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2024届四川省成都市实验外国语学校高三上学期12月月考数学（理）试题含答案
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这是一份2024届四川省成都市实验外国语学校高三上学期12月月考数学（理）试题含答案，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据补集和交集的概念直接求解.
【详解】因为集合，
所以，
所以.
故选：C
2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】计算出复数，根据复数的几何意义可直接判定选项.
【详解】因为，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，在第四象限，
故选：D.
3．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．20B．40C．60D．80
【答案】A
【分析】根据等差数列性质计算即可.
【详解】在等差数列中，因为，
所以，
所以.
故选：A
4．某游泳馆统计了10天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图.则根据此折线图，下面结论正确的是（ ）
A．这10天内，每日游泳人数的极差大于106
B．这10天内，每日游泳人数的平均值小于135
C．这10天内，每日游泳人数的中位数小于145
D．前5天每日游泳人数的方差小于后5天每日游泳人数的方差
【答案】C
【分析】根据折线图中提供的数据，结合极差，平均数，中位数，方差的定义分别计算即可.
【详解】这10天内，每日游泳人数的极差为，A错误；
这10天内，每日游泳人数的平均值为
，B错误；
由图可得每日游泳人数分别为152，165，113，76，181，133，154，125，108，152，
由小到大排列为76，108，113，125，133，152，152，154，165，181，
这10天内，每日游泳人数的中位数为，C正确；
前5天每日游泳人数的平均值为，
后5天每日游泳人数的平均值为，
前5天每日游泳人数的平均值附近摆动的幅度比后5天每日游泳人数的平均值附近
摆动的幅度大，
所以前5天每日游泳人数的方差大于后5天每日游泳人数的方差，D错误.
故选：C.
5．设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数的单调性可得，再由对数函数的单调性可得，即可得到结果.
【详解】因为在上单调递减，所以，即，
又因为，所以，
所以.
故选：B
6．在边长是的正方形中，是的中点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理，将和分别用和表示，由给定数据计算即可.
【详解】
，，
由题意，，，，
.
故选：B
7．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若垂直于同一平面，则与垂直
B．若平行于同一平面，则与平行或相交
C．若不平行，则在内存在与平行的直线
D．若不平行，则与可能垂直于同一平面
【答案】C
【分析】画出图象，根据直线和平面的垂直及平行判定定理及性质定理逐项判定即可.
【详解】对于A,如图，垂直于同一个平面的两个平面可以平行，故A错误；
对于B，若平行于同一平面，则与平行或相交或异面，故B错误；
对于C，如图所示，不平行，在内存在与平行的直线，故C正确；
对于D，根据线面垂直的性质定理知，垂直同一个平面的两条直线平行，故D错误，
故选：C.
8．口袋里放有大小相同的3个红球和2个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等.定义数列：.如果为数列的前项和，那么的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，再根据二项分布的概率，即可求出答案.
【详解】由题意，每次摸到白球的概率为，每次摸到红球的概率为，
表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，
则的概率是.
故选：A.
9．寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】种类一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生；种类二：女生在最后，先排女生，注意女生甲特殊，优先排列，最后男生插空，最后分类相加.
【详解】种类一：一位男生在最后，此时有种情况，
位女生全排列有种情况，
最后将剩余一位男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
所以共种情况；
种类二：
男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，
所以女生甲有种排法，
其他为女生有种排法，
最后男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
共种情况；
综上所述，共种情况，
故选：A.
10．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，易得函数是上的奇函数，根据已知可得函数在上的单调性，进而的得出函数在的单调性，从而可得出答案.
【详解】令，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
所以函数是上的奇函数，
当时，，即，
则，
所以函数在上单调递增，
又因为函数是上的奇函数，
所以函数在上是增函数，
则不等式，
等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
11．已知双曲线的焦点关于渐近线对称的点在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出焦点关于一条渐近线的对称点的坐标，代入双曲线方程求解作答.
