2023-2024学年北师大版数学九年级上学期期末临考精练卷（二）（学生版＋详解版）

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一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若二次函数的图象过不同的六点，，，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由解析式可知抛物线开口向上，点，，，求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【详解】由二次函数可知，抛物线开口向上，
，，，
点关于对称轴的对称点在5与6之间，
对称轴的取值范围为，
点到对称轴的距离最小，点到对称轴的距离最大，
，
故选：D．
2．如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查角的正切，因此此题可结合网格特点，利用正切的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项符合题意；
B、，则此项不符合题意；
C、，则此项不符合题意；
D、，则此项不符合题意；
故选：A
3．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为
B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为
D．玻璃从降至室温需要的时间为
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象和性质，先求出函数解析式，再根据图象及函数的性质逐个判断即可得到答案
【详解】解：由图像得，设，
将点代入可得，
，，
解得：，，
∴，
故A错误，B正确，
当时，
，解得，
故D错误，
当时，，，
解得：，，
故加工时长为：，
故C错误，
故选：B．
4．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，下列说法正确的是（ ）

A．主视图和俯视图一样B．主视图和左视图一样
C．左视图和俯视图一样D．主视图，左视图，俯视图都不一样
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图和左视图完全相同，均为底层三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图第一行是三个小正方形，第二、三行是一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了画树状图计算概率，因式分解法解一元二次方程．先利用因式分解解一元二次方程，求得方程根，再画树状图，确定符合条件的点的个数，后用概率公式计算即可．
【详解】解：一元二次方程整理得，
∴或，解得，；
一元二次方程整理得，
∴或，解得，；
画树状图如下：
，
故坐标有，，，，共16种等可能性．
符合点在以原点为圆心，5为半径的圆上的的情况只有和两种情况，
∴点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是．
故选：D．
6．如图，有一块长，宽的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是．设小路宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽，根据利用平移的性质得出草坪的面积=长为，宽为的长方形的面积，由长方形面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽，根据题意，得
故选：D．
7．如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连接．要求四边形的面积，只需知道某个三角形的面积，则这个三角形是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据圆周角定理得，推出，根据同底等高的三角形的性质得到，从而得到，由轴对称的性质得到四边形的面积，由此可得答案．
【详解】解：已知的面积．
如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，

∴，
∴与是同底等高的三角形，
∴，
∴，
∴，
∵直径平分，
∴四边形关于对称，关于对称，
∴四边形的面积，，
∴四边形的面积，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理，轴对称的性质，同底等高三角形的性质，平行线的判定及性质，熟记同底等高三角形的性质得出S△DEG=S△CEG是解题的关键．
8．如图，在矩形中，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，矩形的性质及勾股定理等知识；取中点E，连接，则，由勾股定理可求得，由即可求得的最小值．
【详解】解：取中点E，连接，如图，
∵在矩形中，，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∴由勾股定理得：；
∵，
∴，
即的最小值为；
故选：A．
9．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行．已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图2，当倾斜角时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A．7cmB．12cmC．8cmD．14cm
【答案】D
【分析】以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，求出与轴的交点坐标，把点代入求出直线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出点坐标，用两点间的距离公式求出点到点的距离．
【详解】解：设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵在图3中，，
∴．
过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的．
∵点O是的中点，
∴．
∴，
同理可知：图1液面的右端点是
根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴，
设这个抛物线的解析式为：，
则由图1可知，抛物线经过点和点，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式是：．
令，
解得
∴，，
又∵，
∴，
∴在中，，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式是：，
∵直线经过点，，
∴
解得：，
∴直线的解析式是：，
将抛物线与直线的解析式联立得：
，
解得：或，
∴，
又∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
10．如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后根据勾股定理求出的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键．
【详解】解：过F作于H，交于O，如图所示：
，
∵，E为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据题意可得反比例函数在二，四象限，y随x增大而增大，即可判断，，的大小关系．
【详解】解：由题意可得：，
∴反比例函数在二，四象限，y随x增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于8米，则树高等于 米（结果保留根号）．

