2023-2024学年福建省莆田市城厢区九年级上学期数学第一次月考试题及答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市城厢区九年级上学期数学第一次月考试题及答案，共19页。试卷主要包含了 我们给出定义等内容，欢迎下载使用。

A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】把代入方程中，进行计算即可解答．
【详解】解：把代入方程中，
得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2. 把抛物线y＝x2向右平移3个单位得到的图象表达式是（ ）
A. y＝（x＋3）2B. y＝（x﹣3）2C. y＝x2＋3D. y＝x2﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式写出顶点坐标，然后根据平移方式写出平移以后的顶点坐标，在写出解析式即可．
【详解】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为，
则向右平移3个单位后的顶点坐标为，
∴平移后的函数解析式为y＝（x﹣3）2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移，函数图像的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则是解题的关键．
3. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
5. 如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐项分析即可得到答案．
【详解】解：，
，即，
A、，
，
故此选项不符合题意；
B、，
，
故此选项不符合题意；
C、由，
不能得到，
故此选项符合题意；
D、，
，
故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个角对应角相等，那么这两个三角形相似．
6. 下列关于二次函数的说法正确的是( )
A. 图象是一条开口向下的抛物线B. 图象与轴没有交点
C. 当时，随增大而增大D. 图象的顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，
，
即图象与轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、，
图象的顶点坐标是，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
7. 如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说：．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）
A. 嘉嘉正确，淇淇错误B. 嘉嘉错误，淇淇正确C. 两人都正确D. 两人都错误
【答案】B
【解析】
【分析】根据，可以判定，与不一定相等，不能判定PQ//BC．
【详解】解：∵，，
∴，即淇淇的结论正确；
∴，，
∵不能得出或，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉结论不正确．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．
8. 如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出∠CAO的度数，再通过解直角三角形求解．
【详解】解：由题意可得∠CAO=64°，
∴cs∠CAO=，
即cs64°=，
∴AC=52cs64°．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法．
9. 在同一平面直角坐标系中，函数与y＝ax＋b的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．
【详解】解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合； 当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意； 当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意； 当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；
只有选项D的两图象的交点不经过x轴， 故选D.
【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．
10. 我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，
∵，
∴设，，
，互半余角，
，
，
在中，，，
，
，
在中，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若，则锐角_________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
12. 已知且＝，则为 ________________
【答案】
【解析】
【分析】已知了且＝，因此相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】∵，＝
∴
故答案
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形各比值的关系是解题的关键．
13. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据坐标，相似比，点的位置确定坐标即可．
【详解】解：∵与的相似比为，
，
过点A作轴于点E，过点C作轴于点F．
∵，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标系中的位似，三角形相似的判定与性质，熟练掌握坐标与位似比的关系是解题的关键．
14. 点在二次函数的图象上．若，写出一个符合条件的a的值___________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】二次函数开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，找一个离对称轴比1大的数即可．
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴离对称轴：直线越远的点的函数值越大，A点离对称轴水平距离为1，故a可以等于3．
故答案为3（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练运用函数图像的最低点及性质比大小是解题关键．
15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式建立关于m的等式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
16. 如图，点A是抛物线与的公共顶点，过点A的直线与抛物线，的另一个交点分别为B，C，若，则的值是_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据，可知点B的横坐标是点C横坐标的二倍，设出它们的横坐标，代入函数解析式，利用纵坐标的关系列出方程即可求解．
【详解】解：因为点A是抛物线与的公共顶点，过点A的直线与抛物线，的另一个交点分别为B，C，且，
所以，点B的横坐标是点C横坐标的二倍，设出它们的横坐标分别为，，
则纵坐标为，，
所以，，
化简得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据题意得出两个点横坐标的关系，代入函数解析式求解．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
18. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.
试题解析：
．
．
=12．
．
．
．
∴方程的解为．
19. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：

由题意知，
在中，，则，即，
；
【小问2详解】
解：如图所示：

，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．
20. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；
（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．
【详解】（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
21. 已知：中，D为边上的一点．
（1）如图①，过点D作交边于点E．若，，，求的长；
（2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点F，使．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）作交于点T，作，射线交于点F，点F即为所求；
【小问1详解】
解：∵，
，
，
，，，
，
；
【小问2详解】
解：如图，作交于点T，作，射线交于点F，点F即为所求．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22. 已知：如图，在菱形中，点E在边上，点F在的延长线上，， ，与边相交于点G．
求证：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到，，进而得到，在根据，依据即可证明；
（2）由（1）知，根据全等三角形的性质得到，根据，，得到四边形为平行四边形，于是得到结论；
（3）根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
【小问2详解】
证明：由（1）知，
，
，，
四边形平行四边形，
，
；
【小问3详解】
证明：∵在菱形中，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定，全等三角形的判定是解题的关键．
23. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若，求二次函数表达式；
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是；
【小问2详解】
解：∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，和关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
∵，
，
∴二次函数为，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…