【详解】由双曲线的对称性，不妨令F为右焦点，渐近线为，即，
令半焦距为c，则，
过F垂直于渐近线的直线方程为：，即，
由，解得，
即过F垂直于渐近线的直线与该渐近线交于点，
依题意，点的坐标为，
而点在双曲线上，则有，
即，而，
于是得，整理得：，而，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
12．已知定义域为的函数满足，且其图像关于直线对称，若当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得，又由得，根据点关于直线的对称点为，即可求得.
【详解】设点在函数的图象上，
则关于直线的对称点为，
则，解得，则，
又时，，
则，
又，
所以，
则，
此图象关于对称，所以，
故选：D.
【点睛】本题的关键点有两个：一是根据条件求得点关于直线的对称点；二是求得后，根据，求得.
二、填空题
13．若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】利用约束条件画出可行域，根据的几何意义求最大值.
【详解】可行域如图所示，转化为，当过点时有最大值，为.
故答案为：5.
14．已知，则展开式中常数项为 .
【答案】
【分析】根据条件得利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.
【详解】因为，所以
则，其展开式的通项公式为：
，
令，解得，
所以展开式中常数项为,
故答案为：
15．已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用数列的递推关系求的通项公式，再利用裂项相消求和，利用不等式恒成立求的取值范围.
【详解】因为①，
当时，，
当时，令有，②，
①②得：，所以，
经检验符合上式，所以，，
所以，
所以，
因为不等式恒成立，
所以，
因为，
所以，解得：或.
故答案为：.
16．在棱长为的正方体中，点，，，分别为线段，，，的中点，点为线段的动点，则下列说法正确的是 .
①异面直线与所成角的余弦值为；②当为线段的中点时，点，，，四点共面：③对任意点的点，都有平面平面；④三棱锥的外接球的表面积为.
【答案】①②③④
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法分别判断①②③，根据三棱锥性质确定外接球球心，可判断④.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
由点，，，分别为线段，，，的中点，点为线段的动点，
得，，，，，，
对于①：，，
则，
异面直线与直线所成角的余弦值为，①正确；
对于②：由为中点，得，
则，，
所以，
即、、共面，
所以、、、四点共面，②正确；
对于③，，，，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
所以，即，
所以平面平面，③正确；
对于④：如图所示，
分别取，中点，，连接，，
则平面，平面，
由已知为等腰直角三角形，所以为的外接圆圆心，
设三棱锥的球心为，则平面，即，
在中，，，
所以，
设其外接圆圆心为，则，，且在上，
所以平面，即，
所以四边形为矩形，，
所以外接球半径，
表面积为，④正确；
故答案为：①②③④.
三、解答题
17．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别是否有关，随机抽取70名学生，得到如下的列联表：
附：．
(1)根据表中提供的数据，判断是否有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关？
(2)在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中男生人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据卡方的计算公式即可与临界值比较作答，
（2）根据超几何分布的概率计算，求解概率，即可求解分布列.
【详解】（1）依题意得列联表：
所以，
所以有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关．
（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，女生与男生的人数的比值为，所以在倾向“坐标系与参数方程”的学生抽取的7人中男生有3人．
所以的取值为，
则．
故的分布列为：
所以．
18．中，角的对边分别为，在已知下列条件中:①；②；③任选一个作为已知条件，然后解答问题.
(1)求；
(2)若为的中点，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，由正弦定理化边为角，再利用辅助角公式即可求解；若选②，用诱导公式及降幂公式化简，再利用辅助角公式即可求解；若选③，用诱导公式及二倍角公式化简，即可求解.
（2）在三角形中利用余弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得，则，得到等式，利用基本不等式可求得的最大值，再利用三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）若选①，
由正弦定理得：，
又，所以，
即,
则，又
所以，则
若选②，
即,即,
则，又
所以，则
若选③，
则,又,
则,又，
所以
（2）如图，，
在三角形中，
,
在三角形中，
，
因为,
所以，
化为，①
又在三角形中，
,②
由①②得，
，
所以，
当且仅当时，等号成立，
则，
故面积的最大值为.