【答案】
【分析】作，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：作，如图， 则，

由题意得：，
∴，
在中，，解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单几何问题，涉及到勾股定理，含30度角直角三角形的性质等，正确作出辅助线是关键．
13．如图，锐角是一块三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形 零件的边长是 ．
【答案】
【分析】本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长．
【详解】解：正方形的边长在上，
设
，
，
故答案为：．
14．小区篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，兰亭小区以全胜成绩卫冕世界杯冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 场．
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：11．
15．如图，菱形中，对角线，，M，N分别是，上的动点，P是线段上的一个动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短距离问题，菱形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，过作于交于，过作于，则的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设与交于点，
菱形中，，，，
，，平分，
，
过作于交于，过作于，
则的值最小，
，
，
即的最小值是，
故答案为：．
16．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点O，过点C作，垂足为C，与相交于点E，若，BC=6，则的值为
【答案】
【分析】由轴对称的性质可得，，可证四边形是菱形，由菱形的性质可得，，，，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求，的长，即可求解．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
故
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出的长是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线开口向上，因此大于，越大抛物线开口越小，越小抛物线开口越大，因此抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值，由此可解．
【详解】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、，
点的坐标为．
抛物线开口向上，
，
当抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
18．如图，是外一点，分别和相切于点，是弧上任意一点，过作的切线分别交于点，若，则的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查切线长定理，由分别和相切于点，得出，由过作的切线分别交于点，得出，，由此进行计算即可，根据题中所给的条件及切线长定理将的周长转化为是解此题的关键．
【详解】解：分别和相切于点，，
，
过作的切线分别交于点，
，，
，
的周长为24，
故答案为：24．
三、解答题（共66分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查实数运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键；
（1）先计算负整数指数幂、乘方、零指数幂、乘方、算术平方根及绝对值，再计算加减即可；
（2）先移项，再将左边利用十字相乘法、提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
【详解】（1）
；
（2）
或
20．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1）
(2)试估算口袋中白球有多少只？
(3)请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？
【答案】(1)0.6
(2)3只
(3)
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，利用概率公式计算白球的个数；
（3）列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解．
【详解】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，
所以可估计口袋中白球的个数为：（只）．
（3）列表得出：
从中先摸出一球，放回，再摸出一球，共有25种等可能结果，其中这两只球颜色不同的有12种，
故这两只球颜色不同的概率是．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过A作轴交反比例函数的图象于点C，连接．
(1)求反比例函数表达式；
(2)求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数的解析式是解题的关键.
(1)先由一次函数的图象过点，且点的横坐标为，将代入，求出的值，得到点的坐标，再将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
(2)先由一次函数的图象与轴交于点，求出点的坐标为，再将2代入，求出的值，那么过作 于，则，然后根据将数值代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，且点的横坐标为1，
，
∴点的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数 的图象与轴交于点，
∴当 时， ，
∴点的坐标为，
轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同是，
∵点在反比例函数的图象上，
∴当时， ，解得 ，
，
过作于，如图，则，
．
22．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，它的“同轴对称抛物线”为 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线的对称轴对称的点、，连接BC、、、．当四边形为正方形时，求a的值．

【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式图像与性质，二次函数的图像变换，正方形的性质．熟练掌握二次函数的顶点式图像与性质是解题的关键．
（1）根据顶点式的性质直接写出坐标即可，再由“同轴对称抛物线”定义得出答案．
（2）写出点的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：； .
（2）解：∵点B是抛物线上一点，点B、B'关于该抛物线的对称轴对称，
∴点B'也在抛物线上，
∵抛物线的对称轴为直线，

且点B的横坐标为1，
∴点B'的横坐标为3，
∴，
当四边形为正方形时，
则，
由题意可知，B、C关于x轴对称且点B在第四象限，
∴点B的纵坐标为
∴点B的坐标为.
把点B的坐标代入，解得
23．在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．
(1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______；
(2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长；
(3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，20
【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，由勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得，进而得到，再根据折叠性质即可求解；
（3）先根据题意证明是菱形，当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，则其周长最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：四边形是正方形，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：，分别为，的中点，
∴，
∴，，
又由折叠可知，
，，
，
∴；
（3）解：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形是平行四边形，
过点Q作，，如图，
∵，
∴，
∴，
四边形是菱形，
当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，如图，则其周长最大，
设，则，，
由勾股定理得：，解得：，
重叠四边形周长的最大值是20；
【点睛】本题考查的是图形的翻折变换、矩形的性质、勾股定理，正方形的判定与性质等，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
24．如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接．
设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：

(1) ， ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？
(3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的值为或
(3)能；的值为或或
【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则；
（2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：，
由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）分两种情况：
①如图1，

当时，，
则，
即，
解得：；
②如图2，

当时，，
则，
即，
解得：；
综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，

当时，
，
解得：；
②如图4，

当时，过点作于，
则，，
，
，
，
，
解得：；
③如图5，

当时，过点作于，
则，，
，
，
，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似．本题的综合性较强，属于压轴题．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
黑1
黑2
白1
白2
白3
黑1
(黑1，黑1)
(黑1，黑2)
(黑1，白1)
(黑1，白2)
(黑1，白3)
黑2
(黑2，黑1)
(黑2，黑2)
(黑2，白1)
(黑2，白2)
(黑2，白3)
白1
(白1，黑1)
(白1，黑2)
(白1，白1)
(白1，白2)
(白1，白3)
白2
(白2，黑1)
(白2，黑2)
(白2，白1)
(白2，白2)
(白2，白3)
白3
(白3，黑1)
(白3，黑2)
(白3，白1)
(白3，白2)
(白3，白3)