江西省宜春市丰城拖船中学2025届高三上学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市丰城拖船中学2025届高三上学期第一次月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知下列四个关系：①； ②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤.
其中正确的导数式共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
6．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值是（ ）．
A．3B．5C．9D．12
7．已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（多选）假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（ ）
A．物理好数学不一定好B．数学好物理不一定好
C．数学不好物理一定不好D．物理不好数学一定不好
10．若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值为B．有最小值为
C．有最小值为D．有最大值为
11．已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．若不等式的解集为，则
三、填空题
12．对于三次函数 ，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则 .
13．对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则 .
14．对于函数和，及区间D，b使得对任意恒成立，则称在区间D上优于，若在区间上优于，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知关于的不等式的解集为.
(1)求，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
16．已知函数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
17．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值及方程的解；
(2)当时，求函数的最大值与最小值.
18．已知点，点为平面上动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线与轨迹交于两点，在处分别作轨迹的切线交于点，设直线的斜率分别为，，求证：为定值.
19．设函数，
(1)证明：有两个零点；
(2)记是的导数，为的两个零点，证明：．
1．C
【分析】先求出集合A，再求出，从而可求出的子集的个数
【详解】解：由，得或，所以或，
因为，
所以，
所以的子集的个数为，
故选：C
2．D
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，，所以.
故选：D
3．B
【分析】①②③利用不等式的性质分别求解即可;④构造幂函数，然后利用函数单调性求解即可.
【详解】①当时，，故错误；
②当时，可知，故错误；
③当，得，因为，所以，故正确；
④构造幂函数，所以在单调递减，又因为，所以，即，故正确；
故选：B
4．A
【分析】由初等函数的导数公式求各项对应函数的导函数，即可判断它们的正误.
【详解】由，①正确；
由，②错误；
由，③正确；
由，④错误；
由，⑤错误；
正确的共有2个.
故选：A
5．B
【分析】有题目所给解析式及函数的奇偶性，可以求解出fx,gx的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】①,
,
为奇函数，为偶函数
，
②，
①+②得，
①-②得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为，
故选：B.
6．B
【分析】根据函数的值域求出的关系，根据不等式的解集可得的两根为，由根与系数的关系列方程组，解方程组即可得的值.
【详解】由函数的值域为，
得方程有两个相等的实根，则，即，
由不等式的解集为，
得方程的两根为，
于是，即，
所以.
故选：B
7．B
【分析】先求导后结合辅助角公式得到原函数为单调减函数，再对数和指数的运算求解即可；
【详解】因为，故，
其中，因此为减函数，
因为，故，
所以，
所以.
故选：B.
8．D
【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可.
【详解】令，
则.
若，则在上恒成立，则在上单调递减，
则，不符合题意.
若，则当时，，单调递减，
则，不符合题意.
若，则在上恒成立，则在上单调递增，
即，符合题意.
故的取值范围为.
故选：D
【点睛】思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可.
9．BC
【分析】根据已知命题得出A,D错误，再转化B,C为集合关系即可得出命题为真.
【详解】设：物理好，：数学好，由题意，“若，则”为真命题，A，D不正确．
如果将物理好的学生定义为集合，数学好的学生定义为集合，
则，或许存在，但，即数学好物理不一定好，B正确；
设为全集，则，因此可以说数学不好的物理一定不好，C正确；
故选：BC．
10．ABC
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
11．ACD
【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D.
【详解】因为有且只有一个零点，
所以，即.
对于选项A，因为，
所以 ，故选项A正确；
对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误；
对于选项C，因为，
所以不等式的解集为，故选项C正确；
对于选项D，因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，且，
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
12．2019
【分析】令，求得的对称中心是，进而得到求解.
【详解】因为，
所以，，
令，得，
又，
所以的对称中心是，
所以，
所以，
，
，
故答案为：2019
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解拐点即为对称点，由求得对称中心.
13．2
【分析】利用赋值法先判定的周期性，化，再利用赋值法计算即可.
【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）.
令，得，则，
则，则，则.
又因为，所以，则，
从而.
故答案为：2
【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定的周期性，再利用赋值法计算函数值即可.
14．
【分析】由题意可得符合条件的直线应为fx,gx在的公切线，据此计算验证即可．
【详解】因为，且，
若在区间0,+∞上优于，
可知符合条件的直线应为fx,gx在的公切线，
则，可得，
则切线方程为，
令在0,+∞上恒成立，
令，求导可得，
令，
当x∈0,1，，在0,1上单调递增，
当x∈1,+∞，，在1,+∞上单调递增，
所以，即在0,+∞上恒成立，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求；
（2）利用乘1法，结合基本不等式可求．
【详解】（1）不等式的解集为，
和是方程的两个实数根，且，
，解得；
（2）（2）由（1）知，
于是有，，，
所以
当且仅当且，即等号成立，
故的最小值为
16．（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-），单调递增区间为（-∞，-1），（-，+∞）
【分析】（Ⅰ）当时，求出函数，利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当时，令，得，，分三种情况①，②当，③当，讨论的单调区间．
【详解】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，．
当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0．
（Ⅱ）f′（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）．
（1）当a≤0时，aex-1＜0，
所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．
①当-lna=-1，即a=e时，f′（x）≥0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；
②当-lna＜-1，即a＞e时，
当-lna＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-lna或x＞-1时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-∞，-lna），（-1，+∞）；
③当-lna＞-1，即0＜a＜e时，
当-1＜x＜-lna时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-lna时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna，∞）．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程
17．(1)a=2；；
(2)最小值；最大值.
【分析】（1）根据奇函数可得 ，从而得 ， 解方程即可的结果；
（2） 先求出 ，然后利用二次函数配方法可得结果.
【详解】（1）∵是奇函数，
∴，即，
所以，a=2（或直接由求得）
由得，
所以，
所以，即方程的解为；
（2）当时，，
∵，
∴当，即时，取得最小值，
当，即x=0时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求解析式，主要方法有两个：
一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；
二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，通过向量的数量积求出动点的轨迹的方程；
（2）设点为轨迹C上一点，直线为轨迹的切线，与椭圆方程联立，利用判别式求出，设，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求解斜率乘积即可．
【详解】（1）设，则，有，，，，
从而由题意，得，
所以动点的轨迹的方程；
（2）设点且为轨迹上一点，直线为轨迹的切线，
有，消去得，
其判别式，解得，有，
设，
联立得，所以，
可得，解得，
所以为定值.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用零点的意义，构造函数，利用导函判断函数单调性，借助零点存在性定理即可推理得证.
（2）求出的导数，化不等式为，利用（1）中函数构造函数，结合零点的意义及单调性推理得证.
【详解】（1）由，得，即，令，
函数有两个零点，即函数有两个零点，求导得，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
又，因此使得，使得，
所以函数有两个零点.
（2）由（1）知函数的零点满足：，
求导得，要证，即证，即证明，
令，求导得
，
函数在上单调递减，则，由，得，
即，由，得，且在上单调递增，
因此，即，命题得证．
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式转化成求证，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.