19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的余弦值，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】（1）因为底面，
底面,所以,
又因为，,
则,,
则,
故,
又,平面,平面,
所以平面,
又平面，
所以平面平面.
（2）取的中点，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，设，
则,，,,,
,，
设平面的法向量，
则，
令则，所以，
因为底面，
底面,所以,
由（1）知，
,平面,平面,
所以平面,
故平面的法向量可为，
又面角的余弦值，
所以，
解得（舍），
故，,又,,
,
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以，
设直线与平面所成角的为，
则,
故直线与平面所成角的正弦值为
20．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，，且，位于第一象限，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分情况讨论函数单调性；
（2）由导数的几何意义可知，由于有两个切线，可转化为与曲线有两个公共点，可证，即.
【详解】（1）由，
则，，
当时，恒成立，令，可得，
若，，即在上单调递减，
若，，即在上单调递增；
当，令，得，，
当时，，
若，，即在上单调递增，
若，，即在上单调递减，
若，，即在上单调递增；
当时，，恒成立，在上单调递增，
当时，，
若，，即在上单调递增，
若，，即在上单调递减，
若，，即在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）过点作的切线，设切点为，
由，得
则斜率，
所以，
即，
又可作两条切线，即有两个正解；
设函数，，
即函数与直线在上有两个公共点，
又，令，解得
所以时，，在单调递增，时，，在上单调递减，
所以，
又，且时，，
如图所示，
所以，
即.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21．已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于两点.设的斜率分别为.
(1)点为线段的中点，求的方程；
(2)的面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由点差法代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设，中点为，则，
将代入椭圆方程可得，，两式相减可得
，整理可得，
其中，
所以，则，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
（2）
当直线的斜率不存在时，不妨设在第一象限，设，则，
此时，则，即，
又点在椭圆上，则，即，解得，
此时，则；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
，
则，
则，
所以
，
又点到直线的距离，
所以，
化简整理可得，满足，
又
，
代入可得，
；
综上所述，.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆的中点弦问题，以及椭圆中三角形的面积问题，难度较大，解答本题的关键在于分直线的斜率存在与不存在讨论，再结合韦达定理代入计算.
22．在平面直角坐标系中，直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线、曲线的极坐标方程；
(2)若射线分别交直线l、曲线于两点（点异于原点），求的最大值，及此时射线的直角坐标方程.
【答案】(1)；
(2)的最大值为，此时射线的直角坐标方程为
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换及正弦型函数的性质求出结果.
【详解】（1）直线的直角坐标方程为，
根据，转化成极坐标方程为；
曲线的参数方程为（为参数），
转化为普通方程为，
根据，转化成极坐标方程为.
（2）因为若射线分别交直线l、曲线于两点（点异于原点），
由，得，
由，得，
所以，其中，
因为，所以，
故的最大值为，此时，
所以，，
所以，故，
即，所以，
所以射线的直角坐标方程为，
所以的最大值为，此时射线的直角坐标方程为.
23．已知关于的不等式有解.
(1)求实数的取值范围；
(2)若均为正数，为的最大值，且.求证，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由绝对值不等式可得，再将不等式有解转化为，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可知，再由柯西不等式代入计算，即可证明.
【详解】（1）由题意可得，，
令，所以的最大值为，
关于的不等式有解等价于，
当时，不等式转化为，解得，所以，
当时，不等式转化为，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）由（1）可知，的取值范围为，且为的最大值，所以，
则，即，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又，
所以，即.
倾向“坐标系与参数方程”
倾向“不等式选讲”
男生
15
25
女生
20
10
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
倾向“坐标系与参数方程”
倾向“不等式选讲”
合计
男生
15
25
40
女生
20
10
30
合计
35
35
70
0
1
2
3
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据补集和交集的概念直接求解.
