上海市闵行区（闵行中学、文绮中学）2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题

闵行（文绮）中学2020学年第二学期高一年级

数学学科期终考试卷

考试时间：120分钟 满分150分

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，填对得4分，否则一律得零分．

1．已知是角终边上一点，则______．

2．已知向量，，则______．

3．1与9的等比中项为______．

4．已知复数满足，则______．

5．已知复数满足方程：，则______．

6．等差数列的前项和为，，则______．

7．如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的，两点到点的距离分别为，，且，则隧道长度为______．

8．若，且，则______．

9．若函数的部分图象如图，则______．

10．已知正方形的边长为2，点满足，则______．

11．已知数列为等差数列，且，设，当的前项和最小时，的值组成的集合为______．

12．方程的解集为______．

13．已知复数，满足，，其中为虚数单位，表示的共轭复数，则______．

14．正方形的边长为4，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面上一点，满足，则的最小值为______．

二、选择题（本大题满分24分）本大题共有6小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得4分，否则一律得零分．

15．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（    ）．

A．充分非必要条件      B．必要非充分条件

C．充要条件        D．既非充分又非必要条件

16．已知单位向量，满足，则（    ）．

A．    B．    C．     D．2

17．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（    ）．

A．    B．25    C．    D．

18．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（    ）．

A．若数列的前项和（，，为常数）则数列为等差数列；

B．若数列的前项和 ，则数列为等差数列：

C．数列是等差数列，为前项和，则，，，…仍为等差数列；

D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列．

19．已知，，是互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数的最大值是（    ）．

A．0    B．1    C．2    D．3

20．已知数列、、，以下两个命题：

①若、、都是递增数列，则、、都是递增数列；

②若、、都是等差数列，则、、都是等差数列；

下列判断正确的是（    ）．

A．①②都是真命题      B．①②都是假命题

C．①是真命题，②是假命题    D．①是假命题，②是真命题

三、解答题（本大题满分70分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．

21．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知向量，的夹角为，，．

（1）求的值；

（2）若和垂直，求实数的值．

22．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知等比数列的公比，前3项和 ．

（1）求数列的通项公式；

（2）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．

23．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

如图所示，甲船在距离港口24海里，并在南偏西20°方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东40°方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．

（1）求的大小；

（2）当乙船行驶20海里到达处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？

24．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

已知复数，，其中为虚数单位，．

（1）当，是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值；

（2）求的值域．

25．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列．

（1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和；

（2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求，及数列的前2021项和；

（3）若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合．

闵行（文绮）中学2020学年第二学期高一年级

数学学科期终考试卷答案

一、填空题（本大题共有16题，满分56分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，填对得4分，否则一律得零分．

1．   2．   3．    4．2  5．3

6．7   7．   8．或   9．4  10．

11．    12．  13．   14．

二、选择题（本大题满分24分）本大题共有6小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得4分，否则一律得零分．

15．B  16．C  17．A  18．C  19．C  20．D

三、解答题（本大题满分70分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．

21．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

【解答】（1）．

（2）∵和垂直，∴，

即，

∴，∴．．

22．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

【解答】（1）由，得，

解得，所以．

（2）由（1）可知，所以，

因为函数的最大值为3，所以．

又因为当时，取得最大值，所以，

由，得到，

则函数的解析式为．

23．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

【解答】（1）根据题意知，，，，

在中，由正弦定理得，，

解得，

由，知为锐角，

所以．

（2），

在中，由余弦定理得，（海里），

所以，此时甲、乙两船之闻的距离为21海里．

24．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

解：（1）复数，，

，是实系数一无二次方程的两个虚根，

所以，即，

所以，所以，

，．

（2）

．

又，所以，

即的值域为．

25．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

【解答】（1）若数列为1级等差数列，

即为对一切，都成立，

则数列为等差数列，设公差为，

由，，可得，

则．

（2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，

可得对一切，都成立．

，

，

，……，

可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，

偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，

则

所以，，．

（3）∵是3级等差数列，∴，

对一切，都成立．

即，

∴．

∴，或．

对恒成立时，．

时，，∴，

∴．