由（1）可知，四边形BECD是矩形，
∴∠E＝90°，BE＝CD＝2，
∴AE＝AB+BE＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴AC＝＝＝，
即AC的长为．
20．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．
【解答】解：（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理，得x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝25，x2＝5（不合题意，舍去）．
答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元；
（2）不能，理由如下：
设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，
依题意，得：（40﹣y）（20+2y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到1600元．
21．（8分）已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．
设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，
解答下列问题
（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 10 s；
（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得，
运动一：
∵△DEF是等腰三角形，∠ACB＝90°，EF＝8cm，
∴EC＝4cm，
∴运动一所用时间为：4÷1＝4（秒），
运动二：
∵当QC⊥DF时暂停旋转，
∵CD＝CF，
∴DQ＝QF＝2cm
∴运动二所用时间为：2＝2（秒），
运动三：
∵CF＝4cm，
∴运动三所用的时间为：4÷1＝4（秒），
∴整个过程共耗时4+2+4＝10（秒）；
故答案为：10；
（2）运动一：如图2，
设EC为tcm，则CQ为tcm，
∴S△ECQ＝×t×t，
∴S与t之间的函数关系式为：y＝t2（0≤t≤4），
运动二：如图3，
连接CD，在△ECP和△DCQ中，
∵
∴△ECP≌△DCQ（ASA），
∴S与t之间的函数关系式为：y＝8（4＜t＜6），
运动三：如图4，
四边形QDPC为矩形，
∴CF＝4﹣（t﹣6）＝10﹣t，
EC＝8﹣CF＝t﹣2，
∴S矩形QDPC＝（t﹣2）×（10﹣t），
＝t2+6t﹣10；
S与t之间的函数关系式为：y＝t2+6t﹣10（6≤t≤10）；
（3）存在点Q，理由如下：
如图5，运动一：
∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，
∴AQ＝QB，
∴AC﹣CQ＝，
又∵AC＝16cm，BC＝12cm，
解得，CQ＝3.5cm，
∵∠DEF＝45°，
∴EC＝3.5cm，
此时，t为：3.5÷1＝3.5秒．
如图6，运动二：
同理：CQ＝3.5，
过点C作CM⊥DF交DF于点M，CM＝2，
在Rt△QCM中，QM＝＝，
∴DQ＝2﹣，
∴t＝（2﹣）÷+4＝6﹣；
运动三时，CQ最大为2＜3.5，
所以无解．
综上，t＝3.5或6﹣时，点Q正好在线段AB的中垂线上．
22．（10分）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．
【解答】（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴＝，
即AE2＝AO•AP，
∵AO＝AC，
∴AE2＝AC•AP，
∴2AE2＝AC•AP．
（3）解：设AB＝xcm，BF＝ycm．
∵由（1）四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝10cm．
∵∠B＝90°，
∴x2+y2＝100．
∴（x+y）2﹣2xy＝100①．
∵△ABF的面积为24cm2，
∴xy＝24．即xy＝48 ②．
由①、②得（x+y）2＝196．
∴x+y＝14或x+y＝﹣14（不合题意，舍去）．
∴△ABF的周长为：x+y+AF＝14+10＝24（cm）．
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