【详解】因为集合，
所以，
所以.
故选：C
2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】计算出复数，根据复数的几何意义可直接判定选项.
【详解】因为，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，在第四象限，
故选：D.
3．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．20B．40C．60D．80
【答案】A
【分析】根据等差数列性质计算即可.
【详解】在等差数列中，因为，
所以，
所以.
故选：A
4．某游泳馆统计了10天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图.则根据此折线图，下面结论正确的是（ ）
A．这10天内，每日游泳人数的极差大于106
B．这10天内，每日游泳人数的平均值小于135
C．这10天内，每日游泳人数的中位数小于145
D．前5天每日游泳人数的方差小于后5天每日游泳人数的方差
【答案】C
【分析】根据折线图中提供的数据，结合极差，平均数，中位数，方差的定义分别计算即可.
【详解】这10天内，每日游泳人数的极差为，A错误；
这10天内，每日游泳人数的平均值为
，B错误；
由图可得每日游泳人数分别为152，165，113，76，181，133，154，125，108，152，
由小到大排列为76，108，113，125，133，152，152，154，165，181，
这10天内，每日游泳人数的中位数为，C正确；
前5天每日游泳人数的平均值为，
后5天每日游泳人数的平均值为，
前5天每日游泳人数的平均值附近摆动的幅度比后5天每日游泳人数的平均值附近
摆动的幅度大，
所以前5天每日游泳人数的方差大于后5天每日游泳人数的方差，D错误.
故选：C.
5．设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数的单调性可得，再由对数函数的单调性可得，即可得到结果.
【详解】因为在上单调递减，所以，即，
又因为，所以，
所以.
故选：B
6．在边长是的正方形中，是的中点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理，将和分别用和表示，由给定数据计算即可.
【详解】
，，
由题意，，，，
.
故选：B
7．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若垂直于同一平面，则与垂直
B．若平行于同一平面，则与平行或相交
C．若不平行，则在内存在与平行的直线
D．若不平行，则与可能垂直于同一平面
【答案】C
【分析】画出图象，根据直线和平面的垂直及平行判定定理及性质定理逐项判定即可.
【详解】对于A,如图，垂直于同一个平面的两个平面可以平行，故A错误；
对于B，若平行于同一平面，则与平行或相交或异面，故B错误；
对于C，如图所示，不平行，在内存在与平行的直线，故C正确；
对于D，根据线面垂直的性质定理知，垂直同一个平面的两条直线平行，故D错误，
故选：C.
8．口袋里放有大小相同的3个红球和2个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等.定义数列：.如果为数列的前项和，那么的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，再根据二项分布的概率，即可求出答案.
【详解】由题意，每次摸到白球的概率为，每次摸到红球的概率为，
表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，
则的概率是.
故选：A.
9．寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】种类一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生；种类二：女生在最后，先排女生，注意女生甲特殊，优先排列，最后男生插空，最后分类相加.
【详解】种类一：一位男生在最后，此时有种情况，
位女生全排列有种情况，
最后将剩余一位男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
所以共种情况；
种类二：
男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，
所以女生甲有种排法，
其他为女生有种排法，
最后男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
共种情况；
综上所述，共种情况，
故选：A.
10．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，易得函数是上的奇函数，根据已知可得函数在上的单调性，进而的得出函数在的单调性，从而可得出答案.
【详解】令，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
所以函数是上的奇函数，
当时，，即，
则，
所以函数在上单调递增，
又因为函数是上的奇函数，
所以函数在上是增函数，
则不等式，
等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
11．已知双曲线的焦点关于渐近线对称的点在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出焦点关于一条渐近线的对称点的坐标，代入双曲线方程求解作答.
【详解】由双曲线的对称性，不妨令F为右焦点，渐近线为，即，
令半焦距为c，则，
过F垂直于渐近线的直线方程为：，即，
由，解得，
即过F垂直于渐近线的直线与该渐近线交于点，
依题意，点的坐标为，
而点在双曲线上，则有，
即，而，
于是得，整理得：，而，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
12．已知定义域为的函数满足，且其图像关于直线对称，若当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得，又由得，根据点关于直线的对称点为，即可求得.
【详解】设点在函数的图象上，
则关于直线的对称点为，
则，解得，则，
又时，，
则，
又，
所以，
则，
此图象关于对称，所以，
故选：D.
【点睛】本题的关键点有两个：一是根据条件求得点关于直线的对称点；二是求得后，根据，求得.
二、填空题
13．若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】利用约束条件画出可行域，根据的几何意义求最大值.
【详解】可行域如图所示，转化为，当过点时有最大值，为.
故答案为：5.
14．已知，则展开式中常数项为 .
【答案】
【分析】根据条件得利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.
【详解】因为，所以
则，其展开式的通项公式为：
，
令，解得，
所以展开式中常数项为,
故答案为：
15．已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用数列的递推关系求的通项公式，再利用裂项相消求和，利用不等式恒成立求的取值范围.
【详解】因为①，
当时，，
当时，令有，②，
①②得：，所以，
经检验符合上式，所以，，
所以，
所以，
因为不等式恒成立，
所以，
因为，
所以，解得：或.
故答案为：.
16．在棱长为的正方体中，点，，，分别为线段，，，的中点，点为线段的动点，则下列说法正确的是 .
①异面直线与所成角的余弦值为；②当为线段的中点时，点，，，四点共面：③对任意点的点，都有平面平面；④三棱锥的外接球的表面积为.
【答案】①②③④
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法分别判断①②③，根据三棱锥性质确定外接球球心，可判断④.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
由点，，，分别为线段，，，的中点，点为线段的动点，
得，，，，，，
对于①：，，
则，
异面直线与直线所成角的余弦值为，①正确；
对于②：由为中点，得，
则，，
所以，
即、、共面，
所以、、、四点共面，②正确；
对于③，，，，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
所以，即，
所以平面平面，③正确；
对于④：如图所示，
分别取，中点，，连接，，
则平面，平面，
由已知为等腰直角三角形，所以为的外接圆圆心，
设三棱锥的球心为，则平面，即，
在中，，，
所以，
设其外接圆圆心为，则，，且在上，
所以平面，即，
所以四边形为矩形，，
所以外接球半径，
表面积为，④正确；
故答案为：①②③④.
三、解答题
17．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别是否有关，随机抽取70名学生，得到如下的列联表：
附：．
(1)根据表中提供的数据，判断是否有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关？
(2)在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中男生人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据卡方的计算公式即可与临界值比较作答，
（2）根据超几何分布的概率计算，求解概率，即可求解分布列.
【详解】（1）依题意得列联表：
所以，
所以有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关．
（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，女生与男生的人数的比值为，所以在倾向“坐标系与参数方程”的学生抽取的7人中男生有3人．
所以的取值为，
则．
故的分布列为：
所以．
18．中，角的对边分别为，在已知下列条件中:①；②；③任选一个作为已知条件，然后解答问题.
(1)求；
(2)若为的中点，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，由正弦定理化边为角，再利用辅助角公式即可求解；若选②，用诱导公式及降幂公式化简，再利用辅助角公式即可求解；若选③，用诱导公式及二倍角公式化简，即可求解.
（2）在三角形中利用余弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得，则，得到等式，利用基本不等式可求得的最大值，再利用三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）若选①，
由正弦定理得：，
又，所以，
即,
则，又
所以，则
若选②，
即,即,
则，又
所以，则
若选③，
则,又,
则,又，
所以
（2）如图，，
在三角形中，
,
在三角形中，
，
因为,
所以，
化为，①
又在三角形中，
,②
由①②得，
，
所以，
当且仅当时，等号成立，
则，
故面积的最大值为.
19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的余弦值，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】（1）因为底面，
底面,所以,
又因为，,
则,,
则,
故,
又,平面,平面,
所以平面,
又平面，
所以平面平面.
（2）取的中点，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，设，
则,，,,,
,，
设平面的法向量，
则，
令则，所以，
因为底面，
底面,所以,
由（1）知，
,平面,平面,
所以平面,
故平面的法向量可为，
又面角的余弦值，
所以，
解得（舍），
故，,又,,
,
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以，
设直线与平面所成角的为，
则,
故直线与平面所成角的正弦值为
20．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，，且，位于第一象限，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分情况讨论函数单调性；
（2）由导数的几何意义可知，由于有两个切线，可转化为与曲线有两个公共点，可证，即.
【详解】（1）由，
则，，
当时，恒成立，令，可得，
若，，即在上单调递减，
若，，即在上单调递增；
当，令，得，，
当时，，
若，，即在上单调递增，
若，，即在上单调递减，
若，，即在上单调递增；
当时，，恒成立，在上单调递增，
当时，，
若，，即在上单调递增，
若，，即在上单调递减，
若，，即在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）过点作的切线，设切点为，
由，得
则斜率，
所以，
即，
又可作两条切线，即有两个正解；
设函数，，
即函数与直线在上有两个公共点，
又，令，解得
所以时，，在单调递增，时，，在上单调递减，
所以，
又，且时，，
如图所示，
所以，
即.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21．已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于两点.设的斜率分别为.
(1)点为线段的中点，求的方程；
(2)的面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由点差法代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设，中点为，则，
将代入椭圆方程可得，，两式相减可得
，整理可得，
其中，
所以，则，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
（2）
当直线的斜率不存在时，不妨设在第一象限，设，则，
此时，则，即，
又点在椭圆上，则，即，解得，
此时，则；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
，
则，
则，
所以
，
又点到直线的距离，
所以，
化简整理可得，满足，
又
，
代入可得，
；
综上所述，.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆的中点弦问题，以及椭圆中三角形的面积问题，难度较大，解答本题的关键在于分直线的斜率存在与不存在讨论，再结合韦达定理代入计算.
22．在平面直角坐标系中，直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线、曲线的极坐标方程；
(2)若射线分别交直线l、曲线于两点（点异于原点），求的最大值，及此时射线的直角坐标方程.
【答案】(1)；
(2)的最大值为，此时射线的直角坐标方程为
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换及正弦型函数的性质求出结果.
【详解】（1）直线的直角坐标方程为，
根据，转化成极坐标方程为；
曲线的参数方程为（为参数），
转化为普通方程为，
根据，转化成极坐标方程为.
（2）因为若射线分别交直线l、曲线于两点（点异于原点），
由，得，
由，得，
所以，其中，
因为，所以，
故的最大值为，此时，
所以，，
所以，故，
即，所以，
所以射线的直角坐标方程为，
所以的最大值为，此时射线的直角坐标方程为.
23．已知关于的不等式有解.
(1)求实数的取值范围；
(2)若均为正数，为的最大值，且.求证，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由绝对值不等式可得，再将不等式有解转化为，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可知，再由柯西不等式代入计算，即可证明.
【详解】（1）由题意可得，，
令，所以的最大值为，
关于的不等式有解等价于，
当时，不等式转化为，解得，所以，
当时，不等式转化为，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）由（1）可知，的取值范围为，且为的最大值，所以，
则，即，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又，
所以，即.
倾向“坐标系与参数方程”
倾向“不等式选讲”
男生
15
25
女生
20
10
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
倾向“坐标系与参数方程”
倾向“不等式选讲”
合计
男生
15
25
40
女生
20
10
30
合计
35
35
70
0
1
2
3
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